2024-2025学年浙江省宁波市五校联盟高二上学期期中联考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年浙江省宁波市五校联盟高二上学期期中联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列直线中，倾斜角最大的是(

)A.3x+y+1=0 B.3x−y+1=0 C.2.已知点A(3,2,−1)，B(4,1,−2)，C(−5,4,3)，且四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标为(

)A.−6,5,4 B.3,−2,7 C.−1,2,6 D.−6,1,−33.如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，E为BC的中点，AB=a，A.a−12b+c B.a4.如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为40cmA.90cm B.100cm C.110cm D.120cm5.若直线2x+2a−5y+2=0与直线bx+2y−1=0互相垂直，则a2+A.3 B.3 C.5 D.6.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F1,F2，点AA.3 B.3+2 7.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的离心率为5，圆A.0,1 B.0, 10 C.0, 38.已知曲线E:xx+yy=1A.曲线E与直线y=−x无公共点

B.曲线E关于直线y=x对称

C.曲线E与圆(x+2)2+(y+2)2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量e1=(t, 2t, 2), e2A.若e1⊥e2，则t=−1 B.若e1//e2，则t=4510.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，PA.平面BB1P⊥平面ABCD

B.BP的最小值为22

C.若P是C1D1的中点，则AA1到平面BB111.中国结是一种手工编织工艺品，其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，中国结有着复杂曼妙的曲线，其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线．已知在平面直角坐标系xOy中，到两定点F1−a,0,F2a,0距离之积为常数a2的点的轨迹C是双纽线．若M(3, 0)是曲线A.曲线C上有且仅有1个点P满足PF1=PF2

B.曲线C经过5个整点(横、纵坐标均为整数的点)

C.若直线y=kx与曲线C只有一个交点，则实数k三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.点(1,0)到直线y=kx+2的距离最大值是

．13.如图，在三棱锥P−ABC中，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=120∘，PA=AB=BC=6，则向量PC在向量BC上的投影向量为

(用向量BC来表示)．

14.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，其意思可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，阴影部分是由双曲线x24−y22=1与它的渐近线以及直线y=±42四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知直线l1:x+y+2=0，l2:x+y=0，直线l过点(1)求直线l的方程;(2)设l分别与l1、l2交于点A、B，O为坐标原点，求过三点A、B、O16.(本小题15分)如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的菱形，AB=BC=13，点D为棱AC上动点(

(1)求证：BB(2)已知BA1=21, 17.(本小题15分)

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为233，实轴长为6，A为双曲线C的左顶点，设直线l过定点B(−2,0)，且与双曲线C交于E，F两点．

18.(本小题17分)如图，在四棱锥P−ABCD中，△PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，∠BCD=∠ABC=90∘，AB=2CD=2BC=42，M是棱PC上的点，且(1)求证：BD⊥平面PAD；(2)设二面角M−BD−C的大小为θ，若cosθ=131319.(本小题17分)已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，点A为椭圆短轴的上端点，P为椭圆上异于(1)若a=52(2)若椭圆Γ是“圆椭圆”，求a的取值范围；(3)若椭圆Γ是“圆椭圆”，且a取最大值，Q为P关于原点O的对称点，Q也异于A点，直线AP、AQ分别与x轴交于M、N两点，试问以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论．

参考答案1.C

2.A

3.B

4.B

5.C

6.D

7.B

8.D

9.AB

10.ABC

11.ACD

12.513.3214.3215.解：(1)因为直线l1的斜率为−1，所以直线l的斜率为1，

又直线l过点(10,−4)，所以直线l的方程为y=x−14．

(2)联立x+y+2=0x−y−14=0,解得x=6,y=−8,所以A(6,−8)，

同理可得B(7,−7)．

设过三点A、B、O的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2−4F>0)，

则F=0,16.解：(1)∵BB且BB1⊄平面ACC1∴BB1//又∵BB1⊂平面B1BD∴BB(2)连结A1C，取AC中点O，连结

在菱形ACC1A∴△A又∵O为AC中点，∴A1O⊥AC同理BO=3，又∵BA∴A∴A又AB=BC=13，故OB, OC, OA以点O为原点，OB, OC, OA1为x轴，y轴，∴O(0,0,0),A(0,−2,0),A∴BD设平面B1BDE的一个法向量为则n⋅BD=0n⋅DE=0故n=(1,3,−3设AB与平面B1BDE所成角为∴sin所以直线AB与平面B1BDE所成角的正弦值为

17.解：(1)由双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为233，实轴长为6，

可得e=ca=233，2a=6，解得a=3，c=23，b=12−9=3，

则双曲线的方程为x29−y23=1；

(2)证明：直线l过定点B(−2,0)，且与双曲线C交于E，F两点，A(−3,0)，

可设直线l的方程为y=k(x+2)，E(x1,y1)，F(18.解：(1)证明：

因为∠BCD=90∘，所以BD=4，∠CBD=45在△ABD中，∠ABD=45∘，AB=4AD=所以AD即∠ADB=90∘，取AD的中点O，连接PO，

因为△PAD是等边三角形，

所以PO⊥AD，又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，又因为BD⊂平面ABCD，所以PO⊥BD，又PO∩AD=O，PO，AD⊂平面PAD，所以BD⊥平面PAD；(2)取AB的中点N，连接ON，

则ON/​/BD，所以AD⊥ON，

故PO，AD，ON两两垂直，以O为原点，ON,OD,OP的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则A0,−2,0，D0,2,0，B4,2,0，CDM=DP+PM=DB=(4,0,0)，

易知平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1)，

设平面MBD的法向量为则DM⋅n=0当λ=12时，

令y=1，则x=0，z=0，

平面MBD的一个法向量为n=(0,1,0)，

因为m·n=0，当λ≠12时，

令z=2λ−1，得x=0，y=3(λ−1)，

故平面∵平面MBD与平面ABCD所成角的余弦值为13故有|cos⟨m解得λ=13或λ=35，

故

19.解：(1)由题意得椭圆方程为4x25设P(x, y)−1≤y≤1，则=−1二次函数开口向下，对称轴为y=−4，所以函数在[−1, 1]上单调递减，所以y=−1时，函数取最大值，此时P为椭圆的短轴的另一个端点，∴椭圆4x25(2)因为椭圆方程为x2a2+y2=1则PA2=x由题意得，当且仅当y=−1时，函数值达到最大，①当开口向上时，满足−a2+1>0−1a②当开口向下时，满足−综上可得a的取值范围为1,(3)法—：由(2)可得a=2，则椭圆方程为由题意：设P(2cos则Q(