电力系统分析（第2版）课件：同步发电机的基本方程及三相突然短路分析

同步发电机的基本方程及三相突然短路分析电力系统分析

电力系统中发生突然短路时，作为主要电源的同步发电机是短路电流的提供者，突然增大的短路电流作用于发电机会产生复杂的电磁暂态过程，影响短路电流的形态。第七章中介绍了恒电势源供电网络三相短路电流的计算方法，分析了该短路电流的组成成分及各分量的动态特征；也初步分析了同步发电机三相突然短路电流波形的特点。同步发电机的基本方程及三相突然短路分析在相同系统条件和短路条件下，同步发电机出口突然三相短路电流与恒电势源供电三相短路电流的对比:同步发电机的基本方程及三相突然短路分析a理想电压源突然三相短路电流b同步机突然三相短路电流c两种情形下A相电流的比较图a、b可见，同步机提供的短路电流比理想电压源提供的短路电流有更大的幅值和更快的衰减。本节主要内容：1.同步发电机的结构与abc坐标系下的基本方程2.派克变换与dq0坐标系下的同步发电机基本方程3.同步发电机的基本参数4.同步发电机突然短路后的电流波形及分析5.应用同步发电机基本方程(拉氏运算形式)分析突然三相短路电流6.同步发电机机端突然三相短路时短路电流周期分量初始值的计算同步发电机的基本方程及三相突然短路分析同步发电机的结构与abc坐标系下的基本方程1PART同步发电机的结构与abc坐标系下的基本方程当外部系统发生短路故障时，同步发电机中定转子各绕组的稳态运行即被打破，各绕组进入了暂态过程，使得机端电压不能维持恒定，短路电流与恒电势源供电网络短路电流存在差别，进而影响到同步机输出的电磁功率。理想电机的条件:结构对称：电机转子在结构上直轴和交轴完全对称，定子三相绕组完全对称，即定子abc三相绕组的空间位置互差120电角度，在结构上完全相同。正弦分布：定子电流在气隙中产生正弦分布的磁动势；转子绕组和定子绕组间的互感磁通也在气隙中按正弦规律分布。表面光滑：定子及转子的槽和通风沟不影响定子及转子绕组的电感，即认为电机的定子及转子具有光滑的表面。忽略磁路非线性：忽略磁路饱和、磁滞、涡流等的影响，假设电机铁心部分的导磁系数为常数，在分析中可以应用叠加原理。同步发电机的结构与abc坐标系下的基本方程发电机绕组：定子：三个定子绕组，对称嵌放在定子铁心槽里转子：一个励磁绕组，也叫激磁绕组，是缠绕在转子上产生磁场的线圈绕组，能够产生永磁体无法产生的强大的磁通密度，且方便调节，从而实现大功率发电。两个等效阻尼绕组：

一个直轴阻尼绕组D，

一个交轴阻尼绕组Q

凸极机来说，转子上装设在端部短接的阻尼绕组，能够抑制转子机械振荡，对发电机的动态稳定起调节作用。

隐极机的实心转子亦起着阻尼绕组的作用。同步发电机各绕组位置示意图同步发电机的结构与abc坐标系下的基本方程各绕组轴线正方向：图中标出了各相绕组的轴线a、b、c和转子绕组的轴线d、q。其中，转子的d轴(直轴)滞后于q轴(交轴)90°。各绕组磁链正方向：定子各相绕组轴线的正方向作为各相绕组磁链的正方向。励磁绕组和直轴阻尼绕组磁链的正方向与d轴正方向相同；交轴阻尼绕组磁链的正方向与q轴正方向相同。各绕组电流正方向：定子各相绕组电流产生的磁通方向与各该相绕组轴线的正方向相反时电流为正值；转子各绕组电流产生的磁通方向与d轴或q轴正方向相同时电流为正值。(因为去磁作用，定子绕组上的正电流产生负磁场；因为助磁作用，转子绕组上的正电流产生正磁场。)同步发电机各绕组位置示意图同步发电机的结构与abc坐标系下的基本方程各绕组电压降正方向：在定子回路中向负荷侧观察，电压降的正方向与定子电流的正方向一致(发电机惯例)；在励磁回路中向励磁绕组侧观察，电压降的正方向与励磁电流的正方向一致(电动机惯例)。阻尼绕组为短接回路，其回路电压降为零。假设三相绕组电阻相等，即可列出六个回路的电压方程。同步发电机各回电路图同步发电机的结构与abc坐标系下的基本方程根据电路图可写出同步发电机定子转子各回路的电压方程为：同步发电机的结构与abc坐标系下的基本方程定子转子各回路电压方程的矩阵形式为：

