24.2 圆的基本性质 同步练习

第24章圆24.2圆的基本性质基础过关全练知识点1圆的定义1.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是()A.圆的外部(包括边界) B.圆的内部(不包括边界)C.圆 D.圆的内部(包括边界)2.在观看街头表演时，人们会自然围成一个圆，这是因为圆上任意一点到圆心的距离都，这个距离就是这个圆的.

知识点2点与圆的位置关系3.(2022安徽安庆怀宁模拟)已知☉O的直径是4cm，OP=4cm，则点P()A.在☉O外 B.在☉O上 C.在☉O内 D.不能确定4.(2021江苏句容月考)有一张矩形的纸片ABCD，AB=3cm，AD=4cm，若以A为圆心作圆，并且要使点D在☉A内，点C在☉A外，则☉A的半径r的取值范围是.

5.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°.求证：A，B，C，D四个点在同一个圆上.知识点3圆的有关概念6.下列说法中，正确的是()A.半径是圆中最长的弦 B.等弧就是长度相等的弧C.等圆的半径相等 D.半圆是优弧7.(2022江苏泰州兴化模拟)如图，MN为☉O的弦，∠N=52°，则∠MON的度数为()A.38° B.52° C.76° D.104°8.如图，△ABC的三个顶点A，B，C都在☉O上，圆心O在边AB上.求证：△ABC是直角三角形.知识点4圆的对称性9.下列说法中，不正确的是()A.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形B.圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与自身重合C.圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个D.圆的每一条直径都是它的对称轴10.下图中的图形都是以圆为基础设计而成的，其中是轴对称图形的是，是中心对称图形的是.

知识点5垂径分弦11.下列说法：①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③垂直于弦的直线必过圆心；④垂直于弦的直径平分弦所对的弧.其中正确的是()A.②③ B.①③ C.②④ D.①④12.嘉兴南湖不仅是党的诞生地，它优美的风光还吸引全国各地的旅客前来观赏.如图是嘉兴南湖的一座三孔桥，某天测得最大桥拱的水面宽AB为6m，桥顶C到水面AB的距离为2m，则这座桥最大桥拱所在圆的半径为()A.3m B.134m C.154m D13.(2022黑龙江牡丹江中考)如图，在☉O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若☉O的半径为2，则弦AB的长为.

14.如图，在△OAB中，☉O交AB于点C、D，若AC=BD.求证：OA=OB.15.曹操运兵道又称曹操藏兵道，位于安徽省亳州市老城内主要街道下，目前已发现八千余米，它远远超过地面上保留的一座完整古老城池的价值，被誉为“地下长城”.如图，已知运兵道的宽度为0.8m(AB=0.8m)，运兵道的高度(点E到DC的距离)为1.8m，其中侧墙的垂直高度为1.6m，求AB所在☉O的半径.知识点6圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系16.如图，在☉O中，AB，CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，如果OE=OF，那么下列结论不一定正确的是()A.∠AOB=∠COD B.AB=CD C.∠AOC=∠BOD D.AB=CD17.(2021江苏泰州兴化月考)如图，已知AB、CD是☉O的直径，AE=AC，∠BOD=32°，则∠COE的度数为度.

18.(2022辽宁大连普兰店期末)如图，在☉O中，AB=AC，∠BOC=120°.求证：△ABC是等边三角形.知识点7弧的度数与弧所对的圆心角度数的关系19.如图，在☉O中，劣弧AB的度数为106°，则∠B的度数为()A.37° B.36° C.35° D.53°20.如图，点C是☉O上的一点，以点C为圆心，☉O的半径为半径作弧交☉O于点A、B，则ACB的度数为.

知识点8圆的确定21.(2021天津河西期末)下列说法错误的是()A.已知圆心和半径可以作一个圆B.经过一个已知点A能作无数个圆C.经过两个已知点A，B能作两个圆D.经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能作一个圆22.(2022北京西城期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧所在圆的圆心坐标为.

知识点9三角形的外接圆23.如图，AC，BE是☉O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是()A.△ABE B.△ACF C.△ABD D.△ADE24.(2022浙江杭州西湖期末)已知△ABC的三边长分别是6，8，10，则△ABC外接圆的直径是.

25.(2020云南昆明官渡期末)如图，正三角形ABC内接于☉O，若AB=43cm，求☉O的直径及正三角形ABC的面积.知识点10反证法26.用反证法证明命题“三角形的三个内角中至少有一个不大于60°”有以下三个步骤：①因为∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°，这与三角形内角和为180°相矛盾；②所以一个三角形的三个内角中至少有一个不大于60°；③假设三角形的三个内角∠A、∠B、∠C都大于60°.这三个步骤的正确顺序为()A.③①② B.②③① C.①③② D.①②③27.(2022广东茂名茂南期中)等腰三角形的底角必为锐角.用反证法证明，第一步是假设.

[变式]等腰三角形的底角必为锐角.用反证法证明，所得结果与矛盾.

