浙江省嘉兴市平湖市部分学校2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷（含答案）

2024学年第一学期期中教学质量检测九年级数学试题卷考生须知：1.本试卷满分为120分，考试时间120分钟。2.答题前，在答题纸上写上姓名和准考证号3.须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效，答题方式详见答题纸上的说明4.如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑。一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.抛物线y=−2x+52+1的顶点坐标是A.5,1 B.−5,−1 C.−5,1 D.5,−12.如果a和b都不为零，且3a=4b，那么下列比例中正确的是(

)A.ab=34 B.a4=3.如图，线段AB，CD相交于点O，AC/​/BD，若OA=6，OC=3，OD=2，则OB的长是(

)

A.3 B.4 C.5 D.64.下列二次函数的图象中，顶点在第二象限的是(

)A.y=(x−1)2+3 B.y=(x−1)2−35.下列命题中，正确的命题是(

)A.三角形的外心是三角形三边中垂线的交点 B.三点确定一个圆

C.平分一条弦的直径一定垂直于弦 D.相等的两个圆心角所对的两条弧相等6.如图，▵ABC内接于⊙O.若AB=AC，BC⌢度数为80∘，则∠C的度数为(

)

A.50∘ B.60∘ C.70∘7.若二次函数y=−5(x−2)2+m的图象经过A(0,y1)，B(1,y2)，C(4,yA.y1<y2<y3 B.8.某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm，AB=4cm，CD=3cm.请你帮忙计算纸杯杯底的直径为(

)

A.4.8cm B.5cm C.5.2cm D.6cm9.如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上(不与点A，点C重合)，BD与OA交于点E.设∠AED=α，∠AOD=β，则(

)

A.3α+β=180° B.2α+β=180° C.3α−β=90° D.2α−β=90°10.如图，等腰Rt▵ABC内接于圆O，直径AB=22，D是圆上一动点，连接AD,CD，BD，且CD交AB于点G.下列结论：①DC平分∠ADB；②∠DAC=∠AGC；③当AD=CD，四边形ADBC的面积为83；④当BD=2时，四边形ADBC的周长最大，正确的有(

)A.①② B.②③ C.①②④ D.①③④二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.有5张仅有编号不同的卡片，编号分别是1，2，3，4，5.从中随机抽取一张，编号是偶数的概率等于

．12.AB=10，P是AB的黄金分割点，(BP>AP)，BP=______．13.已知点P是线段AB的黄金分割点(AP>PB)，AB=6，那么AP的长是______．14.已知⊙O的半径为13cm，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB/​/CD，AB=24cm，CD=10cm，则弦AB与CD之间的距离为______cm．15.已知抛物线y=x2+2x−n与x轴交于A，B两点，抛物线y=x2−2x−n与x轴交于C，D两点，其中n>0.若AD=2BC，则16.如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，D为优弧AB的中点，C为AD⌢上点，DE⊥AC于点E，DH⊥BC于点H，连结DB.若HB=6，则四边形ABDE的面积为

．

三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

已知二次函数y=x2+bx+c经过点A0,3，点(1)求b,c的值；(2)求该二次函数的对称轴．18.(本小题8分)如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，OD⊥BC于E，交⊙O于点D．

(1)求证：OD/​/AC；(2)若BC=8，DE=2，求⊙O的半径．19.(本小题8分)如图，由小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．⊙O经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．(保留作图痕迹)

(1)在图1中的圆上找到格点D，使得∠ADB=90(2)在图2中的圆上找到点E，使点E平分弦AC所对的弧．20.(本小题8分)如图，在边长为1的正方形网格中，▵ABC的顶点在格点上，将▵ABC绕点C顺时针旋转90°，得到▵CDE

(1)在网格中作出▵CDE；(2)求出线段BC扫过的面积．21.(本小题9分)

已知一个二次函数的图象经过原点及点(−2,−2)，且图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，求该二次函数的表达式．22.(本小题9分)

大学毕业生小李自主创业，开了一家小商品超市.已知超市中某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价必须低于34元，设每件商品的售价上涨x元(x为非负整数)，每个月的销售利润为y元．

