24.5 三角形的内切圆 同步练习

第24章圆24.5三角形的内切圆基础过关全练知识点1三角形的内切圆及作法1.下图是某钢材公司在加工成品过程中产生的一种三角形余料，为了节约成本，现欲把这批三角形余料加工成圆形工件，怎样才能从这样的三角形余料上剪下面积最大的圆形工件?知识点2三角形内心的性质2.(2021天津期末)三角形的内心是()A.三角形三条中线的交点 B.三角形三条高线的交点C.三角形三边垂直平分线的交点 D.三角形三条角平分线的交点3.如图，在△ABC中，∠A=70°，☉O截△ABC的三条边所得的弦长相等，则∠BOC=()A.140° B.135° C.130° D.125°4.(2019湖北荆门中考)如图，△ABC的内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是()A.DI=DB B.DI>DB C.DI<DB D.不确定5.已知三角形的面积为24，周长为24，则这个三角形内切圆的半径为.

6.如图，△ABC中，∠ACB=90°，☉O是△ABC的内切圆，AB=8，☉O的半径为2，则△ABC的周长是.

7.(2022湖北黄石模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何?”其意思是：今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少?则所求直径是步.

8.如图，E为△ABC内一点，AE的延长线交△ABC的外接圆(☉O)于点D，且DB=DC=DE.求证：E为△ABC的内心.9.如图，△ABE内接于☉O，AB是直径，点M是△ABE的内心，连接BM并延长交☉O于点C，连接AC，EM.(1)求证：AC=CM，AC=CE；(2)若☉O的半径为5，AE=8，求S△BEM.能力提升全练10.(2022贵州黔西南州兴义期末)已知△ABC的内心为P，则下列说法错误的是()A.PA=PB=PC B.P在△ABC的内部C.P为△ABC三个内角平分线的交点 D.P到三角形三边距离相等11.(2020山东济宁中考)如图，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A=60°，CD=2，BD=4，则△DBC的面积是()A.43 B.23 C.2 D.412.(2021台湾省中考)如图，I为△ABC的内心，有一条直线通过I点且分别与AB、AC相交于D点、E点.若AD=DE=5，AE=6，则I点到BC的距离为()A.2411 B.3011 C.213.(2020江苏泰州中考)如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A、B、C在平面直角坐标系中的坐标分别为(3，6)，(-3，3)，(7，-2)，则△ABC内心的坐标为.

14.(2020青海中考)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则△ABC的内切圆半径r为.

15.(2022四川宜宾中考)我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为.

16.(2021贵州毕节中考)如图，☉O是△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交☉O于点D，连接BD，BE.(1)求证：DB=DE；(2)若AE=3，DF=4，求DB的长.17.(2019湖北鄂州中考)如图，PA是☉O的切线，切点为A，AC是☉O的直径，连接OP交☉O于E.过A点作AB⊥PO于点D，交☉O于B，连接BC，PB.(1)求证：PB是☉O的切线；(2)求证：E为△PAB的内心；(3)若cos∠PAB=1010，BC=1，求PO的长素养探究全练18.如图，☉O是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F.为了探索三角形的周长L、面积S与内切圆半径r之间的关系，在数学活动中，选取等边三角形(图甲)和直角三角形(图乙)进行研究.(1)根据下表数据，计算出周长L和面积S；ACBCABrLS图甲2.02.02.03图乙3.04.05.01.0(2)观察图形，利用上表数据，分析、猜测特殊三角形的r与L、S之间的关系，判断这种关系对任意三角形(图丙)是否也成立，并给出证明.19.(2022贵州铜仁印江三模)已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积?古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式——海伦公式S=p(p−a)(p−b)(p−c)其中a，b，c例如：在△ABC中，a=3，b=4，c=5，那么它的面积可以这样计算：∵a=3，b=4，c=5，∴p=a+b∴S=p(p−a事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可以用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决.根据上述材料，解答下列问题：如图，在△ABC中，BC=5，AC=6，AB=9.(1)用海伦公式求△ABC的面积；(2)求△ABC的内切圆半径r.

