第24章 圆 综合检测

第24章圆综合检测(满分100分，限时60分钟)一、选择题(每小题3分，共30分)1.(2022山东临沂中考)剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录.鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题.以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A B C D2.(2022河北邢台信都期末)已知☉O的半径为3，平面内有一点到圆心O的距离为5，则此点可能是()A.P点 B.Q点 C.M点 D.N点3.(2022黑龙江大庆中考)已知圆锥的底面圆半径为5，高为12，则它的侧面展开图的面积是()A.60π B.65π C.90π D.120π4.(2022安徽合肥庐江期末)如图，☉O的半径为5，弦AB=6，P是弦AB上的一个动点(不与A、B重合)，下列符合条件的OP的值可以是()A.3.1 B.4.2 C.5.3 D.6.45.(2022吉林长春中考)如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，若∠BCD=121°，则∠BOD的度数为()A.138° B.121° C.118° D.112°6.如图，△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转后得到△EDC，且点D是AB边的中点，则旋转的最小角度为()A.60° B.61° C.62° D.59°7.(2022河北石家庄模拟)如图，点O是△ABC的内心，也是△DBC的外心.若∠A=80°，则∠D的度数是()A.60° B.65° C.70° D.75°8.(2022陕西宝鸡凤翔二模)如图，在☉O中，弦AB=22，点C是☉O上一点，且∠ACB=45°，则劣弧AB的长为()A.π2 B.π C.2π D.9.中华人民共和国国旗是五星红旗，为左上角镶有五颗黄色五角星的红色旗帜.如图所示的五角星上点A、B、C、D、E为圆O的五等分点，已知AC=a，则此五角星的外接圆直径为()A.a·sin72° B.atan72° C.acos18° D10.(2022重庆西南大学附中模拟)如图，AB为☉O的直径，CA与☉O相切于点A，BC交☉O于点D，E是AD的中点，连接OE并延长交AC于点F，若BD=13CD，AB=5，则AF的长为A.532 B.163 C.103二、填空题(每小题3分，共12分)11.用反证法证明“在☉O中，弦AB和CD所对的圆心角分别为∠AOB和∠COD，若∠AOB=2∠COD，则AB=2CD”时，应先假设.

12.如图，☉O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，已知∠A=40°，连接OB，OC，DE，EF，则∠BOC=，∠DEF=.

13.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D为BC边的中点，O是线段AD上一点，以点O为圆心，OA长为半径的☉O交AC于点E，EF⊥BC于点F，则EF(填“是”或“不是”)☉O的切线.

14.善于归纳和总结的小明发现，“数形结合”思想是初中数学的基本思想方法之一，被广泛地应用在数学学习中.小明在研究垂直于直径的弦的性质时(如图，直径AB⊥弦CD于点E)，设AE=x，BE=y，他用含x，y的式子表示图中的弦CD的长度，通过比较运动的弦CD和与之垂直的直径AB的大小关系，发现了一个关于正数x，y的不等式，你也能发现这个不等式吗?写出你发现的不等式：.

三、解答题(共58分)15.(6分)如图，已知CD是☉O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，点P是AB上一点，且∠BPC=60°.试判断△ABC的形状，并说明你的理由.16.(2021陕西西安雁塔期中)(6分)如图，AB为☉O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且AC=DB.(1)求证：AE=BF；(2)作半径ON⊥AB于点M，若AB=12，MN=3，求OM的长.17.(2021广西河池环江期末)(6分)如图①，点P表示我国古代水车的一个盛水筒.如图②，当水车工作时，盛水筒的运行路径是以轴心O为圆心，5m长为半径的圆.若☉O被水面截得的弦AB的长为8m，求水车工作时，盛水筒在水面以下的最大深度.18.(6分)如图，☉O是正方形ABCD的外接圆，MN是☉O的弦，且经过正方形ABCD的边AD，CD的中点，若MN=123，求☉O的半径长.19.(2022安徽合肥瑶海二模)(6分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(-2，3)、B(-1，0)、C(0，2).(1)请在图中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)以点B为旋转中心，将△ABC逆时针旋转得到△A2BC2，使得点A的对应点A2的坐标为(-4，1)，在图中画出△A2BC2.20.(2021江苏无锡江阴期中)(6分)如图，△ABC的顶点A，C在☉O上，☉O与AB相交于点D，连接CD，∠A=30°.(1)若☉O的半径为3，求弦CD的长；(2)若∠ACB+∠ADC=180°，求证：BC是☉O的切线.21.(2020北京通州一模)(6分)如图，☉O的圆心O在△ABC的边AC上，AC与☉O分别交于C，D两点，☉O与边AB所在的直线相切，且切点恰为点B.(1)求证：∠A+2∠C=90°；(2)若∠A=30°，AB=6，求图中阴影部分的面积.22.(2021天津二模)(8分)已知AB是☉O的直径，CD，CB是☉O的弦，且AB∥CD.(1)如图①，若∠ABC=25°，求∠BAC和∠ODC的大小；(2)如图②，过点C作☉O的切线，与BA的延长线交于点F，若OD∥CF，求∠ABC的大小.23.(2019湖北孝感中考)(8分)如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆☉O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G.(1)求证：DG∥CA；(2)求证：AD=ID；(3)若DE=4，BE=5，求BI的长.