为各绕组磁链，为磁链对时间的导数。电感矩阵对角元素L为各绕组的自感系数，非对角元素M为绕组和绕组之间的互感系数。两绕组间的互感系数是可逆的，即同步发电机的结构与abc坐标系下的基本方程同步发电机中各绕组的磁链是由本绕组的自感磁链和其他绕组与本绕组间的互感磁链组合而成，其磁链方程为：同步发电机的结构与abc坐标系下的基本方程凸极机对定子绕组来说，由于转子转动在不同位置，空间的磁阻不同，因此定子自感，定子间互感以π为周期性变化。转子各绕组随转子一起转动，故转子各绕组自感系数和互感系数为常数，且Q绕组与f、D绕组相互垂直，它们之间的互感为零。定子各绕组与转子各绕组的互感系数以2π为周期变化。隐极机

小部分电感为周期性变化。发电机的电压方程是一组变系数的微分方程。由于方程高阶性和电感系数矩阵的时变性，采用上述方法进行短路电流计算十分困难。为了方便起见，一般采用变量转换的方法，或称为坐标转换的方法来进行分析。目前已有多种坐标转换方法，这里只介绍其中最常用的一种，即派克变换。派克变换与dq0坐标系下的同步发电机基本方程2PART派克变换与dq0坐标系下的同步发电机基本方程三相正弦交流电流的Park变换：1929年，美国电气工程师Park将静止的abc三相绕组中的物理量变换为旋转的dq0等值绕组中的物理量，使问题得到了简化。后称这一变换为Park变换。以下以电流为例来推导Park变换。

设有下式所示的三相对称正弦基频电流：ia(t)=Imcos((2πf)t)ib(t)=Imcos((2πf)t-120°)ic(t)=Imcos((2πf)t+120°)当以上三相电流流过空间上对称的三相绕组时，在定子气隙空间产生三个大小相等、相位彼此相差120°的脉动磁动势，这三个磁动势在气隙空间合成为一个恒定幅值的旋转磁动势，该磁动势相量的幅值与Im成正比，其旋转速度ωs=2πf（f为电流基波频率）。按照磁动势等效的原理，如果通过任何绕组能产生与上述相同的磁动势，则新绕组可以等效表达原来定子三相绕组的作用。两个与转子同步旋转且正交的定子等效绕组d、q，取d绕组与转子励磁磁场同方向，q绕组超前d绕组90°，则只要在d、q绕组中流过适当的直流电流，就可以生成以同步速旋转的恒定幅值磁动势。如果规定与a、b、c绕组轴线及d、q轴的关系如图所示。即得派克变换与dq0坐标系下的同步发电机基本方程派克变换示意图将旋转相量向d，q旋转轴投影，由于与dq轴之间相对静止，这是一个简单的正交分解。在旋转的dq绕组中流过适当大小的恒定电流id和iq即可产生与相同的磁势，于是，旋转绕组中的电流id和iq可以等效替代定子绕组流过的电流ia、ib和ic的作用。上述分解可写成：派克变换与dq0坐标系下的同步发电机基本方程派克变换示意图派克变换与dq0坐标系下的同步发电机基本方程根据三角恒等式：可以解得：再构造一个等式关系：其中i0为三相电流的零轴等值分量。零轴分量i0与三相电流瞬时值之和成正比，当发电机中性点绝缘时i0总为零。派克变换与dq0坐标系下的同步发电机基本方程结合上式可得由ia、ib、ic

