《数值代数》课程教学大纲

《数值代数》教学大纲课程名称：数值代数英文名称：NumericalAlgebra课程编号：F035092362学分：2.5总学时/课内实践学时：40/8课程性质：选修课程开课单位：数理科学与工程学院数学系基层教学组织适应对象：信息与计算科学专业一、课程简介数值代数通常也称为矩阵计算，是科学与工程计算的核心。本课程是信息与计算科学专业的一门专业方向选修课，是计算方法类课程的延续和深入，面向本科三年级学生开设。为学生提供求解矩阵计算问题的数学理论和经典算法，培养学生对计算问题的理论进行研究和探讨的能力，为其将来从事大型科学工程计算实践或相关领域的理论与算法研究打下坚实的基础。所介绍的理论和算法具有广泛的应用背景和广阔的应用前景；在数据分析、数学建模、推理证明的过程中培养严密逻辑、辩证思维、理论与实践相统一的科学素养和创新精神。Numericalalgebra,alsoknownasmatrixcomputation,isthecoreofscientificandengineeringcomputation.ThiscourseisanelectivecourseforthemajorofInformationandComputingScience.Itisthecontinuationanddeepeningofthecoursesofcomputingmethods.Itisofferedtojuniorundergraduatestudents.Thiscourseprovidesstudentswithmathematicaltheoriesandclassicalalgorithmsforsolvingmatrixcomputationproblems,tocultivatestudents'abilitytostudyanddiscussthetheoryofcomputationproblems,andtolayasolidfoundationforthemtoengageinlarge-scalescientificengineeringcomputationpracticeorrelatedfieldsoftheoryandalgorithmresearchinthefuture.Theintroducedtheoriesandalgorithmshaveawideapplicationbackgroundandbroadapplicationprospects;Intheprocessofdataanalysis,mathematicalmodeling,reasoningandproof,weshouldcultivatethescientificliteracyandinnovativespiritofstrictlogic,dialecticalthinking,theunityoftheoryandpractice.二、课程目标1.强化技术与人文的融合，注重科学思维方法训练和科学精神培养，提高学生分析问题和解决问题的能力，激发学生科技报国的家国情怀和使命担当。2．熟悉计算机的特点，研究计算时间最短、需要内存最少的矩阵计算方法，具备对矩阵计算问题进行研究和探讨的能力，为参加大型科学工程计算实践打下必要的基础。3．了解数值代数的基本概念；掌握线性方程组直接解法和迭代解法中的经典算法；了解曲线拟合的思想和掌握相应的算法。4.培养学生用数学语言描述、用数学思维分析和建立简单数学模型的基本能力；培养独立思考和判断，具备运用所学专业知识分析问题、设计算法并编程实现以解决实际问题的应用和创新能力。1.strengthentheintegrationoftechnologyandhumanity,payattentiontothetrainingofscientificthinkingmethodsandthecultivationofscientificspirit,improvestudents'abilitytoanalyzeandsolveproblems,andstimulatestudents'feelingsofservingthecountrythroughscienceandtechnologyandtheirsenseofmission.2.Befamiliarwiththecharacteristicsofcomputer,studythematrixcalculationmethodwiththeshortestcomputingtimeandtheleastmemory,havetheabilitytostudyanddiscussmatrixcalculationproblems,andlaythenecessaryfoundationforparticipatinginlarge-scalescientificengineeringcalculationpractice.3.Understandthebasicconceptsofnumericalalgebra;Mastertheclassicalalgorithmsindirectanditerativesolutionsoflinearequations;Understandtheideaofcurvefittingandgraspthecorrespondingalgorithm.4.Developstudents'basicabilitytodescribewithmathematicallanguage,analyzewithmathematicalthinkingandestablishsimplemathematicalmodels;Cultivateindependentthinkingandjudgment,havetheapplicationandinnovationabilitytousetheprofessionalknowledgetoanalyzeproblems,designalgorithmsandprogramimplementationtosolvepracticalproblems.