第26章 二次函数 综合检测

第26章二次函数综合检测(满分100分,限时60分钟)一、选择题(每小题3分,共24分)1.(2022山西运城盐湖新康国际实验学校月考)下列y关于x的函数中,一定是二次函数的是()A.y=ax2+bx+c B.y=1x2 C.y=(a2+1)x2 2.(2023湖南长沙雅礼教育集团期末)将抛物线y=3x2先向右平移2个单位,再向上平移6个单位,所得抛物线对应的函数表达式为()A.y=3(x-2)2+6 B.y=3(x-2)2-6 C.y=3(x+2)2+6 D.y=3(x+2)2-63.(2023广东珠海香洲期中)如图,抛物线y1=ax2+c与直线y2=mx+n交于A(-1,p),B(3,q)两点,则不等式y1<y2的解集为()A.x>-1 B.x<3 C.x<-3或x>1 D.-1<x<34.(2022江苏南通海安期中)若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于(1,0)、(4,0)两点,则一元二次方程ax2+bx+c=0的解为()A.x1=-1,x2=-4 B.x1=1,x2=4 C.x1=-1,x2=4 D.x1=1,x2=-45.(2023江苏无锡梁溪连元英禾双语学校模拟)关于二次函数y=x2-4x+5,下列结论中正确的是()A.图象的对称轴过点(2,0) B.当x>-2时,y随x的增大而增大C.图象与x轴有两个公共点 D.函数的最小值为56.(2023河南周口太康期末)如图,在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是() 7.(2023山西省实验中学期末)已知二次函数y=x2-2x-3的自变量x1,x2,x3对应的函数值分别为y1,y2,y3.当-1<x1<0,1<x2<2,x3>3时,y1,y2,y3之间的大小关系是()A.y1<y2<y3 B.y2<y3<y1 C.y3<y1<y2 D.y2<y1<y38.(2023四川广安中考)如图所示,二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的图象与x轴交于点A(-3,0),B(1,0).有下列结论:①abc>0;②若点(-2,y1)和(-0.5,y2)均在抛物线上,则y1<y2;③5a-b+c=0;④4a+c>0.其中正确的有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题(每小题3分,共18分)9.(2023北京通州期末)中国“一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益,沿线某地区居民2021年年人均收入300美元,预计2023年年人均收入将达到y美元.设2021年到2023年该地区居民年人均收入平均增长率为x,那么y与x的函数关系式是.

10.(2023江苏南通启东长江中学月考)如图,若抛物线y=ax2-2x+a2-1经过原点,则抛物线的解析式为.

11.(2023山东泰安中考)二次函数y=-x2-3x+4的最大值是.

12.(2023湖北宜昌中考)如图,一名学生推铅球,铅球行进高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的关系是y=-112(x-10)(x+4),则铅球推出的距离OA=13.(2023海南海口华侨中学期末)对称轴与y轴平行且经过原点O的抛物线也经过A(2,m),B(4,m),若△AOB的面积为4,则抛物线的解析式为.

14.(2023四川眉山苏祠中学期中)距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体,物体离地面的高度h(米)与物体运动的时间t(秒)之间满足函数关系式h=-5t2+mt+n,其图象如图所示,物体运动的最高点离地面20米,物体从发射到落地的运动时间为3秒.设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”(即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差),则当0≤t≤1时,w的取值范围是;当2≤t≤3时,w的取值范围是.三、解答题(共58分)15.(2023湖北宜昌枝江马家店中学月考)(6分)已知函数y=(k+2)xk(1)求k的值;(2)当k为何值时,抛物线有最低点?(3)当k为何值时,函数有最大值?16.(2023河南开封金明中学月考)(6分)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(1,5)、B(0,3)、C(-1,-3)三点.(1)求这个函数的解析式;(2)用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标.17.(2023辽宁铁岭中考)(6分)商店出售某品牌护眼灯,每台进价为40元,在销售过程中发现,月销量y(台)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,规定销售单价不低于进价,且不高于进价的2倍,其部分对应数据如下表所示:销售单价x(元)…506070…月销量y(台)…908070…(1)求y与x之间的函数关系式;(2)当护眼灯销售单价定为多少元时,商店每月出售这种护眼灯所获利润最大?最大月利润为多少元?18.(6分)如图,要在夹角为30°的两条小路OA和OB形成的角状空地上建一个三角形花坛,分别在边OA和OB上取点P和点Q,并扎起篱笆将花坛保护起来(篱笆的厚度忽略不计).若OP和OQ两段篱笆的总长为40m,求该三角形花坛POQ面积的最大值.19.(2023重庆九龙坡模拟)(10分)如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴平行于地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米,某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在y=kx-120(1+k2)x2(1)当k=2时,求炮弹飞行的最大海拔高度;(2)若炮弹飞行的最大射程为5千米,求k的值;(3)炮弹的最大射程为千米(结果用含k的代数式表示).