第24章圆综合检测答案全解全析1.DA中的图案是轴对称图形不是中心对称图形，B，C中的图案是中心对称图形不是轴对称图形，D中的图案既是中心对称图形又是轴对称图形，故选D.2.D∵平面内有一点到圆心O的距离为5，5>3，∴该点在圆外，∴点N符合要求.故选D.3.B圆锥侧面展开图扇形的半径为52+122=13，弧长为2×π×5=10π，∴圆锥侧面展开图的面积为14.B过O点作OH⊥AB于H，连接OA，如图，则AH=BH=12AB=3，在Rt△OAH中，OH=OA2−AH2=52−35.C∵四边形ABCD是☉O的内接四边形，∴∠A+∠BCD=180°，∴∠A=180°-121°=59°，∴∠BOD=2∠A=2×59°=118°，故选C.6.A由旋转的性质，可得BC=CD，又D是AB的中点，∠ACB=90°，∴BD=CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠BCD=60°，∴旋转的最小角度为60°，故选A.7.B如图，连接OB，OC，∵点O是△ABC的内心，∴BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∵∠A=80°，∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-12(∠ABC+∠ACB)=180°-12(180°-∠A)=90°+12∠A=130°，∵点O是△DBC的外心，∴∠D=12∠BOC8.B设☉O的半径为R，∵∠C是AB所对的圆周角，∠C=45°，∴∠O=2∠C=90°，在Rt△AOB中，AO2+BO2=AB2，∴R2+R2=(22)2，∴R=2，∴劣弧AB的长=90π×2180=π.故选B9.C如图，连接AO并延长交圆O于点F，连接CF，则∠ACF=90°.∵A，B，C，D，E是圆O的五等分点，∴∠CAD=∠DBE=∠ACE=∠ADB=∠BEC，又∠CAD+∠DBE+∠ACE+∠ADB+∠BEC=180°，∴∠CAD=15×180°=36°，∴∠CAF=12∠CAD=18°，在Rt△ACF中，AC=a，∴AF=ACcos∠CAF=10.A如图，连接AD交OF于点G，∵E是AD的中点，∴OE⊥AD，∴∠AGO=90°，∵AB为☉O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADB=∠AGO=90°，∴BC∥OF，∵OA=OB，∴AF=CF，∴OF是△ABC的中位线，∴OF=12BC，∵BD=13CD，∴BD=14BC，∵CA与☉O相切于点A，∴∠CAB=90°，∴∠CAB=∠ADB=90°，∵∠B=∠B，∴△BDA∽△BAC，∴BA∴BA2=BD·BC，∴25=14BC2，∴BC=10，∴OF=12BC=5，∵OA=12AB=2∴AF=OF2−OA2=11.AB≠2CD解析AB=2CD的反面是AB≠2CD.12.110°；70°解析如图，连接OD和OF，∵☉O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∠A=40°，∴BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°，∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-12(∠ABC+∠ACB)=180°-12×140°=110°，∵OD⊥AB，OF⊥∴∠ADO=∠AFO=90°，∴∠DOF=360°-90°-90°-40°=140°，∴∠DEF=12∠DOF=7013.