第27讲 机械能守恒定律及其应用（讲义）（解析版）

学而优教有方第27讲机械能守恒定律及其应用目录复习目标网络构建考点一机械能守恒的判断条件【夯基·必备基础知识梳理】知识点1重力势能和弹性势能知识点2机械能守恒的判断条件【提升·必考题型归纳】考向判断物体和系统机械能守恒考点二单个物体的机械能守恒问题【夯基·必备基础知识梳理】知识点1机械能守恒的三种表达式知识点2应用机械能守恒定律解题的基本思路【提升·必考题型归纳】考向对单个物体的应用机械能守恒定律考点三三类连接体的机械能守恒问题【夯基·必备基础知识梳理】知识点1轻绳连接的物体系统基本规律知识点2轻杆连接的物体系统基本规律知识点3轻弹簧连接的物体系统基本规律【提升·必考题型归纳】考向1轻绳连接的物体系统考向2轻杆连接的物体系统考向3轻弹簧连接的物体系统考点四非质点类机械能守恒问题【夯基·必备基础知识梳理】知识点非质点类机械能守恒问题的规律【提升·必考题型归纳】考向1“液柱”类问题考向2“链条”类问题考向3“过山车”类问题真题感悟理解机械能守恒的条件。能够利用机械能守恒定律处理多物体多过程的机械能守恒问题。考点要求考题统计考情分析（1）机械能守恒定律（2）应用机械能守恒定律2023年全国甲卷第24题2023年6月浙江卷第3题2022年全国乙卷第16题高考对机械能守恒定律考查近几年较高，题目形式有选择题也有计算题，题目难度不大。复习过程中应多注意绳、杆、弹簧模型和圆周运动中结合机械能守恒定律的有关内容的考查。考点一机械能守恒的判断条件知识点1重力势能和弹性势能1．重力做功的特点(1)重力做功与路径无关，只与始、末位置的高度差有关。(2)重力做功不引起物体机械能的变化。2．重力做功与重力势能变化的关系(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减小；重力对物体做负功，重力势能就增大。(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量，即WG＝－(Ep2－Ep1)＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。(3)重力势能的变化量是绝对的，与参考面的选取无关。3．弹性势能(1)概念：物体由于发生弹性形变而具有的能。(2)大小：弹簧的弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变量越大，劲度系数越大，弹簧的弹性势能越大。(3)弹力做功与弹性势能变化的关系：类似于重力做功与重力势能变化的关系，用公式表示：W＝－ΔEp。知识点2机械能守恒的判断条件1．机械能：动能和势能统称为机械能，其中势能包括弹性势能和重力势能。2．机械能守恒定律：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。3．对守恒条件理解的三个角度4．判断机械能守恒的三种方法考向判断物体和系统机械能守恒1．下列说法正确的是（）A．做匀速直线运动的物体，机械能一定守恒 B．做曲线运动的物体，机械能可能守恒C．物体所受的合力为零，机械能一定守恒 D．物体所受的合力不为零时，机械能一定不守恒【答案】B【详解】A．机械能守恒的条件是只有重力做功，如果物体竖直向上做匀速运动，向上的外力做正功，机械能增加，A错误；B．做平抛运动的物体，只有重力做功，机械能守恒，B正确；C．竖直方向的匀速运动，合外力为零，物体动能保持不变，而势能发生变化，机械能不守恒，C错误；D．做自由落体运动的物体，只有重力做功，机械能守恒，D错误。故选B。2．如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是（）

