2024年新高一数学初升高衔接《指数及其运算》含答案解析

数学PAGE1数学第14讲指数及其运算模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质；能利用根式的性质对根式进行运算；2．理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化；3．了解指数幂由有理数扩充到无理数的过程；理解指数幂的运算性质；能进行指数幂(实数幂）的运算.知识点1根式1、n次方根的定义与性质（1）定义：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且．（2）性质：=1\*GB3①当n是奇数时，，的值仅有一个，记为；=2\*GB3②当n是偶数，时，的有两个值，且互为相反数，记为；时，不存在；=3\*GB3③负数没有偶次方根（负数的偶次方根无意义）；=4\*GB3④0的任何次方根都是0，记作．2、根式的定义与性质（1）定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．（2）性质：（，且）a；知识点2指数幂1、分数指数幂（1）正分数指数幂：规定：（2）负分数指数幂：规定：（3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．【要点辨析】分数指数幂的注意事项：=1\*GB3①分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂不可理解为个相乘，它是根式的一种新的写法．在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已．=2\*GB3②把根式化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分．=3\*GB3③在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如有意义，但就没有意义．2、实数指数幂的运算性质①．②．③．3、无理数指数幂一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．（2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．知识点3指数幂运算解题方法与技巧1、指数幂的运算中常用的乘法公式（1）完全平方公式：；；（2）平方差公式：；（3）立方差公式：；（4）立方和公式：；（5）完全立方公式：；．2、条件求值问题的解题思路（1）将条件中的式子用待求式表示出来，进而代入化简得出结论；（2）当直接代入不易时，可以从总体上把握已知式和所求式的特点，从而巧妙求解，一般先利用平方差、立方和（差）以及完全平方公式对其进行化简，再用整体代入法来求值；（3）适当应用换元法，能使公式的使用更加清晰，过程更简洁．考点一：根式的概念及辨析例1．（23-24高一上·全国·专题练习）若a是实数，则下列式子中可能没有意义的是（

）A． B． C． D．【变式1-1】（23-24高一上·全国·课后作业），下列各式一定有意义的是（

）A． B． C． D．【变式1-2】（2023高一·江苏·专题练习）若有意义，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式1-3】（223-24高一下·贵州遵义·月考）若有意义，则实数的取值范围为考点二：利用根式的性质化简求值例2.（23-24高一上·北京·期中）下列各式正确的是（

）A． B． C． D．【变式2-1】（23-24高一上·贵州贵阳·月考）若，则化简的结果是（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【变式2-2】（23-24高一上·全国·专题练习）求下列各式的值；；【变式2-3】（23-24高一上·甘肃兰州·期中）（多选）若，化简的结果可能为（

）A． B． C． D．考点三：根式与分数指数幂互化例3.（23-24高一上·湖南株洲·月考）下列关于的形式的运算正确的是（

）A． B． C． D．【变式3-1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）（多选）下列各式正确的是（

）A． B． C． D．【变式3-2】（23-24高一上·江西新余·期中）（多选）下列根式与分数指数幂的互化中正确的有（

）A． B．C． D．【变式3-3】（23-24高一上·广东广州·期中）用分数指数幂表示并计算下列各式（式中字母均正数），写出化简步骤.(1)；(2)考点四：利用指数幂运算性质化简例4.（23-24高一上·全国·专题练习）下列等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【变式4-1】（23-24高一上·广东江门·期中），，则．【变式4-2】（23-24高一上·河南·期中）若，则.【变式4-3】（23-24高一上·江西九江·期中）化简或计算下列各式．(1)；(2)．考点五：解简单的指数方程例5.（23-24高一·全国·专题练习）方程的解为（

）A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1【变式5-1】（22-23高一上·河北沧州·期中）关于的方程的解的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．4【变式5-2】（23-24高一上·北京顺义·期中）关于的方程的解为．【变式5-3】（22-23高三·全国·对口高考）方程的解为．考点六：整体换元法解决条件求值例6.（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知，则等于（