20.(2023吉林长春朝阳模拟)(10分)如图,点P(a,3)在抛物线l:y=4-(6-x)2上,且在l的对称轴右侧.(1)写出抛物线l的对称轴和y的最大值,并求出a的值;(2)坐标平面上放置一透明胶片,并在胶片上描画出点P及抛物线l的一段,分别记为P',l'.平移该胶片,使l'所在抛物线对应的函数解析式恰为y=-x2+6x-9.求点P'移动的最短距离.21.(2023江苏扬州中考)(14分)在平面直角坐标系xOy中,已知点A在y轴正半轴上.(1)如果四个点(0,0)、(0,2)、(1,1)、(-1,1)中恰有三个点在二次函数y=ax2(a为常数,且a≠0)的图象上.①a=;

②如图1,已知菱形ABCD的顶点B、C、D在该二次函数的图象上,且AD⊥y轴,求菱形的边长;③如图2,已知正方形ABCD的顶点B、D在该二次函数的图象上,点B、D在y轴的同侧,且点B在点D的左侧,设点B、D的横坐标分别为m、n,试探究n-m是不是定值.如果是,求出这个值;如果不是,请说明理由.(2)已知正方形ABCD的顶点B、D在二次函数y=ax2(a为常数,且a>0)的图象上,点B在点D的左侧,设点B、D的横坐标分别为m、n,直接写出m、n满足的等量关系式.