A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒B．乙图中，A置于光滑水平面，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒C．丙图中，不计任何阻力时A加速下落，B加速上升过程中，绳子拉力分别对A和B做功，所以A、B组成的系统机械能守恒D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒【答案】D【详解】A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，重力和弹簧弹力做功，系统机械能守恒，弹簧的弹性势能增加，故A机械能减少，故A错误；B．乙图中，A置于光滑水平面，物体B沿光滑斜面下滑，物体A将向右运动，故物体B对物体A的弹力对物体A做功，物体A的动能增加，物体B机械能减少，故B错误；C．丙图中，不计任何阻力时A加速下落，B加速上升过程中，A、B组成的系统只有重力做功，所以A、B组成的系统机械能守恒，故C错误；D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的动能和重力势能均不变，小球的机械能守恒，故D正确。故选D。考点二单个物体的机械能守恒问题知识点1机械能守恒的三种表达式项目守恒角度转化角度转移角度表达式E1=E2ΔEk=-ΔEpΔEA增物理意义系统初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等表示系统(或物体)机械能守恒时,系统减少(或增加)的重力势能等于系统增加(或减少)的动能若系统由A、B两部分组成,则A部分物体机械能的增加量与B部分物体机械能的减少量相等注意事项应用时应选好重力势能的零势能面,且初、末状态必须用同一零势能面计算势能应用时关键在于分清重力势能的增加量和减少量,可不选零势能面而直接计算初、末状态的势能差常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题知识点2应用机械能守恒定律解题的基本思路考向对单个物体的应用机械能守恒定律3．在一轻弹簧下挂一重物，将它从位置处放开，它将迅速下降，直至位置后再返回（如甲图所示）。若我们用手托着该重物使它缓缓下降，最终它在达到位置后就不再运动了（如乙图所示）。记弹簧的弹性势能为、物体和地球的重力势能为、物体的动能为，弹簧始终处于弹性限度内，关于两次实验，下列说法正确的是（）A．甲图里重物从到的过程中，持续减小B．乙图里重物从到的过程中，持续增大C．甲图里重物从到的过程中，保持不变D．乙图里重物从到的过程中，保持不变【答案】C【详解】A．由题意可知，甲图里重物在达到位置处，弹簧的弹力与重物的重力大小相等，此时重物的速度最大，则有在重物从到的过程中，弹力大于重力，重物做减速运动，动能减小，重物与弹簧组成的系统机械能守恒，由机械能守恒定律可知，持续增大，A错误；B．乙图里重物从到的过程中，用手托着该重物使它缓缓下降，重物动能不变，可手对重物的支持力对重物做负功，则系统的机械能减小，则有持续减小，B错误；C．甲图里重物从到的过程中，重物与弹簧组成的系统机械能守恒，则有保持不变，C正确；D．乙图里重物从到的过程中，手对重物的支持力对重物做负功，因此系统的机械能减小，则有减小，D错误。故选C。4．如图1，在竖直平面内固定一光滑的半圆形轨道，半径为，小球以一定的初速度从最低点A冲上轨道，图2是小球在半圆形轨道上从A运动到的过程中，其速度平方与其对应高度的关系图像。已知小球在最高点受到轨道的作用力为，空气阻力不计，点为轨道中点，重力加速度取，下列说法错误的是（）

A．最高点时小球所受的合外力竖直向下B．图2中C．小球在B点受到轨道作用力为D．小球质量为【答案】C【详解】A．在最高点，小球所受合外力提供向心力，故方向竖直向下，A正确，不符合题意；D．由图2可得在最高点，小球的速度，由牛顿第二定律可解得小球的质量故D正确，不符合题意；B．小球从A运动到的过程中，由机械能守恒定律解得故B正确，不符合题意；C．小球从A运动到B的过程中，由机械能守恒定律解得小球在B点受到轨道作用力为故C错误，符合题意。故选C。考点三三类连接体的机械能守恒问题知识点1轻绳连接的物体系统基本规律常见情景三点提醒(1)分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。(2)用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。(3)对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。知识点2轻杆连接的物体系统基本规律常见情景三大特点(1)平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等。(2)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。(3)对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。知识点3轻弹簧连接的物体系统基本规律题型特点由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。两点提醒(1)对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量完全决定，无论弹簧伸长还是压缩。(2)物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关。考向1轻绳连接的物体系统1．如图所示，有两条位于同一竖直平面内的光滑水平轨道，相距为，轨道上有两个物体和B，质量均为，它们通过一根绕过定滑轮的不可伸长的轻绳相连接。在轨道间的绳子与轨道成角的瞬间，物体在下面的轨道上的运动速率为。此时绳子段的中点处有一与绳相对静止的小水滴与绳子分离。设绳长远大于滑轮直径，不计轻绳与滑轮间的摩擦，下列说法正确的是（）

A．位于图示位置时物体B的速度大小为B．小水滴与绳子分离的瞬间做平拋运动C．在之后的运动过程中当轻绳与水平轨道成角时，物体B的动能为D．小水滴脱离绳子时速度的大小为【答案】AC【详解】A．将物体B的速度分解到沿绳和垂直于绳方向如图甲所示，在轨道间的绳子与轨道成角的瞬间，有；；故A正确；D．绳子段一方面向点以速度收缩，另一方面绕点逆时针转动，在轨道间的绳子与轨道成角的瞬间，其角速度，点既有沿绳子斜向下的速度，又有垂直于绳子斜向上的转动的线速度，P点的合速度即小水滴的速度为故D错误；B．点沿绳的分速度与物体B沿绳的分速度相同，垂直于绳的分速度小于物体B垂直于绳的分速度，物体B的合速度水平向左，则小水滴的合速度斜向左下，如图乙所示，故水滴做斜抛运动，故B错误；C．当轻绳与水平轨道成角时，物体B沿绳方向的分速度为0，物体的速度为0，物体运动过程中，物体AB组成的系统机械能守恒，从题图示位置到轻绳与水平轨道成角时，根据机械能守恒定律得解得故C正确。