）A．2 B．4 C． D．【变式6-1】（23-24高一上·全国·专题练习）已知，则的值为．【变式6-2】（23-24高一上·全国·专题练习）已知，计算：.【变式6-3】（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知，求下列各式的值：(1)；(2)．一、单选题1．（23-24高一上·青海海南·期中）已知，则下列各式一定有意义的是（

）A． B． C． D．2．（23-24高一上·陕西咸阳·期末）化简的结果为（

）A．5 B． C． D．3．（23-24高一上·北京大兴·月考）已知，则（

）A． B． C． D．4．（23-24高一上·安徽淮南·月考）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（

）A． B．C． D．5．（23-24高一上·江苏泰州·期中）已知，则等于（

）A．6 B．12 C．14 D．166．（23-24高一上·四川德阳·月考）（

）A．110 B．109 C．108 D．100二、多选题7．（23-24高一上·四川成都·期中）以下运算结果等于2的是（

）A． B． C． D．8．（23-24高一上·浙江·月考）已知，，则下列各式正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题9．（22-23高一上·上海奉贤·期末）化简（其中，）．10．（23-24高一上·全国·单元测试）方程的解集是．11．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知，，则（填数值）四、解答题12．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）化简求值：(1)(2)；13．（23-24高一上·辽宁丹东·期中）已知正实数满足.(1)求的值；(2)求的值.第14讲指数及其运算模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质；能利用根式的性质对根式进行运算；2．理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化；3．了解指数幂由有理数扩充到无理数的过程；理解指数幂的运算性质；能进行指数幂(实数幂）的运算.知识点1根式1、n次方根的定义与性质（1）定义：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且．（2）性质：=1\*GB3①当n是奇数时，，的值仅有一个，记为；=2\*GB3②当n是偶数，时，的有两个值，且互为相反数，记为；时，不存在；=3\*GB3③负数没有偶次方根（负数的偶次方根无意义）；=4\*GB3④0的任何次方根都是0，记作．2、根式的定义与性质（1）定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．（2）性质：（，且）a；知识点2指数幂1、分数指数幂（1）正分数指数幂：规定：（2）负分数指数幂：规定：（3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．【要点辨析】分数指数幂的注意事项：=1\*GB3①分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂不可理解为个相乘，它是根式的一种新的写法．在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已．=2\*GB3②把根式化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分．=3\*GB3③在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如有意义，但就没有意义．2、实数指数幂的运算性质①．②．③．3、无理数指数幂一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．（2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．知识点3指数幂运算解题方法与技巧1、指数幂的运算中常用的乘法公式（1）完全平方公式：；；（2）平方差公式：；（3）立方差公式：；（4）立方和公式：；（5）完全立方公式：；．2、条件求值问题的解题思路（1）将条件中的式子用待求式表示出来，进而代入化简得出结论；（2）当直接代入不易时，可以从总体上把握已知式和所求式的特点，从而巧妙求解，一般先利用平方差、立方和（差）以及完全平方公式对其进行化简，再用整体代入法来求值；（3）适当应用换元法，能使公式的使用更加清晰，过程更简洁．考点一：根式的概念及辨析例1．（23-24高一上·全国·专题练习）若a是实数，则下列式子中可能没有意义的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】A.式子对于有意义；B.式子对于有意义；C.式子对于有意义；D.式子对于无意义；故选：D【变式1-1】（23-24高一上·全国·课后作业），下列各式一定有意义的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】对于A，当时，无意义，A不是；对于B，当时，无意义，B不是；对于C，对任意实数都有意义，C是；对于D，当时，无意义，D不是.故选：C【变式1-2】（2023高一·江苏·专题练习）若有意义，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由有意义，得，解得，所以a的取值范围是.故选：B【变式1-3】（223-24高一下·贵州遵义·月考）若有意义，则实数的取值范围为【答案】【解析】由，要使得有意义，则满足，解得，故答案为：．考点二：利用根式的性质化简求值例2.（23-24高一上·北京·期中）下列各式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】A：，故A错误；B：，故B错误；C：，故C正确；D：，当时成立，故D错误；故选：C.【变式2-1】（23-24高一上·贵州贵阳·月考）若，则化简的结果是（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】B【解析】.因为，所以异号，，所以，所以，.故选：B.【变式2-2】（23-24高一上·全国·专题练习）求下列各式的值；；【答案】【解析】由题意可得：=．【变式2-3】（23-24高一上·甘肃兰州·期中）（多选）若，化简的结果可能为（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】由题意知，即，即，故或，则，故选：AC考点三：根式与分数指数幂互化例3.（23-24高一上·湖南株洲·月考）下列关于的形式的运算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由于，A正确，B，C错误；，由于无意义，D错误，故选：A【变式3-1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）（多选）下列各式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】对于A：，故A正确；对于B：，故B错误；对于C：，故C正确；对于D：，故D错误.故选：AC【变式3-2】（23-24高一上·江西新余·期中）（多选）下列根式与分数指数幂的互化中正确的有（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】对选项A：，错误；对选项B：，正确；对选项C：，正确；对选项D：，错误；故选：BC【变式3-3】（23-24高一上·广东广州·期中）用分数指数幂表示并计算下列各式（式中字母均正数），写出化简步骤.(1)；(2)【答案】(1)；(2)1【解析】（1）.（2）.考点四：利用指数幂运算性质化简例4.（23-24高一上·全国·专题练习）下列等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A：，故A错误；对于B：，故B错误；对于C：，故C错误；对于D：，故D正确；故选：D【变式4-1】（23-24高一上·广东江门·期中），，则．【答案】【解析】，，，故答案为：．【变式4-2】（23-24高一上·河南·期中）若，则.【答案】【解析】由题意，，所以，又，所以原式.故答案为：.【变式4-3】（23-24高一上·江西九江·期中）化简或计算下列各式．(1)；(2)．【答案】(1)；(2)【解析】（1）原式.（2）原式.考点五：解简单的指数方程例5.（23-24高一·全国·专题练习）方程的解为（