变换为id、iq、i0的公式如下：其中的系数矩阵称为Park矩阵，即：派克变换与dq0坐标系下的同步发电机基本方程Park变换后的磁链方程：其中L、m为自感系数和互感系数，均为常数。派克变换与dq0坐标系下的同步发电机基本方程该系数矩阵为非对称阵，为了得到对称的系数矩阵，将磁链方程式改为标幺制，同时将下标“*”略去，同时，电感的标幺值等于相应电抗的标幺值，最后得到的磁链方程为：其中：xd为dd等效绕组的自电抗，xq为qq等效绕组的自电抗，x0为同步发电机的零轴绕组的电抗；xf、xD、xQ分别为励磁绕组、直轴和交轴阻尼绕组的自电抗；xad、xaq分别为直轴和交轴电枢反应电抗。派克变换与dq0坐标系下的同步发电机基本方程对公式中的电抗作进一步分析介绍(a)abc坐标系下的绕组关系图(b)dq0坐标系下的绕组关系图电机实验中用低转差法测同步电机的Xd和Xq。测得的每相最大和最小电抗即为xd和xq。即xd为d轴等效绕组的自电抗，xq为q轴等效绕组的自电抗。派克变换与dq0坐标系下的同步发电机基本方程Park变换后的电压方程：其中(1+s)为转子角速度ω的标幺值，s为转差率。派克变换与dq0坐标系下的同步发电机基本方程dq0坐系下的同步发电机基本方程：综上可以得到，具有阻尼绕组的同步发电机经过派克变换后得到的同步发电机基本方程式共12个方程式。若假定s为零，则其中包含16个运行变量。定子方面有ud、uq、u0、ψd、ψq、ψ0、id、iq、i0。在转子方面有uf、ψf、ψD、ψQ，if、iD、iQ。若研究是三相对称的问题，则u0=0，ψ0=0，i0=0。这时剩下10个方程，13个变量，只需给定3个运行变量就可以求解。机端三相短的路时，在不考虑调节器作用的前提下，uf保持短路前的数值不变，ud=0，uq=0，利用10个方程可以求得其他10个运行变量。现在将这10个方程式并列如下：派克变换与dq0坐标系下的同步发电机基本方程(a)直轴磁链方程等值电路

(b)交轴磁链方程等值电路如果忽略阻尼绕组，则电压方程和磁链方程均减少2个如果同步发电机处于正常运行状态，阻尼回路不起作用，定子三相电流、电压均为对称交流，他们对应的id、iq和ud、uq均为常数，此外，励磁电流if也为常数，所以，ψd、ψq和ψf也均为常数改写为相量形式，有：派克变换与dq0坐标系下的同步发电机基本方程

将ψd、ψq带入ud、uq中，则有：为空载电动势，从中可看出空载电动势正比与励磁电流if派克变换与dq0坐标系下的同步发电机基本方程将两式相加，有

其中，为发电机端电压相量，为定子电流相量。

同步发电机的基本参数3PART前面介绍的同步发电机的基本方程，在不同的运行方式下，其电势方程可以相应的简化，下面根据同步发电机不同运行方式的特点，从同步发电机基本方程出发，推导同步发电机稳态运行、暂态和次暂态运行过程的电势方程。同步发电机的稳态参数同步发电机的暂态参数同步发电机的基本参数同步发电机的稳态参数同步发电机的基本参数对于隐极机，当忽略电阻r后，可分别按dq轴写为：

可分别按dq轴写为：同步发电机的基本参数凸极机无法直接从已知的和求得从而确定d、q轴的位置，因此，需要借助一个虚拟电动势，令

和

均在q轴上，因此也必定在q轴上，已知和可以求得，从而确定d、q轴的位置，进而求得其他运行分量同步发电机的基本参数（a）凸极机（b）隐极机（c）虚构电动势相量图

得到稳态短路电流的有效值为同步发电机的暂态参数同步发电机的基本参数为了便于实际应用，假设电机直轴向三个绕组只有一个公共磁通，而不存在只同两个绕组交链的漏磁通。如果直轴绕组向三个绕组的公共磁通为ψad，相应的电枢反应电抗为xad，以xσ，xfσ，xσD，xσQ分别表示定子绕组漏抗，励磁绕组漏抗，直轴和交轴阻尼绕组漏抗。这样各定转子绕组的电抗可写为：同步发电机的基本参数同步发电机的暂态电势和暂态电抗无阻尼绕组同步发电机的磁链平衡方程：（a）d向

（b）q向消去励磁电流if：定义：同步发电机的基本参数当变压器电势根据派克方程有，

，(a)直轴向(b)交轴向同步发电机的基本参数写成相量的形式两个方程相加可得然而,无论是凸极机还是隐极机，一般都有为了便于工程计算，常常采用电势和电抗来做等值电路同步发电机的基本参数电势常称为同步发电机的暂态电势，它没有什么物理意义，是计算用电势，其相位落后于暂态电势同步发电机相量图电势相量图同步发电机的基本参数同步发电机的次暂态电势和次暂态电抗对于有阻尼绕组同步发电机（a）直轴向

（b）交轴向直轴向的等值电路简化电路同步发电机的基本参数交轴方向的等值电路同步发电机的基本参数根据等值简化电路，可以写出如下的方程当电机处于稳态或忽略变压器电势时,同步发电机相量图