(1)求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；

(2)利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？

(3)利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？23.(本小题10分)

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E．

(1)求证：BD=CD．

(2)若弧DE=50°，求∠C的度数．24.(本小题12分)

在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+(k−1)x−k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．

(1)如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；

(2)在(1)的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；

(3)如图2，抛物线y=x2+(k−1)x−k(k>0)与x轴交于点C、D两点(点C在点D的左侧)，在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】D

10.【答案】C

11.【答案】2512.【答案】513.【答案】314.【答案】7或17

15.【答案】8

16.【答案】617.【答案】【小题1】解：由题意，将点A0,3，点B1,2代入y=解得b=−2c=3【小题2】解：由(1)可知，二次函数的解析式为y=x所以该二次函数的对称轴为直线x=1．18.【答案】【小题1】证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90∵OD⊥BC，∴∠OEB=∠OEC=90∵∠OEB=∠ACB=90∴OD//AC；【小题2】解：设⊙O的半径为r，∵OD⊥BC，∴∠OEB=∠OEC=90∘，∵BO=OD=r，∴OE=OD−DE=r−2，在Rt▵BOE中，OB∴r解得，r=5，∴⊙O的半径为5．

19.【答案】【小题1】满足条件的点有D1、D2、【小题2】过点O和弦AC的中点作直线与⊙O相交于点E1和点E2，据垂径定理，则点E20.【答案】【小题1】如图，ΔCDE为所求作的图形【小题2】∵BC=2∴在旋转过程中，BC所扫过的面积为90

21.【答案】解∶设该二次函数的表达式为y=ax∵二次函数的图象经过原点，∴c=0，∴y=ax∵二次函数的图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，∴二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为4,0或−4,0．当二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为−4,0时，把(−2,−2)，−4,0代入y=ax可得4a−2b=−216a−4b=0，解得a=此时该二次函数的表达式为y=1当二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为4,0时，把(−2,−2)，4,0代入y=ax可得4a−2b=−216a+4b=0，解得a=−此时该二次函数的表达式为y=−1综上所述，该二次函数的表达式为y=12x

22.【答案】解：(1)由题意得：y=(30−20−x)(180−10x)，

整理得：y=−10x2+80x+1800，

答：y=−10x2+80x+1800，自变量x的取值范围为0≤x<4，且x为整数；

(2)y=−10x2+80x+1800=−10(x−4)2+1960，

∵−10<0，

∴当x<4时，y随x的增大而增大，

∵当0≤x<4，且x为整数时，

∴当x=3时，最大值y=−10(3−4)2+1960=1950(元)，

此时售价为30+3=33(元)；

答：每件商品售价为33元时，每个月可获得最大利润，最大利润为1950元；

(3)由题意得：−10x2+80x+1800=1920，

解得：x1=2，x2=623.【答案】(1)证明：如图，连接AD，

∵AB是圆O的直径，

∴∠ABD=90°，

∴AD⊥BD，

又∵AB=AC，

∴BD=CD．

(2)解：连接OD、OE，

∵弧DE=50°，

∴∠EOD=50°．

∴∠DAE=12∠DOE=25°，

∵由(1)知，∠ADB=90°，

∴∠ABD=90°−25°=65°，

∵AB=AC，

∴∠C=∠ABD=65°．24.【答案】解：(1)当k=1时，抛物线解析式为y=x2−1，直线解析式为y=x+1．

联立两个解析式，得：x2−1=x+1，

解得：x=−1或x=2，

当x=−1时，y=x+1=0；当x=2时，y=x+1=3，

∴A(−1,0)，B(2,3)．

(2)设P(x,x2−1)．

如答图2所示，过点P作PF/​/y轴，交直线AB于点F，则F(x,x+1)．

∴PF=yF−yP=(x+1)−(x2−1)=−x2+x+2．

S△ABP=S△PFA+S△PFB=12PF(xF−xA)+12PF(xB−xF)=12PF(xB−xA)=32PF，

∴S△ABP=32(−x2+x+2)=−32(x−12)2+278，

当x=12时，y