）A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1【答案】C【解析】∵，∴x﹣1＝﹣2，∴x＝﹣1．故选：C．【变式5-1】（22-23高一上·河北沧州·期中）关于的方程的解的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】B【解析】解：原方程即，化简可得，令，可得，该方程有且只有一个正根，由于单调递增，所以与一一对应，即原方程只有一个解.故选：.【变式5-2】（23-24高一上·北京顺义·期中）关于的方程的解为．【答案】【解析】由可得，即，因为，可得，故.所以，方程关于的方程的解为.故答案为：.【变式5-3】（22-23高三·全国·对口高考）方程的解为．【答案】或【解析】由题意可得，所以，即，解得或，故答案为：或考点六：整体换元法解决条件求值例6.（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知，则等于（

）A．2 B．4 C． D．【答案】A【解析】，所以.故选：A.【变式6-1】（23-24高一上·全国·专题练习）已知，则的值为．【答案】6【解析】因为，所以，即，所以，所以，所以．【变式6-2】（23-24高一上·全国·专题练习）已知，计算：.【答案】4【解析】因为，所以，所以，所以，所以，即，所以，所以.【变式6-3】（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知，求下列各式的值：(1)；(2)．【答案】(1)7；(2)【解析】（1）由题意，所以.（2）由题意，所以.一、单选题1．（23-24高一上·青海海南·期中）已知，则下列各式一定有意义的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】对于A，由可知，时表达式无意义；对于B，根据幂函数性质可知，时，表达式恒有意义；对于C，易知，当时，表达式无意义；对于D，当时，无意义；故选：B2．（23-24高一上·陕西咸阳·期末）化简的结果为（

）A．5 B． C． D．【答案】A【解析】，故选：A3．（23-24高一上·北京大兴·月考）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，故选：A4．（23-24高一上·安徽淮南·月考改编）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】对于A选项，，故A正确；对于B选项，，故B错误；对于C，，故