三、课程目标与毕业要求对应关系本课程的课程目标对信息与计算科学专业毕业要求指标点的支撑情况如表1所示：表1课程目标与毕业要求对应关系毕业要求指标点课程目标毕业要求1：知识要求具有扎实的数学基础，掌握信息科学、计算科学和计算机科学的基本理论和基本知识。课程目标3毕业要求2：能力要求通过系统的数学思维训练，掌握数学科学的思想方法，具有扎实的数学基础和较强的数学语言表达能力；能熟练使用计算机（包括常用计算机语言、工具及一些专业软件），具有基本的算法分析和设计能力以及较强的编程能力。课程目标2课程目标3课程目标4毕业要求3：素质要求具有正确的人生观、价值观和道德观，爱国、诚信、友善、守法，具有高度的社会责任感；具有良好的心理素质和积极的人生态度。课程目标1四、课程教学安排课程共有3项教学内容，具体安排如下。表2课程教学安排表序号教学内容思政元素课堂教学学时实验/实践教学学时学时小计1数值代数基础爱国教育122142线性方程组的直接解法科技报国103133线性方程组的经典迭代法数学思维和素养10313合计32840教学安排1.数值代数基础教学要求：懂得数值代数的基本问题是三大矩阵计算问题，了解研究数值方法的必要性；初步了解矩阵分解、敏度分析与误差分析、算法复杂性与收敛速度等数值代数的基本概念，为后续的算法分析打下基础；理解设计算法的主要技巧是矩阵分解，由矩阵分解能将一个一般的矩阵计算问题转化为易于计算的特殊问题，初步了解一般和特殊的辩证思维方式；了解数值代数发展的历程，认识到科技对社会实践产生的影响，培养科学和文化素养。教学内容：数值线性代数的基本问题；向量范数；矩阵范数；Househlder变换。重点难点：数值线性代数的基本问题；Househlder变换。思政元素:懂得数值代数的基本问题是三大矩阵计算问题，了解研究数值方法的必要性，认识到数值代数课程在大数据时代广泛的应用背景和广阔的应用前景，培养科技兴国的使命感和服务社会的责任感。2.线性方程组的直接解法教学要求：了解中外关于求解线性方程组的消去法的历史，培养家国情怀、科学和数学文化素养；掌握计算矩阵三角分解的三种高斯消去法，了解三种算法的优劣，重点掌握列主元三角分解算法；会利用三角分解技巧将一般的非奇异线性方程转化为三角形方程组去求解，理解特殊与一般间的辩证思维关系；掌握求解线性方程组的LU分解、选主元LU分解、Cholesky分解法；能依据系数矩阵的结构特点，选择快速可靠的直接算法，并编程实现线性方程组的求解，培养用科学思维方式展开科学研究的能力和算法实现的能力；了解大数据时代所面临的大规模线性方程组求解的挑战，培养用数学知识解决实际问题的初步意识和应用能力。教学内容：Guass消元法；Doolitle分解法；Cholesky分解法；QR分解法；追赶法；扰动分析。重点难点：Guass消元法；QR分解法；扰动分析。思政元素:掌握线性方程组直接解法的计算机实现方法，了解数值算法的数学思维。培养学生探索未知、追求真理的使命感。3.线性方程组的经典迭代法教学要求:了解用迭代法求解大型稀疏线性方程组的理论意义和实际需求；掌握Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代、JOR迭代、SOR迭代这三种迭代格式的构造并能编程实现算法，基于系数矩阵的分裂理解三种迭代法的设计思路和SOR迭代中参数的设计技巧，培养创新意识和严密的数学思维能力，理解特殊与一般间的辩证思维关系；掌握三种定常迭代法收敛的必要条件、充分条件、误差估计，并能依据系数矩阵的特殊结构选择实用的判别条件给出定常迭代法的收敛性分析，理解特殊与一般、具体与抽象的辩证思维方式；掌握迭代法收敛速度的刻画指标(平均收敛速度和渐近收敛速度)，了解Jacobi和G-S迭代的渐近收敛速度、SOR迭代法中最佳松弛因此的选择策略，并懂得用此指标研究微分方程数值解问题，培养运用所学专业知识解决实际问题的应用创新能力。教学内容:一般单步迭代法；Jacobi迭代法；Gauss-Seidel迭代法；JOR迭代法；SOR迭代法。重点难点:单步线性定常迭代法。思政元素:了解数学家雅克比、高斯、赛德尔等在数值计算方面的伟大贡献，培养数学文化素养和科学精神。五、课内实践教学内容及要求表3课内实践教学内容及要求序号教学类型教学内容教学要求1上机数值代数基础熟悉各种范数的Matlab实现，熟悉Matlab中四则运算的舍入误差操作命令。2上机线性方程组的直接解法掌握利用不选主元、列主元、全选主元这三种Guass消去算法求解线性方程组的能力。3上机线性方程组的经典迭代法掌握利用Jacobi迭代法、G-S迭代法和共轭梯度法求解同一对称正定线性方