电路基础课件：非正弦周期电流电路

6.1

周期函数分解为傅里叶级数

6.2

非正弦周期电流电路的计算

非正弦周期电流电路一T2T

t(s)一T0

T2N0

t(s)非正弦周期信号激励为正弦周期信号

u(t),

i(t)激励为直流信号

u(t),

i(t)f

(t)锯齿波波形f

(t)脉冲波波形f

(t)矩形波波形0

t(s)uS

(t)t(s)t(s)002非正弦周期信号产生的原因电源输出的电压或电流本身就是非正弦周期函数。

多个不同频率的电源同时作用于电路

电路中含有非线性元件

发电机的制造原因

0+u

一

RVD3

VD2f

(t)全波整流波形O

π

2π

t~220V50Hzu

U2u

U+u一t(s)f

(t)t(s)VD1VD40o2o2Ot3L222线性电路

uS

(t)

=

US0

+

[USkm

cos(kO1t

+

k

)]响应=响应0+响应1+响应2+…+响应nk=1

US0

f

(t)

=

f

(t

+

T)谐波分析法

USn

US2

US146.1

周期函数分解为傅里叶级数5f

(t)

=

f

(t

+

T)狄利赫利条件：1.

f

(t)

为单值周期函数；2.在一个周期内只能有有限个第一类间断点；3.在一个周期内只有有限个极大值和极小值；4.积分j0

f

(t)

d

t

为有限值。|

6.1

周期函数分解为傅里叶级数

一、傅里叶级数T6f

(t)

=

+

[ak

cos(ko1t)+

bk

sin(ko1t)]

k

=

1,2,32冗a0

,ak

,bk

——系数

o1

=

Ta0

=

j0

f

(t)dt

=

j0

f

(t)do1tak

=

j0

f

(t)cos(ko1t)dt=

j0

f

(t)cos(ko1t)do1tbk

=

j0

f

(t)sin(ko1t)dt

=

j0

f

(t)sin(ko1t)do1tTTTTTTTTTTTTTTT2冗2T冗1TTTTTTTTTTTTTT2冗2T冗1TTTTTTTTTTT2冗2T冗1|

6.1

周期函数分解为傅里叶级数

7f

(t)

=

A0

+

[Akm

cos(kO1t

+vk

)]

f

(t)

=

A0

+

[Akm

sin(kO1t

+vk

)]A0

f

(t)的恒定分量,是f(t)在一个周期内的平均值

kkxw|

6.1

周期函数分解为傅里叶级数

f

(t)

=

+

[ak

cos(kO1t)

+

bk

sin(kO1t)]Akm

=

a

+

bvk

=

arctan(

)k2k2(ak

=

Akm

sinvkwa

bk

=1

a

Akm

cos(kO1t

+vk

)——谐波分量(ak

=

Akm

cosvkvk

=

arctan(

k

)〈lbk

=

_Akm

sinvk〈lbk

=

Akm

cosvk8k

=

2

A2m

cos(2o1t

+

2

)

二次谐波k

=

3

A3m

cos(3o1t

+

3

)

三次谐波k

=

n

Anm

cos(no1t

+

n

)

n次谐波

k≥2的谐波称高次谐波角频率是一次谐波角频率的2倍角频率是一次谐波角频率的3倍角频率是一次谐波角频率的n倍|

6.1

周期函数分解为傅里叶级数

k

=

1

A1m

cos(o1t

+

1

)

一次谐波

具有和非正弦周期量相同的角频率Akm

cos(ko1t

+

k

)——谐波分量9得到非正弦周期函数的幅度频谱。2.相位频谱：按照频率由低到高，将相位用成比例的线段表示，

得到非正弦周期函数的相位频谱。二、

频谱1.幅度频谱：按照频率由低到高，将幅值用成比例的线段表示，|

6.1

周期函数分解为傅里叶级数

A1mA02mA3m

A4m5m0

o1

2o1

3o1

4o1

5o1

ko0o1

2o1

3o1

4o1

5o1

ko

3

5

4相位频谱幅度频谱(t)(t)

2

1ffAA10f

(t)

=

+

[ak

cos(ko1t)+

bk

sin(ko1t)]2

Tak

=

冗

j0

f

(t)cos(ko1t)do1t0

s

t

s

=

j0

Em

cos(ko1t)do1t

+

j

(-Em

)cos(ko1t)do1t

T

s

t

s

T冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗2冗1冗1|

6.1

周期函数分解为傅里叶级数

-T2T

t(s)-T0

T2a0

=

T

j0

f

(t)dt

=

01

2冗(|Emf

(t)

=〈|

E|l-

m【例6.1.1】求图示非正弦周期函数的傅里叶级数展开式。2

ak

=

0f

(t)-EmEma11w=

j0

Em

sin(ko1t)do1t

+

j

(-Em

)sin(ko1t)do1t2Em

(|0

k为偶数bk

=

k冗

(1-

cosk冗)