故选AC。2．如图所示，半径为的四分之一光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，点为圆心。点右侧相距处固定一个光滑定滑轮。质量为的小圆环静止在圆弧轨道底端点，现用一根细线系在小圆环上，另一端跨过定滑轮系上质量为的重物，使细线伸直。将重物由静止释放，小圆环沿圆弧轨道上滑，运动到点时速度恰好变为零。则（）

A．、的质量之比为B．重物释放瞬间处于超重状态C．小圆环到达点后还能返回点D．小圆环的速度在任意时刻都不可能与重物速度大小相等【答案】AC【详解】A．由几何关系可知，。在运动过程中，对环和重物组成的系统，根据机械能守恒定律可知解得故A项正确；B．重物物释放瞬间，加速度向下，绳子的拉力小于重物重力，处于失重状态，故B项错误；C．小圆环由点开始运动，到达点时速度恰好为零，然后小圆环从P点向Q点运动，由于系统机械能守恒，所以小圆环能再次回到点，故C项正确；D．如图所示

当圆环运动到点时，细线与圆弧相切，圆环速度沿圆弧切线方向，圆环速度大小与重物速度大小相等，故D项错误。故选AC。考向2轻杆连接的物体系统3．半径为R的光滑圆环竖直放置，环上套有两个质量分别为m和的小球A和B。A、B两球之间用一长为的轻杆相连，如图所示。开始时，A、B两球都静止，且A球在圆环的最高点，现将A、B两球由静止释放，则下列说法正确的是（）

A．A、B和轻杆组成的系统在运动过程中机械能守恒B．B球到达最低点时的速度大小为C．B球到达最低点的过程中，杆对A球做负功D．B球在圆环右侧区域内能达到的最高点位置高于圆环圆心【答案】ABD【详解】A．球A、B和轻杆组成的系统只有动能和势能间的相互转化，系统机械能守恒，A正确；B．释放后B球到达最低点的过程中，由机械能守恒定律，有因为A、B均做半径相同的圆周运动且角速度相等，可得解得，B正确；C．B球到达最低点的过程中，设轻杆对A球做的功为，对A球应用动能定理可得又解得，C错误；D．设B球到达右侧最高点时，OB与竖直方向之间的夹角为θ，如图所示

取圆环的圆心O所在的水平面为参考平面，由系统机械能守恒可得代入数据可得所以B球在圆环右侧区域内达到最高点时，高于圆心O的高度，D正确。故选ABD。4．如图所示，两根长度均为L的轻质细杆，一端用质量为m的球形（视为铰链球a）铰链相连，两杆另一端分别安装质量为m和2m的小球b、c。开始时两杆并拢，竖直放置在光滑水平地面上，铰链球在上，从静止释放，b、c两球开始向两边滑动，两杆始终保持同一竖直面内。已知三球本身的大小、a小球碰地面的能量损失以及一切阻力均可忽略，重力加速度为g。下列说法正确的是（）A．a、b、c三小球组成的系统机械能守恒B．a、b、c三小球组成的系统动量守恒C．a小球碰地面时速度为D．当两杆夹角为时，b、c两球的速度之比为【答案】ACD【详解】AC．铰链球a与桌面相碰时，三球的水平速度均为零，只有铰链球a具有竖直向下的速度。a、b、c三小球组成的系统机械能守恒，则有解得a小球碰地面时速度为故AC正确；BD．在铰链球下落过程中，铰链球a竖直方向有加速度，b、c两球竖直方向没有加速度，可知a、b、c三小球组成的系统竖直方向动量不守恒；a、b、c三小球组成的系统水平方向不受力，故a、b、c三小球组成的系统水平方向动量守恒，当两杆夹角为时，如图所示根据系统水平方向动量守恒可得，a、b、c三小球组成的系统机械能守恒，则有因杆刚性，每杆上、下两端小球沿杆长方向的速度分量应相同，当两杆夹角为时，有；联立以上各式可解得；；；故当两杆夹角为时，b、c两球的速度之比为故B错误，D正确。故选ACD。考向3轻弹簧连接的物体系统5．如图所示，滑块2套在光滑的竖直杆上并通过细绳绕过光滑定滑轮连接物块1，物块1又与一轻质弹簧连接在一起，轻质弹簧另一端固定在地面上。开始时用手托住滑块2，使绳子刚好伸直处于水平位置但无张力，此时弹簧的压缩量为d。现将滑块2从A处由静止释放，经过B处的速度最大，到达C处的速度为零，此时物块1还没有到达滑轮位置。已知滑轮与杆的水平距离为3d，AC间距离为4d，不计滑轮质量、大小及摩擦。下列关于滑块2在AC间下滑时的说法中，正确的是（）