能力提升全练28.(2018浙江舟山中考)用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是()A.点在圆内 B.点在圆上 C.点在圆心上 D.点在圆上或圆内29.(2022湖南邵阳中考)如图，☉O是等边△ABC的外接圆，若AB=3，则☉O的半径是()A.32 B.32 C.3 D30.(2022安徽中考)已知☉O的半径为7，AB是☉O的弦，点P在弦AB上.若PA=4，PB=6，则OP=()A.14 B.4 C.23 D.531.(2022浙江杭州淳安一模)如图，在每个小正方形边长都为1的5×5网格中有四个点A，B，C，D，以其中任意三点为顶点的三角形的外接圆的半径是.

32.(2022湖北荆州中考)如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB=20cm，底面直径BC=12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为cm(玻璃瓶厚度忽略不计).

33.(2019四川自贡中考)如图，☉O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD，连接AD、BC.求证：(1)AD=BC；(2)AE=CE.34.(2021北京海淀清华附中月考)如图，在Rt△ABO中，∠O=90°，以点O为圆心，OB为半径的圆交AB于点C，交OA于点D.(1)若∠A=25°，则弧BC的度数为；

(2)若OB=3，OA=4，求BC的长.35.(2020安徽合肥瑶海二模)寿春路桥(如图①)横跨合肥市母亲河——南淝河，它位于合肥市东西交通主干道寿春路上，建成于1987年年底，为中承式钢筋砼拱桥，桥的上部结构为两个钢筋混凝土半月形拱肋，图②是桥拱肋的简化示意图，其中拱宽(弦AB)约100米.(1)在图②中，请你用尺规作图的方法首先找出弧AB所在圆的圆心O，然后分别确定弧AB、弦AB的中点C、D；(不要求写作法，保留作图痕迹)(2)在图②中，若∠AOB=80°，求该桥拱肋的高CD约为多少米.(结果精确到0.1米，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19) 图① 图②素养探究全练36.(2021四川凉山州模拟)阅读下列材料：平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离表示为|P1P2|=(x1−x2)2+(y1−y2)2，我们将该公式称为平面内两点间的距离公式，根据该公式，如图，设P(x，y)是圆心为C(a，b)，半径为r的圆上任意一点，则点P适合的条件可表示为(x−a)2+(y−b)2=r，变形可得：(例如：由圆的标准方程(x-1)2+(y-2)2=25可得该圆的圆心为(1，2)，半径为5.根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题.(1)圆心为C(3，4)，半径为2的圆的标准方程为；

(2)若已知☉C的标准方程为(x-2)2+y2=22，圆心为C，请判断点A(3，-1)与☉C的位置关系.37.对于☉P及一个矩形给出如下定义：如果☉P上存在到某个矩形四个顶点的距离都相等的点，那么称☉P是该矩形的“等距圆”.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A的坐标为(3，2)，顶点C、D在x轴上，OC=OD，且☉P的半径为4.(1)在P1(0，-2)，P2(23，3)，P3(-23，1)中，可以成为矩形ABCD的“等距圆”的圆心的是；