简化的次暂态参数等值电路同步发电机突然短路后的电流波形及分析4PART同步发电机突然短路后的电流波形及分析从发电机的基本原理来讲，当发电机励磁绕组中通入直流电流i，将在转子周围建立磁场，由于转子的旋转，定子a、b、c三相绕组切割磁力线，便在电枢绕组中感应出三相电动势，在同步发电机突然三相短路的暂态过程中，电枢绕组中的电流又将对转子绕组产生影响，定、转子之间的电磁耦合使得暂态过程变得较为复杂。一台同步发电机在转子励磁绕组有励磁、定子回路开路即空载运行情况下，定子三相绕组端突然三相短路后实测的电流波形图，其中ia、ib、ic为定子三相电流，if为励磁回路电流。同步发电机三相短路后实测电流波形三相定子电流与励磁回路电流同步发电机突然短路后的电流波形及分析图（a）三相短路电流包络线的均分线、即短路电流中的直流分量。定子三相短路电流中的直流分量大小不等，但均按相同的指数规律衰减，最终衰减至零。一般称直流分量的衰减时间常数为Ta，其值大约为零点几秒，Ta的值大致由定子回路的电阻和等值电感决定。图（b）为分解而得的交流分量，其峰-峰值(正向和负向最大值之差)为短路电流包络线间的垂直距离(三相相等)。由图（b）可知交流分量的幅值是逐渐衰减的，最终衰减至稳态值Im∞。指数衰减规律分析交流分量，可以得到其按两个时间常数衰减。如果令交流分量的初始幅值为I''m，则(I''m-Im∞)将按两个时间常数衰减至零。一般将小的时间常数称为T''d，其值大约几个周波；大的时间常数称为T'd，其值较T''d大好几倍。图9-20中将后面衰减较慢的部分按T'd的变化规律向前延伸(虚线部分)至纵坐标(t=0)，称为I'm，由此可写出交流分量幅值的表达式为三相短路电流直流分量

短路电流交流分量包络线的衰减同步发电机突然短路后的电流波形及分析从图中可以看出，励磁电流if中出现了交流电流，该交流分量最后衰减为零。其衰减时间常数与定子短路电流直流分量衰减时间常数相同。图中交流分量的对称轴线即为励磁电流的直流分量。其直流分量在刚短路时较正常值if大，最后衰减至正常值if。其衰减的总进程与定子交流分量相同。定子短路电流和转子励磁短路电流的上述变化是由于励磁回路和定子、转子阻尼回路间存在磁耦合。最后，由图中的波形图还可看出，无论是定子短路电流还是励磁回路电流，在突然短路瞬间均不突变，即三相定子电流均为零，励磁回路电流等于if，这是因为感性回路的电流(或磁链)是不会突变的。上述的短路电流交流分量幅值随时间衰减的现象，是同步发电机突然三相短路电流与无限大功率电源短路电流的最基本差别。由发电机端口突然三相短路的短路电流实测波形可以看到，发电机定子侧短路后三相绕组中存在基频交流分量和直流分量(实际上还存在倍频分量，因为幅值小实测波形中看不到);转子中存在直流分量和基频交流分量。通过对电流各分量的分析可知，在暂态过程中，定子绕组中基频交流分量和转子中交流分量衰减时间常数相同，定子侧直流分量和转子中基频交流分量衰减时间常数相同。同步发电机三相短路后实测电流波形三相定子电流与励磁回路电流应用同步发电机基本方程(拉氏运算形式)分析突然三相短路电流5PART应用同步发电机基本方程(拉氏运算形式)分析突然三相短路电流同步发电机的基本方程是一组6阶线性微分方程，直接采用时域微分方程的解析方法求解比较繁琐，采用拉氏变换方法讲微分方程变换到复频率的代数方程进行求解则相对简单，对复频域的计算结果进行拉氏反变换即可得到短路电流的时域解析表达式。为不失一般性，本节以一台带负载运行的凸极同步发电机机端发生突然三相短路为对象，介绍采用拉氏变换方法进行短路电流计算的基本原理。应用同步发电机基本方程(拉氏运算形式)分析突然三相短路电流(a)给出了该系统的接线图，图(b)表示发电机端口突然发生三相短路,(c)为同步发电机机端突然三相短路的电路图。可将短路看作在短路点处施加两个幅值完全相反的电压源，电压源的数值为短路前的端电压值如图（d）所示，应用叠加原理将该网络分解为一个正常分量网络和故障分量网络，正常分量网络描述的是短路发生前系统的正常运行，如图(e)所示，故障分量网络中如图(f)所示突然短路时叠加原理的应用应用同步发电机基本方程(拉氏运算形式)分析突然三相短路电流发电机各绕组的短路电流可以分解为正常分量网络中各绕组电流与故障分量网络中各绕组电流的叠加。设短路电流ia、ib、ic为正常电流

