【中考数学】2024届九年级地理论专题复习-四大最值模型（含解析）

【中考数学】2024届九年级地理论专题复习—四大最值模型

模型1“胡不归”模型

模型故事

从前,有个小伙子外出务工，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即启程赶路.由于思乡心切，

他只考虑了两点之间线段最短的原理,所以选择了路径/反但他忽略了走砂砾地带速度变慢的因素.

当他赶到家时，老人刚刚咽气邻居告诉说，老头弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不?…

而如果先沿着驿道力。走一段，再走砂砾地，会不会更早些到家?在这个问题中，由于这个小伙子

在驿道和砂砾地带上前行的速度不同,那么这个小伙子有没有可能先在驿道上行走一段路程后，再

走砂砾地带?虽然走的路多了，但总用时变少了，如果真有这种情况，那么在驿道和砂砾地带之间的

拐点就尤为重要了，请问如何确定这个点呢？

模型展现

基础模型

B

/

已知:点A为直线/上一定点点B为直线外一定点，点P在直线I上

AP1运动

B

问题:如何确定点p,使得川勺值最小

DC

怎么用？

1.找模型

直线上一定点力,一动点尸，8为直线外一点，求MP+8P的最小值

2.用模型

构造直角三角形，利用三角函数将含系数的线段进行转换，再根据垂线段最短化折为直，从而得到线

段和最小值，最后运用锐角三角函数求解即可

模型分析

如图，求这类带有系数的折线最值问题，通常我们都是将折线转化成为线段，再利用两点之间线段最

短或垂线段最短求解，

该模型就是利用了垂线段最短的性质,具体解题步骤如下：

一找:找带有系数A的线段MP；

二构:在点B异侧，构造以线段AP为斜边的直角三角形；

①以定点A为顶点作NC4尸，使得sin^PAC=h;

②过动点P作垂线构造RtAPAC,

三转化:化折为直，将kAP转化为PC;

四求解:使得/MP+4P=PC+6P,利用“垂线段最短”转化为求BD的长度.

B

拓展延伸

熟记特殊角的锐角三角函数值，kAP+BP中系数A发生变化时，所构造的直角三角形也会

发生变化，同学们需要牢记特殊角度的正弦值：sin30°=-sin60°=—sin45°=—

2,2,2,

34

sin37°»-sin53°»-

5,5

例1如图，在。中，AC=6,N/=30。，点。是边上一动点，（点拨：两定点力、C,动点

D,含特殊角30。）则-CZ）的最小值为（点拨：线段数量关系的最小值，考虑“胡

2

不归”）

例1题图

考什么？

直.角三角形的性质,30。,60。角的锐角三角函数值，垂线段最短.

思路点拨

哪条线段带有系数，就以它为斜边构造直角三角形，使得其中一锐角的正弦值恰好与系数相等.

例2如图，在平行四边形力成力中,/。48=45。，（点拨：特殊角）川?=6,BC=2,P为C7）边上的

一动点，则P8+二一PQ（点拨：线段数量关系出现，且0VAV1,模型出现）的最小值为

2

U_______FC

AB

例2题图

考什么？

平行四边形的性质，直角三角形的性质,45。角的锐角三角函数值，垂线段最短。

实战实演

1、如图,在0力8。中/8=彳。=8附〃4=/3,8%乂。于点瓦点。是线段8f上的一个动点，则CO+-BD

2

的最小值是（）

44Z?.4V3C2+4/iD.8

AB\

AEC

第1题图

2、如图,在等腰R/A44C中，NBAC=90°,4c=10,AD上BC于点、D,点M是力。上一点，则

模型2“阿氏圆”模型

模型故事

阿氏圆（阿波罗尼斯圆）

阿波罗尼斯（4po〃a〃Zs,约公元前262-190年），古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德齐

名。他的著作《圆锥曲线论》是占代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎

PA

使后人没有插足的余地。如图，已知平面上两定点力、B,则所有满足——=k

PB

（%>0且原1）的点P的轨迹是一个圆,这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏

圆”。

模型展现

基础模型:

B已知：点P是半径为，•的。。上的一动点，

点48为。。外两定点

问题:当厂，女满足尸%&（0<Kl）时,求形如“MP+BP，线段长

/度的最值

A

怎么用?

1.找模型平面上两点48,点尸在圆上，求“MP+8P”的最小值或Z2姐P”的最大值，即考虑“阿

氏圆”模型

2.用模型

截取线段构造一组相似三角彩，利用线段比例关系转化线段，再根据线段最短问题求最值。

模型分析：

如图，点P是半径为厂的。。上一动点，点48为圆外的定点，且尸上0力（0<Ayl）,如何确定点

P的位置，使得"P+8P的值最小。

一找：找带有系数的线段力?；

二构：在线段。力上取一点C,构造/PC。〜//P。；

①在线段0A上截取0C,使得OC=kr\

②连接尸COK证明/尸CO〜/ZPO;

三转化：通过相似三角形的对应边成比例，将乂尸转化为PC；

四求解：使得乂0+4P=PC+4R连接4C,利用“两点之间线段最短”转化为求BC的长.