第24章圆24.5三角形的内切圆答案全解全析基础过关全练1.解析如图所示，分别作∠ABC和∠ACB的平分线，两条角平分线交于点O.过点O作OD⊥BC于点D，以点O为圆心，OD的长为半径作☉O，则☉O就是符合要求的圆.2.D三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点.故选D.3.D∵☉O截△ABC的三条边所得的弦长相等，∴O到三角形三条边的距离相等，即O是△ABC的内心，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠3=12(180°-∠A)=12×(180°-70°)=55∴∠BOC=180°-(∠1+∠3)=180°-55°=125°.故选D.4.A连接BI，如图，∵△ABC的内心为I，∴∠1=∠2，∠5=∠6.∵∠3=∠1，∴∠3=∠2，∵∠4=∠2+∠6，∴∠4=∠3+∠5，即∠4=∠DBI，∴DI=DB.故选A.5.2解析设这个三角形内切圆的半径是r，∵三角形的面积为24，周长为24，∴12×24r=24，解得r=26.20解析设AC，BC，AB与☉O的切点分别为D，E，F.如图，连接OD，OE，OF，则四边形ODCE是正方形，∴CD=CE=OD=2，∵AD和AF是圆的切线，∴AD=AF，同理BE=BF，则AD+BE=AB=8，则△ABC的周长是8+8+2+2=20.7.6解析设三角形为△ABC，∠C=90°，AC=8步，BC=15步，∴AB=AC2+B设内切圆的半径为r步，则S△ABC=12(AB+BC+CA)·r∴12AC·BC=12(AB+BC+CA)·即12×8×15=12×(8+15+17)·解得r=3，∴内切圆的直径是6步.8.证明连接BE.∵DB=DC，∴DB=DC，∴∠DAB=∠DAC=∠DBC，∴AD平分∠CAB.∵DB=DE，∴∠DBE=∠DEB，即∠DBC+∠CBE=∠DAB+∠ABE，∴∠ABE=∠CBE，∴BE平分∠ABC，∴E为△ABC的内心.9.解析(1)证明：连接CE.∵AB是直径，∴∠ACB=∠AEB=90°.∵点M是△ABE的内心，∴∠AEM=∠BEM=45°，∠ABM=∠EBM.∴AC=CE.∵∠ACM=90°=2∠AEM，∴A、M、E三点在以C为圆心，AC为半径的圆上，∴AC=CM.(2)∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∵☉O的半径为5，∴AB=10，又AE=8，∴BE=AB2设△ABE的内切圆的半径为r.则S△ABE=12AE·BE=12(AB+AE+BE)·∴r=AE·BEAB+AE+∴S△BEM=12BE·r=12能力提升全练10.A三个内角的平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心.三角形的内心到三角形三条边的距离相等，三角形的内心在三角形内部，故B、C、D中说法正确，故选A.11.B如图，过点B作BH⊥CD交CD的延长线于点H.∵点D为△ABC的内心，∠A=60°，∴∠BDC=90°+12∠A=90°+12×60°=120则∠BDH=60°，∵BD=4，∴BH=23，∵CD=2，∴△DBC的面积为12CD·BH=12×2×23=2故选B.12.A如图，连接AI，作IG⊥AB于点G，IJ⊥BC于点J，IH⊥AC于点H，DF⊥AE于点F，∵AD=DE=5，AE=6，DF⊥AE，∴AF=3，∠AFD=90°，∴DF=AD2−A设IH=x，∵I为△ABC的内心，∴IG=IJ=IH=x，∵S△ADE=S△ADI+S△AEI，∴6×42=5x2解得x=2411∴IJ=2411，即I点到BC的距离是24故选A.13.(2，3)解析如图，点I即为△ABC的内心.所以△ABC内心I的坐标为(2，3).14.1解析在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，根据勾股定理，得AB=5，如图，设△ABC的内切圆与三条边的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，∵∠C=90°，∴四边形EOFC是矩形，根据切线长定理，得CE=CF，∴矩形EOFC是正方形，∴CE=CF=r，∴AF=AD=AC-FC=3-r，BE=BD=BC-CE=4-r，∵AD+BD=AB，∴3-r+4-r=5，解得r=1，即△ABC的内切圆半径r=1.15.289解析如图，设内切圆的圆心为O，D、E分别为☉O与BC、AC的切点，连接OE、OD，则四边形EODC为正方形，∴OE=OD=3=AC+BC−BA2，∴AC+∴AC+BC=AB+6，∴(AC+BC)2=(AB+6)2，∴BC2+AC2+2BC·AC=AB2+12AB+36，又BC2+AC2=AB2，∴2BC·AC=12AB+36①，∵小正方形的面积为49，∴(BC-AC)2=49，∴BC2+AC2-2BC·AC=49，即AB2-2BC·AC=49②，把①代入②中得AB2-12AB-85=0，∴(AB-17)(AB+5)=0，∴AB=17(负值舍去)，∴大正方形的面积为289.16.解析(1)证明：∵点E是△ABC的内心，∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE，又∵∠CAD与∠CBD所对弧均为DC，∴∠CAD=∠CBD=∠BAD.∵∠BED=∠ABE+∠BAD，∠DBE=∠CBE+∠CBD，∴∠BED=∠DBE，故DB=DE.(2)由(1)知∠DBF=∠BAD，又∵∠D=∠D，∴△ABD∽△BFD，∴BDFD=AD设EF=x，则4+x4=解得x1=2，x2=-6(不符合题意，舍去)，则DB=4+x=4+2=6.17.解析(1)证明：如图，连接OB，∵AC为☉O的直径，∴∠ABC=90°，∵AB⊥PO，∴PO∥BC，∴∠AOP=∠C，∠POB=∠OBC，∵OB=OC，∴∠OBC=∠C，∴∠AOP=∠POB，在△AOP和△BOP中，OA∴△AOP≌△BOP，∴∠OBP=∠OAP，∵PA为☉O的切线，∴∠OAP=90°，∴∠OBP=90°，又OB是☉O的半径，∴PB是☉O的切线.(2)证明：如图，连接AE，∵PA为☉O的切线，∴∠PAO=∠PAE+∠OAE=90°，∵AD⊥ED，∴∠EAD+∠AED=90°，∵OE=OA，∴∠OAE=∠AED，∴∠PAE=∠DAE，即AE平分∠PAD，∵PA，PB为☉O的切线，∴PD平分∠APB，∴E为△PAB的内心.(3)∵∠PAB+∠BAC=90°，∠C+∠BAC=90°，∴∠PAB=∠C，∴cosC=cos∠PAB=1010在Rt△ABC中，cosC=BCAC=1AC=∴AC=10，∴AO=102易证△PAO∽△ABC，∴POAC=AO∴PO=AOBC·AC=1021×素养探究全练18.解析(