(2)如果点P在直线y=-33x+1上，且☉P是矩形ABCD的“等距圆”，求点P的坐标

第24章圆24.2圆的基本性质答案全解全析基础过关全练1.D与圆心的距离不大于半径的点在圆上或圆的内部，所以选D.2.相等；半径解析本题考查圆的定义.3.A由题意知☉O的半径为2cm，点P到圆心O的距离d=4cm>2cm，∴点P在☉O外.故选A.4.4cm<r<5cm解析连接AC(图略)，∵AB=3cm，AD=4cm，∴AC=5cm，∴以A为圆心作圆，并且要使点D在☉A内，点C在☉A外，☉A的半径r的取值范围为4cm<r<5cm.5.证明如图，连接BD，取BD的中点O，连接OA，OC.∵∠BAD=∠BCD=90°，OB=OD，∴OA=OB=OD=OC，∴A，B，C，D四个点在同一个圆上.6.C直径是圆中最长的弦，故A错误；等弧是能够互相重合的弧，长度相等的弧不一定是等弧，故B错误；优弧是大于半圆的弧，故D错误；只有C正确.故选C.7.C∵OM=ON，∴∠M=∠N=52°，∴∠MON=180°-2×52°=76°.故选C.8.证明∵点A，B，C都在☉O上，且点O在边AB上，∴OA=OB=OC.∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO.∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+(∠A+∠B)=180°，即∠A+∠B=90°，∴△ABC是直角三角形.9.D圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以A说法正确；圆是一个特殊的中心对称图形，它绕着圆心旋转任意角度都能与自身重合，所以B说法正确；圆的对称轴是过圆心的直线，这样的直线有无数条，对称中心只有一个，是圆心，所以C说法正确；直径是线段而不是直线，不能说直径是圆的对称轴，所以D说法错误.10.①②④；③④解析根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断.11.D平分弦(不是直径)的直径平分弦所对的弧，故②错误.垂直于弦且平分弦的直线必过圆心，故③错误.①④正确.故选D.12.B如图，设这座桥最大桥拱所在圆的圆心为O，连接BO，OC，易知C、D、O三点共线，则AD=BD=3m.设最大桥拱所在圆的半径为xm，则DO=(x-2)m，由勾股定理可得x2=(x-2)2+32，解得x=134.故选B13.23解析如图，连接OA，由AB垂直平分半径OC，得到OD=12OC=1，D为AB的中点∴AB=2AD=2OA2−OD14.证明证法一：过点O作OE⊥AB于点E，如图.∵在☉O中，OE⊥CD，∴CE=DE.∴AC+CE=BD+DE，即AE=BE.∴点O在线段AB的垂直平分线上，∴OA=OB.证法二：连接OC，OD，如图.∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠ACO=∠ODB，又AC=BD，∴△ACO≌△BDO，∴OA=OB.15.解析∵OF⊥AB，AB=0.8m，∴AF=12AB=0.4m.易知EF=1.8-1.6=0.2m设AB所在☉O的半径为rm，则OF=(r-0.2)m，在Rt△AOF中，由勾股定理，得OA2=AF2+OF2，即r2=0.42+(r-0.2)2，解得r=0.5.答：AB所在☉O的半径为0.5m.16.C由OE=OF，OE⊥AB，OF⊥CD，可得AB=CD，∴∠AOB=∠COD，AB=CD，但∠AOC与∠BOD不一定相等，故选C.17.64解析∵∠BOD=32°，∴∠AOC=∠BOD=32°，∵AE=AC，∴∠AOE=∠AOC=32°，∴∠COE=∠AOC+∠AOE=32°+32°=64°.18.证明∵AB=AC，∴AB=AC，∵∠BOC=120°，∴∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形.19.A连接OA，∵劣弧AB的度数为106°，∴∠AOB=106°.∵OA=OB，∴∠B=∠A=12(180°-∠AOB)=12×(180°-106°)=37°，20.120°解析连接OA、OB、OC、AC、BC，由题意可知，CA=OC=OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC=60°，同理，∠BOC=60°，则∠AOB=120°，∴ACB的度数为120°.21.C经过两个已知点A，B能作无数个圆，故C中说法错误，故选C.22.(2，1)解析如图，连接AB，BC，作AB的垂直平分线MN，BC的垂直平分线EF，MN与EF交于点Q，点Q即为圆心.23.B所给的四个三角形中，只有△ACF的三个顶点不都在圆O上，故外心不是点O的是△ACF.24.10解析如图，AC=6，BC=8，AB=10，∴AC2+BC2=AB2，∴∠C=90°，∴△ABC的外接圆的半径是12×10=5，∴△ABC外接圆的直径是1025.解析如图所示，连接CO并延长交AB于点D，连接AO并延长交BC于点E.易知点O是正三角形ABC的外心，∴CD⊥AB，∠EAD=30°，AD=12AB=23cm设OD=xcm，则AO=2xcm，根据勾股定理，得4x2-x2=(23)2，∴x=2，则2x=4.∴半径OA=4cm，∴直径为8cm.∵CD=AE=AB·sin60°=6cm，∴S△ABC=12AB·CD=12×43×6=123cm故☉O的直径为8cm，正三角形ABC的面积为123cm2.26.A正确的顺序是③①②.27.等腰三角形的底角是直角或钝角解析一个角是锐角的反面是这个角是直角或钝角.[变式]三角形的内角和等于180°解析若等腰三角形的底角为直角或钝角，则该三角形的内角和大于180°，与三角形的内角和等于180°矛盾.能力提升全练28.D点和圆的位置关系有点在圆上，点在圆内，点在圆外三种，“点在圆外”不成立，即“点在圆内或圆上”，故选D.29.C如图，连接OB，过点O作OE⊥BC，∵☉O是等边△ABC的外接圆，∴BO平分∠ABC，∴∠OBE=30°，∵OE⊥BC，∴BE=12BC=12AB=32，在Rt△OBE中，cos∠OBE∴32OB=32，解得OB=330.D如图，过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，则OB=7，∵PA=4，PB=6，∴AB=PA+PB=10，∵OC⊥AB，∴AC=BC=5，∴PC=PB-BC=1，在Rt△OBC中，根据勾股定理，得OC2=OB2-BC2=72-52=24，在Rt△OPC中，根据勾股定理，得OP=OC2+PC231.5解析如图，连接BC，CD，作BC，CD的垂直平分线，两直线相交于O，则O为过B，C，D三点的圆的圆心，OB为该圆的半径，由勾股定理，得OB=22+12=5，连接OA，易知OA=5=OB，所以点A也在该圆上32.7.5解析如图，连接AD.设球心为O，过O作OM⊥AD于M，连接OA，设球的半径为rcm，由题意，得AD=12cm，OM=32-20-r=(12-r)cm，由垂径定理，得AM=DM=12AD=6cm，在Rt△OAM中，由勾股定理，得AM2+OM2=OA2，即62+(12-r)2=r2，解得r=7.5，即球的半径为7.5cm33.证明(1