=〈|

4Em

k为奇数冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗冗2冗1冗1|

6.1

周期函数分解为傅里叶级数

4E

(

1

1

)冗

\

3

5

)f

(t)

=

m

|

sino1t

+

sin3o1t

+

sin5o1t

+

|bk

=

冗

j0

f

(t)sin(ko1t)do1tl

k冗1

2冗12三、周期函数的波形对称性欲傅里叶系数的关系

1.周期函数的波形在横轴的上下部分包围的面积相等0|

6.1

周期函数分解为傅里叶级数

a0

=

0f

(t)t(s)13周期函数f(t)的波形关于原点对称f

(t)

=

一f

(一t)f

(t)

=

+

[ak

cos(kO1t)+

bk

sin(kO1t)]一f

(一t)

=

一

+

[一ak

cos(kO1t)+

bk

sin(kO1t)]

a0

=

0，ak

=

0|

6.1

周期函数分解为傅里叶级数

bk

=

j0

f

(t)sin(kO1t)dO1t

=

j0

f

(t)sin(kO1t)dO1t冗冗冗22冗冗2冗10f

(t)

=

bk

sin(kO1t)k=12.

奇对称

f

(t)t(s)14

3.偶对称偶函数f(t)的波形关于纵轴对称f

(t)

=

f

(一t)f

(t)

=

+

[ak

cos(kO1t)+

bk

sin(kO1t)]

f

(一t)

=

+

[ak

cos(kO1t)一

bk

sin(kO1t)]ka0

=

T

j0

f

(t)dtak

=

j0

f

(t)cos(kO1t)dOt

=

j0

f

(t)cos(kO1t)dOt冗冗冗22冗冗2冗1|

6.1

周期函数分解为傅里叶级数

0

t(s)f

(t)

=

2

+

[ak

cos(kO1t)]a0

f

(t)b

=

02

T154.镜像对称函数f(t)的波形移动半周后与原波形关于横轴对称of

(t)

=

+

[ak

cos(ko1t)+

bk

sin(ko1t)]

0

t(s)2冗2冗2冗2冗2冗2冗2冗一f

(t

士

)

=

一

+

ak

cos(ko1t

士

k冗)+

bk

sin(ko1t

士

k冗)

|

6.1

周期函数分解为傅里叶级数

T

(

a0

w

T

T

)一f

(t

士

2)

=

一

|\

2

+

[ak

cosko1(t

士

2)+

bk

sinko1(t

士

2)])|T

f

(t)=f

(t)

=

一f

(t

士

2)T16k为偶数:-

f

(t

士

)

=

-

+

-ak

cos(ko1t)-

bk

sin(ko1t)f

(t)

=

+

[ak

cos(ko1t)+

bk

sin(ko1t)]0

k

kk为奇数:-

f

(t

士

)

=

-

+

ak

cos(ko1t)+

bk

sin(ko1t)f

(t)

=

+

[ak

cos(ko1t)+

bk

sin(ko1t)]a0

=

0

ak

=

冗

j0

f

(t)cos(ko1t)dot

bk

=

冗

j0

f

(t)sin(ko1t)dotwf

(t)

=

x

[ak

cos(ko1t)+

bk

sin(ko1t)]

(k

=

奇数)k

=1,3,5|

6.1

周期函数分解为傅里叶级数

2

冗

2

冗a

=

0，a

=

0，b

=

017|

6.1

周期函数分解为傅里叶级数

-T2T0

T2t(s)4E

(

1

1

)f

(t)

=

m

|

sino1t

+

sin3o1t

+

sin5o1t

+

|冗

\

3

5

)奇对称和镜像对称f

(t)-EmEm-T186.2

非正弦周期电流电路的计算19|

6.2

非正弦周期电流电路的计算

f

(t)

=

A0

+

[Akm

cos(ko1t

+

k

)]k=1

j0

[A0

+

Akm

cos(kot

+

k

)]

dt2TTT1A

+

A

+

A

+221202F

=

T

j0

f

2

(t)dt

=

A

+

A

k=1k202T

j0

f

2

(t)dt一、有效值+

An2=1

T1

T=FF20=【例6.2.1】已知电压u

=

[10

+

5

cos(ot

+

30

)

+

2

cos(3ot

+

60

)]V求此电压的有效值。|

6.2

非正弦周期电流电路的计算

解：

U

=

U

+

U

+

U

=

102

+

52

+

22

=

11.36V32120221P

=

j0

pdt

=

U0I0

+

Uk

Ik

cos(

uk

ik

)

=

U0I0

+

Uk

Ik

cos(Qk

)

k=1TT

u

=

U0

+

Uk

cos(ko1t

+

uk

)k=1

i

=

I0

+

Ik

cos(ko1t

+

ik

)k=1|

6.2

非正弦周期电流电路的计算

=

U0I0

+

U1I1

cos(Q1

)

+

U2I2

cos(Q2

)