【满分技法】

阿氏圆模型，初中阶段不要求证明，但需要掌握的是，学会运用构造相似三角形的方法，确定。

点的位置，求形如“MP+8P”线段长度的最值，不仅在选填中考查，而且在几何、面数综合题中也

考查，因此提炼模型特点，掌握应对方法很重要.

模型拓展

思考“胡不归”"阿氏圆''之间的关系：

平面上有一动点P,两定点48,如何确定点P的位置，求解形如kAP+BP的最值

当0<Kl时点尸的轨迹为一条直线考虑“胡不归”模型

点P的轨迹为圆或为圆的一部分时考虑“阿氏圆''模型

【满分技法】

若遇到形如匕P8+A,以的问法，只需将其中一个系数化为1.就化为标准模型了，对于邛可氏圆”

例外，“阿氏圆”模型是利用构造“子母”相似三角形来解题，只要符合相似比即可.

典例小试

例1如图，已知/彳08=90。,。8=4。4=6.。0的半径为2,（圆外两点）P为圆上一动点.（圆上

一/点八、/）

（\）AP+-BP的最小值为

（2）-AP+BP的最小值为.

3

例1题图

考什么？

相似三角形的判定与性质，勾股定理

思路点拨

该题两问均为/P与4P数量关系的最值，但解题的关键要看系数女所在的线段，再依据模型方

法解题.

例2如图，在中，/力。8=90。/。=4,8。=3,。为△力8c内一动点，满足8=2,（点。在

2

以点。为圆心，CO长为半彷的圆上）那么力。+—8。的最小值_____________.

3

例2题图

考什么？

定点定长构造隐形图，相似三角形的判定及性质，勾股定理求线段长，两点之间线段最短.

思路点拨

有时候题干中不会直接出观圆，而需要根据题目中所给的釜件判断并画出隐形国，再解题，因此

最重要的还是提炼模型特点！(隐形图问题见模型42-46)

实战实演

1.如图，在矩形44co中，BC=7/4=9,P为矩形内部一点，分别连接且心=3,延长CP

交4B于点、F,若斯=1.则-AP+PC的值为____________.

3

第1题图第2题图

2

2.如图，已知正方形48CO的边长为9,的半径为6,点P是。8上的一个动点，那么尸。+一尸。

3

的最小值为____________，尸D-士2。。的最大值为_____________.

3

3.如图，已知抛物线y=a，+云+c3H())过48两点，。4=1。4=5,抛物线与)，轴交于点。,点。

的纵坐标与点B的横坐标相向，抛物线的顶点为D.

(1)抛物线的解析式为,顶点D的坐标为：

(2)如图，已知。力的半径为2,点〃是圆X上一动点，连接CMA/8,则也+是否存在

13

最小值？若存在，说明在何处取得最小值；若不存在，请说明理由.

第3题图

模型3费马点模型

模型故事

费马点

皮耶•德•费马,17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉,之所以叫业余并非段位不够，而

是因为其主职是律师，兼职搞数学.费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马

广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”“费马大定理”等.

今天的问题不是费马提出来的，而是他解决的,故而叫费马点

模型展现

模型图模型介绍

B已知:在△/BC内有一点P,则当点P在何处时，点P到三角形的三个

顶点力、B、。的距离之和最小

结论1:当△ABC的最大内角小丁120。时产点满足

NAPB=NBPC=NAPC=120°;

CA结论2:当有一-内角不小于120。时点P与最大角顶点重合

怎么用？

1.找模型.费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点（也叫托里拆利点）

2.用模型.运用旋转法，以三角形任意一条边向外旋转构造等边三角形，根据两点之间线段最短，得出

费马点位置）

结论分析

结论1:当△48c的最大内角小于120。时，尸点满足4P4=N7化。=4PC=120°

证明:如图①，将△C3P绕点C逆时针旋转60。得到连接PE,BF,

:.△CBPdCFE,PB=EF,CP=CE,CB=CE

又NPCE=/BCF=60。,

：.ABCF,CCEP均为等边三角形，

/.PC=CE=PE,PA+PB+PC=PA+EF+PE>AF,

J当4P4/四点共线时，以+P8+PC的值最小，最小值为AF的长.

此时4PC=180"NCPE=180°-60°=120°,

/BPC=/FEC=18（）Q-ZCEP=180°-60°=120°,

NAPB=360°-(/APC+/BPC尸120°,

・••NAPB=/BPC=NAPC=120°.

结论2:当△力8c有一个内角不小于120。时，点P与最大角顶点重合

证明:在△48C中，令/力2()。,在△力4c内取一点尸，连接PA，尸4,PC,将C8PC绕点。逆时针

旋转至/尸EC,使得EC,A三点共线.

:•△EFCdPBC,.

・・・/ECF=NBCP,

:・NECP=1800-ZECF-ZPCA=1800-ZBCP-ZPCA=1800-ZACB<60Q,

在三角形中，由于小角对小边，

：.EP<PC,

・：PB+PC+PANEF+EP+R4NFA.

