2023-2024学年北京166中高一（下）期中数学试卷（含答案）VIP

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年北京166中高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi(a,b∈R)，则复数Z的共轭复数z−=(

)A.1+3i

B.1−3i

C.−1+3i

D.−1−3i2.已知α是第二象限的角，tan(π+α)=−34，则sin2α=A.1225 B.−1225 C.243.在△ABC中，D为BC边上一点，且BC=3BD，设AB=a，AC=b，则A.23a+13b B.14.若复数z满足z=3−4ii，则|z|=(

)A.1 B.5 C.7 D.255.在正六边形ABCDEF中，AB=1，设a=AC⋅AE,b=AC⋅AD,c=AC⋅BFA.c<b<a

B.c<a<b

C.b<c<a

D.b<a<c6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，AB=4，∠B=60°，点D为边BC上的一点，AD=27,CD=6，则△ACD的面积为A.63 B.93 C.7.设非零向量a，b的夹角为θ，a≠b，则“a⊥(a−bA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.在△ABC中，b=10，再从下列四个条件中选出两个条件，

①ac=28；

②c=2；

③cosB=14；

④面积为142，

A.①② B.①③ C.②③ D.①④9.函数f(x)=xsinx−x−1在区间(0,+∞)上的零点个数为(

)A.无穷多个 B.4个 C.2个 D.0个10.已知圆O的半径为2，AB是圆O的一条直径，平面上的动点P满足PA⋅PB=−3，则当P不在直线AB上的时候，△PAB的面积的最大值为A.3 B.2 C.3 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.已知角α的顶点位于坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(3,−4)，则sinα=______．12.若复数z=1+2i+3i2+4i313.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，张雷同学写出一个命题“等式sin(A+B)=sin(A−B)不可能成立.”请举出一组内角A，B，C说明这个命题是假命题，其中，∠B=______，∠C=14.在梯形ABCD中，已知点A(1,1),AB=(2,2),M为AB边的中点，则M的坐标为______，设DC=λAB，若AD=(−1,3)，且AC⊥BD，则15.如图，一幢高楼楼面上有一块浮雕，上沿为C，下沿为D，某班数学小组在斜披AB坡脚A处测得浮雕下沿D的仰角α满足tanα=43，在斜坡AB上的B处测得∠ABC满足tan∠ABC=1711.已知斜坡AB与地面的夹角为∠BAH满足tan∠BAH=13,AB=210m三、解答题：本题共5小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题15分)

已知|a|=6，|b|=8，a⋅b=16，设a与b的夹角为θ．

(Ⅰ)求cosθ；

(Ⅱ)若(2a−b)⊥(λa+5b)，求实数λ的值；

(Ⅲ17.(本小题16分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，a2−b2−c2+bc=0．

(Ⅰ)求∠A的大小；

(18.(本小题18分)

已知函数f(x)=2cosx(3sinx+cosx)．

(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；

(Ⅱ)若∃x∈[0,π2]，使得关于x的不等式19.(本小题18分)

在平面直角坐标系中，已知点A(2,0),B(32,12),C(cosθ,sinθ),θ∈[0,2π)．

(Ⅰ)当θ=π2时，在△ABC中，求AC边上的中线的长度；

(Ⅱ)当θ=π时，求cos∠ABC的值；

(Ⅲ)请直接写出能够使等式20.(本小题18分)

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)在区间[0,π2]上单调递增，再从下面四个条件中选择两个作为已知，使得函数f(x)的解析式存在且唯一．

①x=5π6是f(x)的一个零点；

②f(x)的最大值是3；

③(7π6,−2)是函数f(x)图象的一个最小值点；

④f(x)的图象关于直线x=π对称．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)参考答案1.B

2.D

3.A

4.B

5.B

6.A

7.C

8.C

9.D

10.D

11.−412.−2

13.π3

π14.(2,2)

3215.381516.解：(Ⅰ)因为|a|=6，|b|=8，a⋅b=16，a与b的夹角为θ，

所以cosθ=a⋅b|a||b|=166×8=13；

(Ⅱ)因为(2a−b)⊥(λa+5b)，

所以2λ17.(Ⅰ)解：因为a2−b2−c2+bc=0，所以b2+c2−a2=bc，

由余弦定理知，cosA=b2+c2−a22bc=bc2bc=12，

又A∈(0,π)，

所以A=π3．

(Ⅱ)证明：由正弦定理及3bcosB=csinB得，3sinBcosB=sinCsinB，18.解：(Ⅰ)因为f(x)=2cosx(3sinx+cosx)=23sinxcosx+2cos2x

=3sin2x+cos2x+1

=2sin(2x+π6)+1，

故函数f(x)的最小正周期T=2π2=π；

(Ⅱ)当0≤x≤π2时，π6≤2x+π6≤7π6，

故当19.解：(Ⅰ)θ=π2时，A(2,0)，B(32,12)，C(0,1)，

所以BA=(12,−12)，BC=(−32,12)；

所以AC边上的中线为BD=12(BA+BC)=12(−1,0)=(−12,0)，

所以|BD|=12；

(Ⅱ)θ=π时，C(−1,0)，BC=(−52,−12)，

所以BA⋅BC=−20.解：(1)因为f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ<2,

所以−A≤f(x)≤A，即f(x)的最大值为A，最小值为−A，故②③矛盾；

若选①②：则A=3，又f(5π6)=3sin(5πω6+φ)=0，由于有两个变量ω、φ，故不能唯一确定f(x)的解析式；若选①③：则A=2，又f(5π6)=2sin(5π6+φ)=0f(7π6)=2sin(7πω6+φ)=−2，

所以5π6+φ=kπ，k∈Z，且7πω6+φ=−π2+2k1π，k1∈Z，

所以ω=−32+6k1−3k(k1,k∈Z)，又函数在[0,π2]上单调递增且ω>0，

所以ω≥π2ω>0，所以0<ω≤2，所以ω=32，5π6×32+φ=kπ，k∈Z，

则5π6×32+φ=kπ，k∈Z，解得φ=−5π4+kπ，k∈Z，

又|φ|<5，所以φ=−4，所以f(x)=2sin(32x−π4)，经检验符合题意；

若选①④：则f(5π6)=Asin(5πω6+φ)=0，f(π)=Asin(ωπ+φ)=A或f(π)=Asin(ωπ+φ)=−A，