是解析如图所示，连接OE，∵∠BAC=90°，D为BC边的中点，∴AD=12BC=CD，∴∠C∠DAC，∵OA=OE，∴∠DAC=∠AEO，∴∠C=∠AEO，∴OE∥BC，∵EF⊥BC，∴EF⊥OE，∴EF是☉O的切线.14.x2+y2≥2xy(写出x+y≥2xy也可以)解析连接OC.由题意知圆O的直径为x+y，则半径为x+y2，则OE=x+y2-y=x−y2.由勾股定理，得CE2=OC2-OE2，即∴CE=xy(舍负)，∴CD=2CE=2xy，又AB≥CD，∴x+y≥2xy，∴(x+y)2≥4xy，∴x2+y2≥2xy.15.解析△ABC是等边三角形.理由：∵CD是☉O的直径，AB⊥CD，∴AC=BC，∴AC=BC.又∠A=∠BPC=60°，∴△ABC是等边三角形.16.解析(1)证明：如图1，连接OA、OB，∵OA=OB，∴∠A=∠B.∵AC=BD，∴∠AOE=∠BOF.在△AOE和△BOF中，∠∴△AOE≌△BOF(ASA)，∴AE=BF.图1(2)如图2，连接OA，∵OM⊥AB，∴AM=12AB=6设OM=x，则OA=ON=x+3，在Rt△AOM中，由勾股定理得62+x2=(x+3)2，解得x=4.5，∴OM=4.5.图217.解析如图，过O点作OD⊥AB，交AB于点E，交☉O于点D，∴AE=BE=12AB=12在Rt△AEO中，OE=OA2−A∴ED=OD-OE=5-3=2.答：水车工作时，盛水筒在水面以下的最大深度为2m.18.解析如图，连接OE，OF，OD，OM，ON，∵E、F分别为DA、DC的中点，∴OE⊥AD，OF⊥CD.∵四边形ABCD为正方形，∴∠ADC=90°，AD=CD，∴四边形OEDF是矩形，OE=OF，∴四边形OEDF是正方形，设OD与MN的交点为G，则OG=12OD，OG⊥MN∴MG=12MN=63设☉O的半径为r，由勾股定理，得OG2+MG2=OM2，即12r2+(63)2=解得r=12，即☉O的半径长为12.19.解析(1)如图，△A1B1C1即为所求.(2)如图，△A2BC2即为所求.20.解析(1)连接OC、OD，如图1所示.则OC=OD=3，∵∠A=30°，∴∠DOC=60°，∴△OCD是等边三角形，∴CD=3.(2)证明：连接CO并延长交☉O于点M，连接AM，如图2所示.则∠MAC=90°，∠M+∠ADC=180°，∴∠M+∠ACM=90°，∵∠ACB+∠ADC=180°，∴∠M=∠ACB，∴∠ACB+∠ACM=90°，即∠BCM=90°，又CM是☉O的直径，∴BC是☉O的切线.21.解析(1)证明：连接OB，如图，∵☉O与边AB所在的直线相切，且切点恰为点B，∴OB⊥AB，∴∠OBA=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∵∠AOB=2∠C，∴∠A+2∠C=90°.(2)在Rt△AOB中，∵∠A=30°，AB=6，∴∠AOB=60°，OB=33AB=23如图，作OH⊥BC于H，则BH=CH，∵∠C=12∠AOB=30°∴OH=12OC=3，∴CH=3OH=3∴BC=2CH=6，∴阴影部分的面积=S△OBC+S扇形BOD=12×6×3+60×π×(222.解析(1)如图1，连接OC，∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC=90°-∠ABC=65°，∵AB∥CD，∴∠BCD=∠ABC=25°，∵OB=OC，∴∠OCB=∠ABC=25°，∴∠OCD=50°，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD=50°.(2)如图2，连接OC，∵CF与☉O相切，∴OC⊥CF，∵OD∥CF，∴∠DOC=∠OCF=90°，∵OC=OD，∴∠ODC=45°，∵AB∥CD，∴∠BOD=∠ODC=45°，∴∠BOC=135°，∵OB=OC，∴∠ABC=12×(180°-1