专项01 旋转中的常见模型

专项01旋转中的常见模型模型一“手拉手”模型模型解读如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,连接BD、CE,BD与CE相交于点O.则(1)△ABD≌△ACE;(2)∠BOC=∠DOE=∠BAC=∠DAE.(拉手线的夹角等于等腰三角形的顶角)1.如图,D为等边三角形ABC内一点,将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE,连接CE,BD的延长线与AC交于点G,与CE交于点F,连接AF.(1)求证:BD=CE;(2)求∠AFE的度数.模型二“半角”模型模型解读常见的半角模型有“45°半角模型”和“60°半角模型”.下面展示正方形内45°半角模型:如图,在正方形ABCD中,∠MAN=45°,则(1)MN=BM+DN;(2)MA平分∠BMN,NA平分∠DNM.2.【方程思想】如图,正方形ABCD的边长为9,E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°,得到△DCM.(1)求证:EF=FM;(2)当AE=3时,求EF的长.模型三“对角互补”模型模型解读如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点P是斜边AB的中点,∠MPN=90°,连接CP,则△CDP≌△BEP.3.如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC于点D,∠MDN=90°,将∠MDN绕点D顺时针旋转,它的两边分别交AB、AC于点E、F.(1)求证:△BDE≌△ADF;(2)如图2,若DM=DN,连接BM、NA,求证:BM=AN.模型四“鸡爪”模型模型解读“鸡爪”模型常出现在等边三角形和等腰直角三角形中,下面展示等边三角形中的情况:如图,在等边△ABC中,OA=a,OB=b,OC=c,若a2+b2=c2,则∠AOB=150°.4.如图,O是等边△ABC内一点,OA=5,OB=12,OC=13,将线段BO绕点B逆时针旋转60°得到线段BO',连接OO',AO'.(1)求点O与O'之间的距离;(2)求∠AOB的度数;(3)求△AOB的面积.

专项01旋转中的常见模型答案全解全析1.解析(1)证明:∵线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE,∴AD=AE,∠DAE=60°.∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,AB=AC,∴∠BAC=∠DAE,∴∠BAD=∠CAE.在△ABD和△ACE中,AB=AC,∴△ABD≌△ACE(SAS),∴BD=CE.(2)如图,过点A作AM⊥BF于点M,AN⊥CF,交CF的延长线于点N.∵△ABD≌△ACE,∴∠ABD=∠ACE,S△ABD=S△ACE.又∵∠AGB=∠CGF,∴∠BFC=∠BAC=60°,∴∠BFE=120°,∵S△ABD=S△ACE,∴12BD·AM=1在Rt△AFM和Rt△AFN中,AF=AF,∴Rt△AFM≌Rt△AFN(HL),∴∠AFB=∠AFE,∴∠AFE=12∠BFE=12.解析(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=∠FCD=90°,∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM,∴∠DCM=∠A=90°,DE=DM,∠EDM=90°,∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°,∴F、C、M三点共线,∵∠EDF=45°,∴∠FDM=45°=∠EDF.在△DEF和△DMF中,DE=DM,∴△DEF≌△DMF(SAS),∴EF=MF.(2)∵AE=3,∴CM=AE=3,BE=9-3=6.设CF=x,则BF=9-x,EF=FM=3+x.在Rt△EBF中,BE2+BF2=EF2,即62+(9-x)2=(3+x)2.解得x=4.5.∴EF=3+x=7.5.3.证明(1)∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠B=∠C=45°.∵AD⊥BC,∴∠DAF=45°,D为BC的中点,∴BD=CD=AD=12∵∠BDE+∠ADE=∠ADB=90°,∠ADE+∠ADF=∠MDN=90°,∴∠BDE=∠ADF,在△BDE和△ADF中,∠B=∠DAF,∴△BDE≌△ADF(ASA).(2)由(1)知BD=AD,∠BDM=∠ADN,在△MBD和△NAD中,BD=AD,∴△MBD≌△NAD(SAS),∴BM=AN.4.解析(1)∵将线段BO绕点B逆时针旋转60°得到线段BO',∴BO=BO',∠O'BO=60°,∴△OBO'是等边三角形,∴OO'=OB=12.(2)∵△ABC是等边三角形,∴AB=CB,∠ABC=60°.∵∠OBO'=60°,BO=BO',∴∠O'BA=∠OBC,在△BO'A和△BOC中,AB=CB,∴△BO'A≌△BOC(SAS).∴O'A=OC=13.∵AO2