和故障分量的叠加，前者已知，仅需分析故障分量。故障分量为发电机在零初始状态下突然在端口加上电压源，电压源的d、q分量为应用同步发电机基本方程(拉氏运算形式)分析突然三相短路电流5.1不计阻尼绕组时的短路电流假设发电机转速恒为同步转速,即转差率s为零。不计及阻尼绕组时同步发电机方程可简化为式（a）。若不考虑采用叠加定理，可直接采用式（a）求解短路电流。采用拉氏运算，式（a）可变为式（b）（a）（b）应用同步发电机基本方程(拉氏运算形式)分析突然三相短路电流一般待分析的是定子的变量,在转子回路各量中已知的往往是励磁电压,故可消去变量If和ψf,先由Uf

和ψf方程消去ψf,可得If为Uf和ID的函数为将If代入ψd方程即可得仅包含定子变量和励磁电压的象函数代数方程为：应用同步发电机基本方程(拉氏运算形式)分析突然三相短路电流

Xd(p)称为直轴运算电抗,它是ψd中除了励磁电压源和ψf0外与Id成比例项的系数,相当于d轴等效电抗,它包含了励磁回路对定子电抗的影响。显然,若励磁回路为超导体,Xd(p)应为直轴暂态电抗，即另一方面,在t=0时Xd(p)的值也应为

：当过程进入稳态时(t=∞，p=0),直轴运算电抗为即为直轴同步电抗。转子交轴方向无回路,故定子交轴运算电抗恒为交轴同步电抗。若采用叠加定理进行短路电流计算，则可以建立故障分量网络中同步发电机的拉氏运算方程如下：应用同步发电机基本方程(拉氏运算形式)分析突然三相短路电流消去式中磁链，得到电流故障分量象函数：可以方便地求得其对应的原函数为应用同步发电机基本方程(拉氏运算形式)分析突然三相短路电流忽略绕组的电阻，即近似认为各绕组为超导体，即r=0，rf=0。故所求得的为各电流分量的初始值，并认为绕组的电流不衰减。忽略所有绕组的电阻以分析△id、△iq各电流分量的初始值应用同步发电机基本方程(拉氏运算形式)分析突然三相短路电流由于

则：的表达式仅需将分别换为应用同步发电机基本方程(拉氏运算形式)分析突然三相短路电流计及电阻后Δid、Δiq各分量的衰减

直流分量的衰减时间常数直流分量的时间常数显然由

的实根决定。

作如下演化应用同步发电机基本方程(拉氏运算形式)分析突然三相短路电流求取

的等值电路励磁绕组旁有一短路的等效绕组dd时,其等值电路如图所示,由图可得将

代入得：应用同步发电机基本方程(拉氏运算形式)分析突然三相短路电流Δid、Δiq中基频交流分量的衰减时间常数仅忽略励磁绕组电阻：中的交流分量显然对应于式中分母的共扼复根,即根的虚部对应交流分量的频率,略小于工频;实部绝对值的倒数为衰减时间常数,即应用同步发电机基本方程(拉氏运算形式)分析突然三相短路电流

的稳态直流暂态过程达到稳态时，定子中只有直流分量,即只有稳态交流电流。若近似忽略定子电阻，则：中的稳态直流是式中分母的零根所对应的原函数,即计及电阻后,中直流分量将由衰减至，

中的基频交流分量均衰减至零应用同步发电机基本方程(拉氏运算形式)分析突然三相短路电流Δidq、Δiabc及同步发电机各绕组短路电流的表达式引入上列时间常数后Δid、Δiq为对于正常分量网络，其发电机定子短路电流由根据叠加定理,原网络发电机定子短路电流idq为：应用同步发电机基本方程(拉氏运算形式)分析突然三相短路电流将idq

转换为定子三相短路电流iabc。其中a相电流为：由于同理可得：应用同步发电机基本方程(拉氏运算形式)分析突然三相短路电流应用同步发电机基本方程(拉氏运算形式)分析突然三相短路电流短路电流基频分量的初始值为稳态值为时没有倍频交流分量。t=0，可得到短路后瞬时电流，以ia0为例

即短路前后瞬间电流不变。应用同步发电机基本方程(拉氏运算形式)分析突然三相短路电流如果短路前空载，则励磁回路电流应用同步发电机基本方程(拉氏运算形式)分析突然三相短路电流各电流分量波形，其中各电流分量波形应用同步发电机基本方程(拉氏运算形式)分析突然三相短路电流5.2计及阻尼绕组时的短路电流dq0坐标系下的定子绕组短路电流idq的表达式：其中：同步发电机机端突然三相短路时短路电