A．滑块2下滑过程中，加速度一直减小B．滑块2经过B处时的加速度等于零C．物块1和滑块2的质量之比为2：1D．除A、C两点外，滑块1的速度大小始终小于滑块2的速度大小【答案】BCD【详解】AB．滑块2下滑过程中，绳子拉力增大，合力先减小后反向增大，在B处速度最大，加速度为零，则加速度先减小后反向增大，故A错误，B正确；C．当A下滑到C点时，物体2上升的高度为则当物体2到达C时弹簧伸长的长度为d，此时弹簧的弹性势能等于物体1静止时的弹性势能，对于A与B及弹簧组成的系统，由机械能守恒定律应有解得，C正确；D．除A、C两点外，滑块l的速度只是滑块2沿绳方向的分速度，所以滑块1的速度大小始终小于滑块2的速度大小，D正确。故选BCD。6．如图，轻质弹簧一端与垂直固定在斜面上的板C相连，另一端与物体A相连。物体A置于光滑固定斜面上，斜面的倾角。A上端连接一轻质细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体B相连且始终与斜面平行。开始时托住B，A静止且细线恰好伸直，然后由静止释放B。已知物体A、B的质量均为m，弹簧的劲度系数为k，当地重力加速度为g，B始终未与地面接触。从释放B到B第一次下落至最低点的过程中，下列说法正确的是（）。A．刚释放物体B时，物体A受到细线的拉力大小为B．物体A到最高点时，A所受合力大小为C．物体B下落至最低点时，A和弹簧组成系统的机械能最大D．物体A的最大速度为【答案】ACD【详解】A．刚释放物体B时，以A、B组成的系统为研究对象，有解得对B研究解得故物体A受到细线的拉力大小为，故A正确；BC．对于A、B物体以及弹簧组成的系统，只有弹簧的弹力和重力做功，系统机械能守恒，B减小的机械能转化为A的机械能以及弹簧的弹性势能，故当B下落至最低点时，A和弹簧组成系统的机械能最大，且此时A上升到最高位置，根据对称性可知B产生的加速度大小也为故对B受力分析，根据牛顿第二定律可知解得故AB整体研究，可得解得对A研究，A受到弹簧拉力、重力和绳子的拉力，则故B错误，C正确；D．手拖住物块B时，物块A静止，设此时弹簧的压缩量为，对物块A根据平衡条件可得解得当物体A上升过程中，当A和B整体的加速度为0时速度达到最大值，此时细线对A的拉力大小刚好等于，设此时弹簧的伸长量为，则解得所以此时弹簧的弹性势能与初始位置时相同，对A、B和弹簧组成的系统，根据机械能守恒定律得解得故D正确。故选ACD。考点四非质点类机械能守恒问题知识点非质点类机械能守恒问题的规律1.物体虽然不能看成质点，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。2.在确定物体重力势能的变化量时，要根据情况，将物体分段处理，确定好各部分重心及重心高度的变化量。3.非质点类物体各部分是否都在运动，运动的速度大小是否相同，若相同，则物体的动能才可表示为eq\f(1,2)mv2。考向1“液柱”类问题1．横截面积为S的U形圆筒竖直放在水平面上，筒内装水，底部阀门K关闭时两侧水面高度分别为h1和h2，如图所示。已知水的密度为ρ，重力加速度大小为g，不计水与筒壁间的摩擦阻力。现把连接两筒的阀门K打开，最后两筒水面高度相等，则该过程中（

）A．水柱的重力做正功B．大气压力对水柱做负功C．水柱的机械能守恒D．当两筒水面高度相等时，水柱的动能是ρgS（h1-h2）2【答案】ACD【详解】B．从把连接两筒的阀门打开到两筒水面高度相等的过程中，大气压力对左筒水柱做正功，对右筒水柱做负功，抵消为零，故B错。ACD．水柱的机械能守恒，重力做功等于重力势能的减少量，等于水柱增加的动能，等效于把左筒高的水柱移至右筒，重心下降，重力所做正功WG=ρgS=ρgS（h1-h2）2，A、C、D正确。故选ACD。考向2“链条”类问题2．如图所示，一条长为L的均匀金属链条，有一半长度在光滑倾斜木板上，木板倾角为30°，木板长度是2L，另一半沿竖直方向下垂在空中，左侧水平桌面足够长且光滑，当链条从静止释放后，下列说法正确的是（）A．链条沿斜面向下滑动B．链条沿斜面向上滑动C．链条全部离开斜面瞬间速度为D．链条全部离开斜面瞬间速度为【答案】BD【详解】AB．因垂在空中的一半链条的重量大于在光滑倾斜木板上的一半链条的重力下滑分力，即可知，链条沿斜面上滑，选项B正确，A错误；CD．由机械能守恒定律