+频率不同的谐波之间平均功率为零二、

非正弦周期电流电路的平均功率i

u22i

=

[10

+

5

cos(ot)

+

4

cos(3ot

+

30

)]A，计算一端口网络吸收的平均功率。解：

P

=

U0I0

+

U1I1

cos(Q2

)

+

U3I3

cos(Q3

)=

0

10

+

5cos(60

)

+

5

4cos(

30

)

=17.82W【例6.2.2】已知u

=

[

cos(ot

+

60

)

+

5

cos(3ot)]V|

6.2

非正弦周期电流电路的计算

23(1)

将给定的非正弦周期信号分解成傅里叶级数，看作是各次谐波

分量串联的结果；(2)

分别计算恒定分量和各谐波分量单独作用时产生的响应

(谐

波分量单独作用产生的响应可用相量法求解)

；三、

非正弦周期电流电路的计算步骤非正弦周期电流电路的分析计算方法是基于正弦交流电路的相量法

和叠加定理的基础之上分析求解电路的，称这种方法为谐波分析法。

可归结为下列三个步骤：(3)

应用叠加定理，把响应的恒定分量和各谐波分量在时域内进行

叠加，得到用时间函数表示的总响应。|

6.2

非正弦周期电流电路的计算

24uS(t)

的傅里叶级数展开式：

uS

(t)

=

U0

+

Ukm

cos(ko1t

+

uk

)k

=1

U0

f

(t)

=

Ai(0t

[Akm

cos(ko1t

+

k

)]uS

(t)i(t)正弦稳态电路用相量法分析图解：已知uS(t)为非正弦周期电压源,求无源网络N0

的i(t)的步骤。

直流电路

U0

0U1m

cos(o1t

+

u1)U2m

cos(2o1t

+

u2)Ukm

cos(ko1t

+

uk

)→Z(o1

)→Z(o2

)响应：i(t)

=

I0

+

i1

(t)

+

i2

(t)

+叠加定理傅里叶级数|

6.2

非正弦周期电流电路的计算Z(ok

)0I0Z(o1

=

0)等效变换k→iii+

ik

(t)

+12

IkUSk

S2

S1

2

1UUNNII25(1)

电感和电容元件对不同频率的谐波分量表现出不同的感抗和容

抗值，对直流分量，电感看作短路，电容看作开路。(2)

求最终响应时，一定是在时域中叠加各次谐波的响应，若把不

同次谐波正弦量的相量进行加减是没有意义的；(3)

不同频率的电压电流不构成平均功率。|

6.2

非正弦周期电流电路的计算

在分析与计算非正弦周期电流电路时应注意：26【例6.2.3】电路如图所示，已知uS=[10+5cosωt+25cos(5ωt+60°)]V

，

ω=103rad/s

，

R1=

10Ω

，

R2

=5Ω

，

R3=2Ω

，

L=5mH

，

C=100μF。计算各支路电流及电源发出的平均功率。10VI1(

0

)10

I2

(

0

)5

LS1R12R2L|

6.2

非正弦周期电流电路的计算

I(0)

=

10

=2A5I(0)

=

3AI

=

=1AI(0)

=

0A1(0)(1)

直流分量单独作用：3R3C2

CU(0)

=

10V解：I3

(

0

)I

(

0

)IuIII27S32I

=

I

+

I

+

I

=

0.5

+

0.707/

一

45

+

0.49/78.69

A=0.5+0.5

一

j0.5+0.096+j0.48=1.096

一

j0.02=1.096/

一

1.05

Am1)3(m1)2(m1)1(m(1)I

=

5/0

=

2

/

一

45

A=0.707/

一

45

AI

=

5/0

=

5/0

=

0.49/78.69

Am1)3(m1)2(5

2

10

一j10

5/0

VI(1)I(1)j5

|

6.2

非正弦周期电流电路的计算

(2)

一次谐波单独作用：

U

=

5/0

Vm1)S(I

=

=0.5A0015/m1)1(2

一

j10

10.2/

一

78.695

+

j5

2Im(1)I(1)3m2m1m282

一j2

25/60

VI

(

5

)I

(

5

)j25

=(1.25+j2.17)

+

(0.93

一

j0.31)+(

一

2.29+j8.54)=

一0.11

+

j10.4

=10.4/90.6

A|

6.2

非正弦周期电流电路的计算

25/60=

=

0.98/

一

18.69

A25.5/78.69I(5)

=

25/60

1m

10I(5)

=

25/60

2m

5

+

j25I

=

25/60

=

25/60

=

8.84/105

Am5)3((3)

五次谐波单独作用：

U

=

25/60

Vm5)S(I

=

I

+

I

+

I

=

2.5/60

m5)3(m5)2(m5)1(m(5)+

0.98/

一

18.69

+

8.84/105

A2

一

j2

2

2

/

一

45=2.5/60

A10

Im(

5

)I

(

5

)5

3m2m1m29i2

=

2

+

0.707cos(ot

-