《实变函数》课程教学大纲

《实变函数》教学大纲课程名称：实变函数英文名称：FunctionsofRealVariables课程编号：F035091111学分：4总学时/课内实践学时：64/0课程性质：必修课程开课单位：数理科学与工程学院数学系基层教学组织适应对象：信息与计算科学专业一、课程简介实变函数是信息与计算科学的重要专业核心基础课之一，主要讲述勒贝格积分理论。它不仅是数学分析中经典黎曼积分的改进与完善，更是学生进一步学习泛函分析、概率论和偏微分方程等后继专业课程的基础。本课程的内容主要包括：集合，点集，测度论，可测函数，积分论。本课程的教学以讲授为主，辅以习题练习与学生自主自学。在课程中，思政元素的融入体现在通过数学家们的事迹，弘扬科学精神与学术诚信，增强学生的责任感与使命感。同时，结合中华优秀传统文化和现代科学成就，培养学生的文化自信。考核方式包括期末考试和平时作业，强调理论理解与实际问题解决能力的培养。FunctionsofRealVariablesisacorefoundationalcourseinInformationandComputationalScience,focusingprimarilyonthetheoryofLebesgueintegration.ItservesasanextensionandrefinementoftheclassicalRiemannintegralintroducedin"MathematicalAnalysis,"anditprovidestheessentialfoundationforadvancedcoursessuchasFunctionalAnalysis,ProbabilityTheory,andPartialDifferentialEquations.Themaintopicsofthiscourseincludesets,pointsets,measuretheory,measurablefunctions,andintegrationtheory.Thecourseisprimarilylecture-based,supplementedbyproblem-solvingexercisesandself-directedlearningbystudents.Theintegrationofideologicalandpoliticalelementsintothecourseisachievedbysharingthestoriesofmathematicians,promotingscientificspiritandacademicintegrity,andenhancingstudents'senseofresponsibilityandmission.Additionally,bylinkingChinesetraditionalculturewithmodernscientificachievements,thecourseaimstofosterstudents'culturalconfidence.Theassessmentincludesafinalexamandregularassignments,withanemphasisonunderstandingtheoreticalconceptsanddevelopingproblem-solvingskills.二、课程目标1．通过实变函数的学习，培养学生的科学素养和严谨的学术态度，增强对数学在科学技术及日常生活中应用的认识，激发探索精神与创新能力。2．学生将掌握实变函数的基本概念和理论，如集合论基础、测度理论、可测函数与Lebesgue积分，并理解其与微积分、函数分析、概率论等其他数学分支的联系。3．课程旨在提升学生的逻辑思维和抽象思维能力，培养独立解决复杂数学问题的能力，增强研究与数学表达能力。1.Thiscourseaimstocultivatestudents'scientificliteracyandrigorousacademicattitudethroughthestudyofrealfunctions,enhancingtheirunderstandingoftheapplicationofmathematicsinscience,technology,anddailylife,andinspiringexplorationandinnovation.2.Studentswillgraspfundamentalconceptsandtheoriesofrealfunctions,includingsettheoryfoundations,measuretheory,measurablefunctions,andtheLebesgueintegral,andunderstandtheirconnectionswithotherbranchesofmathematicssuchascalculus,functionalanalysis,andprobabilitytheory.3.Thecoursealsoaimstodevelopstudents'logicalandabstractthinkingskills,enhancetheirabilitytoindependentlysolvecomplexmathematicalproblems,andstrengthentheirresearchandmathematicalcommunicationabilities.三、课程目标与毕业要求对应关系本课程的课程目标对信息与计算科学专业毕业要求指标点的支撑情况如表1所示：表1课程目标与毕业要求对应关系毕业要求指标点课程目标毕业要求1：知识要求具有扎实的数学基础，掌握信息科学、计算科学和计算机科学的基本理论和基本知识课程目标2毕业要求2：能力要求通过系统的数学思维训练，掌握数学科学的思想方法，具有扎实的数学基础和较强的数学语言表达能力课程目标3毕业要求3：素质要求具有正确的人生观、价值观和道德观，爱国、诚信、友善、守法，具有高度的社会责任感；具有良好的心理素质和积极的人生态度。课程目标1四、课程教学安排课程共有5项教学内容，具体安排如下。表2：课程教学安排表序号教学内容思政元素课堂教学学时实验/实践教学学时学时小计1集合职业教育12122点集——12123测度论——12124可测函数认知规律16165积分论科学精神培养1212合计6464教学安排1.集合教学要求：要求掌握集之间的运算，理解集合的极限概念，了解域，掌握映射、集合基数的概念，熟悉可数集合及其性质，熟悉不可数无穷集合及其性质。重点难点：集合的运算，对等与基数，可数集及其相关定理。教学内容：集合的表示；集合的运算；对等与基数；可数集合；不可数集合。。思政元素：引入勒贝格事迹，激励学生刻苦钻研。2.点集教学要求：要求掌握聚点、内点、边界点、孤立点的概念，理解Bolzano-Weierstrass定理，理解孤立集合、离散集合概念，掌握开集、闭集、自密集、完备集、无处稠密集的概念，了解进p-位表数法，掌握开集、闭集、自密集、完备集、无处稠密集的构造，熟悉Cantor集合。重点难点：内点、极限点、开集、闭集等拓扑概念及其性质；康托尔集的构造及其性质。教学内容：Rn中的点与点集的关系：内点、聚点、边界点等；以及点集：开集、闭集、完备集、Cantor集、直线中开（闭）集的结构、R3.测度论教学要求：要求了解外测度概念，熟练掌握可测空间及可测集的概念，掌握集的测度理论及其性质，掌握开集的可测性质，了解测度的延拓理论，掌握Lebesgue测度理论，理解乘积空间概念。重点难点：外测度；可测集及其性质；可测集的结构。教学内容：外测度，可测集，可测集类，Lebesgue不可测集。4.可测函数教学要求：理解非负可测函数概念，熟练掌握可测函数的概念，了解可测函数的基本性质，熟练掌握Egoroff定理，了解可测函数的结构与可测函数列的收敛性，掌握依测度收敛概念，掌握用集合可测性解决函数可测性的方法。重点难点：可测函数的定义，可测函数的结构，可测函数的各种收敛之间的关系。教学内容：可测函数及其性质，叶戈洛夫定理，可测函数的构造，依测度收敛。思政元素：定理证明中的由特殊到一般或一般到特殊的认知规律。5.积分论教学要求：理解非负函数积分的概念，理解可积函数概念，掌握可积函数性质，了解Fubini定理，熟练掌握积分及性质，掌握Lebesgue积分与Riemann积分的概念不同之处，了解单调函数与有界变差函数。重点难点：勒贝格积分的定义和性质，黎曼积分和勒贝格积分的关系，富比尼定理。教学内容：黎曼积分的局限性，勒贝格积分，非负简单函数的勒贝格积分，非负可测函数的勒贝格积分，一般可测函数的勒贝格积分，黎曼积分和勒贝格积分，勒贝格积分的几何意义，富比尼定理。思政元素：介绍黎曼积分和勒贝格积分时，引导学生科学的思维方式。五、课内实践教学内容及要求无六、课