第26章二次函数综合检测答案全解全析1.CA.当a=0时,原函数不是二次函数;B.分母含有自变量,不是二次函数;D.当a=0时,原函数不是二次函数.故选C.2.A将抛物线y=3x2先向右平移2个单位,再向上平移6个单位,所得抛物线对应的函数表达式为y=3(x-2)2+6.3.D由图象可知,当二次函数的图象在直线的下方时,-1<x<3,∴不等式y1<y2的解集为-1<x<3.故选D.4.B因为二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(1,0)和(4,0),所以一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=1,x2=4.5.Ay=x2-4x+5=(x-2)2+1,对称轴是直线x=2,则图象的对称轴过点(2,0);a=1>0,抛物线开口向上,对称轴是直线x=2,则当x>2时,y随x的增大而增大;函数的最小值是1,抛物线开口向上,则抛物线与x轴没有交点.故选A.6.CA.由抛物线可知a<0,由直线可知a>0,故错误;B.由抛物线可知a>0,由直线可知a<0,故错误;C.由抛物线可知a>0,x=-b2a<0,可得b>0,由直线可知a>0,b>0,故正确;D.由抛物线可知a<0,x=-b7.D(解法1:利用函数性质)∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,∴对称轴为直线x=1,抛物线开口向上.∴当x>1时,y随x的增大而增大,∴y2<y3.∵x1,x2在对称轴两侧,且x1离对称轴较远,∴y2<y1,同理得y1<y3,∴y2<y1<y3.(解法2:数形结合)∵抛物线y=x2-2x-3=(x-1)2-4,∴对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,-4),当y=0时,x=-1或x=3,∴抛物线与x轴的两个交点坐标为(-1,0),(3,0),如图,易知当-1<x1<0,1<x2<2,x3>3时,y2<y1<y3.8.C由图象可得a<0,c>0,x=-b2a<0,∴b<0,则abc>0,故①正确;∵二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的图象与x轴交于点A(-3,0),B(1,0),∴该函数的对称轴为直线x=-3+12=-1,∴x=-0.5和x=-1.5对应的函数值相等,当x<-1时,y随x的增大而增大,∴若点(-2,y1)和(-0.5,y2)均在抛物线上,则y1<y2,故②正确;∵对称轴是直线x=-1,∴--1,∴b=2a,∵点(1,0)在该函数图象上,∴a+b+c=0,∴a+2a+c=0,即3a+c=0,∴5a-b+c=5a-2a+c=3a+c=0,故③正确;∵a+b+c=0,a<0,∴2a+b+c<0,∴2a+2a+c<0,即4a+c<0,故④错误.故选C.9.y=300(x+1)2解析根据题意得函数关系式是y=300(x+1)2.10.y=-x2-2x解析把(0,0)代入y=ax2-2x+a2-1得0=a2-1,解得a=±1,∵抛物线开口向下,∴a=-1,∴抛物线的解析式为y=-x2-2x.11.25解析y=-x2-3x+4=-x+322+254,∵a=-1<0,∴当x=-12.10解析令y=0,则-11213.y=-12x2+3x或y=12x解析本题没有明确给出抛物线的开口方向及点A、B所在的象限,所以m的正负无法确定,易因考虑不周而致错.∵抛物线经过A(2,m),B(4,m),∴对称轴是直线x=3,AB=2,∵△AOB的面积为4,∴12①当m=4时,A(2,4),B(4,4),设抛物线的解析式为y=a(x-3)2+h,把(0,0)和(2,4)代入得9a+h=0,a+h=4,解得a=−12,h=92,∴抛物线的解析式为y=-12②当m=-4时,A(2,-4),B(4,-4),设抛物线的解析式为y=a(x-3)2+h,把(0,0)和(2,-4)代入得9a+h=0,a+h=−4,解得a=12,h=−92,∴抛物线的解析式为y=12综上所述,抛物线的解析式为y=-12x2+3x或y=12x14.0≤w≤5;5≤w≤20解析本题将抛物线与“极差”融为一体考查,设计新颖.∵物体运动的最高点离地面20米,物体从发射到落地的运动时间为3秒,∴抛物线h=-5t2+mt+n的顶点的纵坐标为20,且经过点(3,0),∴4×(−5)n−m24×(−5)=20,-5×32+3m+n=0,解得15.解析(1)∵函数y=(k+2)xk2+3k−2是关于x的二次函数,∴k2+3k-2=2,且k+2≠0,解得k1(2)∵抛物线有最低点,∴图象开口向上,即k+2>0,∴k>-2,∴k=1.(3)∵函数有最大值,∴图象开口向下,即k+2<0,∴k<-2,∴k=-4.16.解析(1)把A(1,5)、B(0,3)、C(-1,-3)代入二次函数y=ax2+bx+c,可得a+b+c=5,c=3,a−b+c=−3,解得a=−2,b=4,(2)y=-2x2+4x+3=-2(x-1)2+5,∴顶点坐标是(1,5).17.解析(1)设月销量y(台)与销售单价x(元)之间满足的一次函数关系式为y=kx+b(k≠0),把(50,90)和(60,80)代入得90=50k+b,80=60k+b,解得k=−1,(2)设每月出售这种护眼灯所获利润为w元,根据题意得w=(x-40)y=(x-40)(-x+140)=-x2+180x-5600=-(x-90)2+2500,∵a=-1<0,且规定销售单价不高于进价的2倍,∴当护眼灯销售单价定为80元时,商店每月出售这种护眼灯所获利润最大,最大月利润为-(80-90)2+2500=2400元.18.解析如图,作PC⊥OB,垂足为点C,设OP的长为xm,则OQ的长为(40-x)m,∵∠POQ=30°,∴PC=12OP=12xm,∴S△POQ=12×12x(40-x)=-14(x-20)219.解析(1)当k=2时,y=2x-120×(1+22)x2=-14x2+2x=-14(x-4)2∴当x=4时,y取得最大值,此时y=4,即当k=2时,炮弹飞行的最大海拔高度是4千米.(2)当x=5,y=0时,即0=k×5-120(1+k2)×52,解得k1=2+3,k2=2-3,即k的值是2+3或2-3(3)20k1+k2.详解:当y=0时,即0=kx-120(1+k2)x2,解得x1=0,x2=20.解析(1)∵抛物线l:y=4-(6-x)2=-(x-6)2+4,∴抛物线的顶点为Q(6,4),对称轴为直线x=6,y的最大值为4,当y=3时,3=-(x-6)2+4,解得x=5或7,∵点P在对称轴的右侧,∴P(7,3),∴a=7.(2)∵平移后的抛物线的解析式为y=-x2+6x-9=-(x-3)2,∴平移后的顶点坐标为(3,0),∵平移前抛物线的顶点坐标为(6,4),∴点P'移动的最短距离=3221.解析(1)①令x=0得y=0,∴(0,0)在二次函数y=ax2(a为常数,且a≠0)的图象上,(0,2)不在二次函数y=ax2(a为常数,且a≠0)的图象上,∵四个点(0,0)、(0,2)、(1,1)、(-1,1)中恰有三个点在二次函数y=ax2(a为常数,且a≠0)的图象上,∴二次函数y=ax2(a为常数,且a≠0)的图象上的三个点是(0,0)、(1,1)、(-1,1),把(1,1)代入y=ax2得a=1.②设BC交y轴于E,如图1,设菱形的边长为2b,则AB=BC=CD=AD=2b,易知B,C关于y轴对称,∴BE=CE=b,∴B(b,b2),∴OE=b2,∵AE=AB2-BE2=3∴D(2b,b2+3b),把D(2b,b2+3b)代入y=x2得b2+3b=4b2,解得b=33或b=0(舍去),∴菱形的边长为2③n-m是定值,理由如下:过B作BF⊥y轴于F,过D作DE⊥y轴于E,如图2,∵点B、D的横坐标分别为m、n,∴B(m,m2),D(n,n2),∴BF=m,OF=m2,DE=n,OE=