・••当尸点与。点重合时,P8+PC+%的值最小，即C点为费马点.

图②

满分技法

证明过程是把三角形内一点到三个顶点的距离之和转化为一条折线,且折线的最远端两个端点是

固定的，因此只有折线成为直线段时距离之和最小.

巧学巧记

口诀记忆：

向外作等边三角形，连线即可,如图，以ZU8C的三边为边向外构造等边ZA8CO,ZViC£ZUBF,连接

AD,BE,CE则:①40,8瓦C/交于点P,即为费马点;②a+P8+PC=4O=8£=CF.

典例小试

例1

如图，在ZUBC中,NACB=30。（注：含3（）。特殊角，可考虑绕点C旋转构造等边三角形）

,BC=6,AC=5,P为三角形内一点，则PA+PB+PC的最小值为

例1题图

本题考什么？

旋转的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的判定与性质.

思路点拨

在证明费马点结论时，绕任意顶点旋转均可求证，但在解题时，要结合具体题干特点，选择“有用”的顶

点旋转构造.

例2.

如图，ZUAC为等边三角形尸是A48C内一点，以=3,P8=4,PC=5（注：常见直角三角形的三边长

3.4,5,考虑将其通过旋转转化在一个三角形中），则4P8的度数为.

例2题图

本题考什么？

旋转与等边三角形的性质，勾股定理逆定理

思路点拨

通过旋转,将所求角度转化为其他角度，把%/8,PC放在一个三角形中,根据三角形的特殊性解题.

(当题中存在常见的直角三角形三边关系或其倍数关系时，考虑旋转、平移或构造等线段转化)

实战实演

1.如图，在RA48C中,NACB=90。/。=9,8。=9出，产为AABC内一点，则PA+PB+PC的最小值为

第1题图

2.在锐角ZUZ?C火力07,々。4-75。/为〃4?。内任意一点,当为1/〃1/。的最小值为17时,Z?C

的长为.

3.如图，有一个正方形的花圃,48CQ,园林设计的工人要在花厕内部找一出水口P,并向力。边和8、C

两点装水管,使得点P到AD的距离和点P到B、C两点的距离之和最小，已

知花圃的边长48=6米,水管的单价为10元/米，求购买水管最少需要多少钱?(结果保留整数,

◎>-73)

第3题图

4.如图，△AAC为等边三角形，。为△48C内部一点，AD=3,BD=3®CD=6.

(1)求/力。氏N/OC与N3OC的度数;

(2)求△48C的面积.

模型4主从联动模型

模型故事

主从联动

“主从联动模型''也叫"瓜豆模型''，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆这类动点问题中，一个动点随

另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫做从动点和主动点,从动点和主动点的轨迹是一致的，

即所谓“种”圆得圆，“种”线得线（而当主动点轨迹是其他图形忖，从动点轨迹必然也是）.解决这一类

问题通常用到旋转和相似.

模型展现

基础模型

模型一直线轨迹

已知定点力，动点P和0,ZPAQ=a,——为定值，点P在直线BC上运动

力。

AA已知：当/"。=0。时

A

一Q/、

1_

/结论1:。点轨迹是一条直线

BPCBPNMC

已知：当力PH力。时，且NP4。为定值

AA—;X\,a时

F公结论2：0点轨迹是一条直线，且有

BPCBPP|c

PP}AP

QQ「AQ

怎么用？

1.找模型

“双动点、一个随着另一个动”，即考虑“主从联动模型”

2.用模型

找主动点的运动轨迹并确定主动点的起始点，根据主动点的起始点确定从动点的起始点及

运动轨迹，再根据动点所在的规则图形进行计算

模型二圆轨迹

已知定点/，动点尸和0,ZPAQ=a,——为定值，点。在O。上运动

力。

P已知：当/尸w4。时，且/0/。=0。时

结论3：0点轨迹是一个圆，且力，。，P始终在一条直线

上

已知：当40=24。时，且/产力。二夕时

1

应、、

结论4：。点轨迹是一个圆，且半径为0O的一半

满分技法

当主动点、从动点到定点的距离相等时,从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长;当主动

从动点运动路径.从动点到定点距离

点、从动点到定点的距离不相等时,

主动点运动路径主动点到定点距离

巧学巧记

当4P时，主动点路径和从动点路径的大小相等、形状相同,即两个全等的图形.

模型分析

以圆轨迹的主从联动为例，求从动点的方法如下：

第一步:确定主动点P，从动点0;

第二步:确定主动点P的轨迹（。。）;

第三步:确定ZPAQ的大小及笔的值；

第四步:确定点M的位置及4%的长:令=0_=0£=丝，求出40和

AOPOAP

QM；

第五步:确定从动点。的轨迹（OM）的圆心和半径.

满分技法

主从联动问题变换前后的图形形状不变,但大小可能发生变化，其解题方法就是构造旋转、位似

图形,本质就是对图形中的每个点进行旋转变化和位似变化.

典例小试

例1.（2021宜宾