2024年新高一数学初升高衔接《诱导公式》含答案解析

数学PAGE1数学第25讲诱导公式模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．了解诱导公式的推导方法；2．掌握诱导公式，并能灵活应用；3．借助公式进行运算，培养数学运算素养；通过公式的变形进行化简和证明，提升逻辑推理素养.知识点1诱导公式1、诱导公式二：角与角的终边关于原点对称，，，其中【记忆规律】把看作锐角时不会影响诱导公式中右边式子前面的符号，因此记忆公式符号时通常把看作是锐角，则是第三象限角，函数名不变，符号为的终边在第三象限时的三角函数值的符号.2、诱导公式三：角与角的终边关于轴对称，，，其中【记忆规律】把看作锐角，则是第四象限角，函数名不变，符号为的终边在第四象限时的三角函数值的符号.3、诱导公式四：角与角的终边关于轴对称，，，其中【记忆规律】把看作锐角，则是第二象限角，三角函数名不变，符号为的终边在第二象限时的三角函数值的符号/4、诱导公式五：，，其中诱导公式六：，，其中【记忆规律】（1）把看作锐角，则是第一象限角，的正弦函数值等于的余弦函数值；的余弦函数值等于的正弦函数值，函数值均不变号；（2）把看作锐角，则是第二象限角，的正弦函数值等于的余弦函数值；的余弦函数值等于的正弦函数值的相反数.知识点2所有诱导公式记忆口诀与作用1、记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限2、诱导公式的作用诱导公式作用公式一将任意角转化为的角求值公式二将的角转化为的角求值公式三将负角转化为正角求值公式四将的角转化为的角求值公式五实现正弦函数与余弦函数的互相转化公式六知识点3诱导公式常用方法1、用诱导公式进行化简时的注意点（1）化简后项数尽可能的少；（2）函数的种类尽可能的少；（3）分母不含三角函数的符号；（4）能求值的一定要求值；（5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．2、利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤（1）“负化正”：用公式一或三来转化．（2）“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．（3）“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．（4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．3、利用诱导公式求值与求角解题策略（1）条件求值问题的策略=1\*GB3①条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．=2\*GB3②将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．（2）给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角．4、观察互余、互补关系：如eq\f(π,3)－α与eq\f(π,6)＋α，eq\f(π,3)＋α与eq\f(π,6)－α，eq\f(π,4)－α与eq\f(π,4)＋α等互余，eq\f(π,3)＋θ与eq\f(2π,3)－θ，eq\f(π,4)＋θ与eq\f(3π,4)－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．考点一：利用诱导公式给角求值例1．（23-24高一上·河北石家庄·期末）计算（

）A． B． C． D．【变式1-1】（23-24高一上·安徽合肥·月考）（

）A． B． C． D．【变式1-2】（23-24高一下·广西桂林·月考）（

）A． B．0 C． D．【变式1-3】（23-24高一下·陕西渭南·月考）.考点二：利用诱导公式给值求值例2.（23-24高一下·江西南昌·期末）已知，则（

）A． B． C． D．【变式2-1】（23-24高一上·山东菏泽·月考）若，则（

）A． B． C． D．【变式2-2】（23-24高一上·广东广州·月考）已知为钝角，且，则（）A． B． C． D．【变式2-3】（23-24高一上·陕西西安·月考）已知为第二象限角，若则（

）A． B． C． D．考点三：利用互余互补关系求值例3.（23-24高一上·福建福州·月考）如果，满足，那么下列式子中正确的个数是（

）①；②；③；④；⑤．A．1 B．2 C．3 D．4【变式3-1】（23-24高一下·湖南岳阳·开学考试）已知，则（

）A． B． C． D．【变式3-2】（23-24高一下·江西景德镇·期中）等于（

）A． B． C． D．【变式3-3】（23-24高一下·广东茂名·月考）若，且，则.考点四：诱导公式综合化简求值例4.（23-24高一下·广西梧州·月考）化简求值：(1)；(2)【变式4-1】（23-24高一下·广西桂林·月考）在平面直角坐标系中，角的终边经过点．(1)求，的值；(2)求的值．【变式4-2】（23-24高一下·辽宁沈阳·月考）已知是第三象限角，且.(1)求的值；(2)求的值；(3)角的终边与角关于x轴对称，求的值.【变式4-3】（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知.(1)若，求的值；(2)若，求的值.考点五：利用诱导公式证明恒等式例5.（2024高一上·全国·专题练习）求证：.【变式5-1】（23-24高一上·全国·专题练习）求证：.【变式5-2】（23-24高一上·全国·课后作业）求证：＝.【变式5-3】（22-23高一下·江西吉安·期末）求证：当或3时，.考点六：三角形中的诱导公式应用例6.（23-24高一下·河南安阳·月考）在中，给出下列四个式子：①；②；③；④.其中为常数的是（

）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④【变式6-1】（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）（多选）若角是的三个内角，则下列结论中一定成立的是（

）A． B．C． D．【变式6-2】（22-23高一上·江苏扬州·月考）已知A，B，C是的内角，下列等式中错误的是（

）A． B．C． D．【变式6-3】（23-24高一下·辽宁大连·月考）在中，已知，则.一、单选题1．（23-24高一下·四川遂宁·月考）（

）A． B． C． D．2．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知，则（

）A． B． C． D．3．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知，则（

）A． B． C． D．4．（23-24高一上·北京东城·期末）若，，则的值为（

）A． B． C． D．5．（23-24高一下·江西南昌·月考）若，则（

）A． B． C． D．6．（23-24高一上·重庆·期末）已知，则（

）A． B． C． D．二、多选题7．（23-24高一下·广东湛江·开学考试）（多选题）下列诱导公式正确的是（

）A． B．C． D．8．（23-24高一上·新疆伊犁·月考）在中，下列关系不成立的是（

）A． B．C． D．三、填空题9．（23-24高一下·北京·月考）计算.10．（23-24高一上·湖南·期末）化简：.11．（23-24高一下·广西梧州·月考）已知，则．四、解答题12．（23-24高一下·陕西渭南·月考）已知，且是第三象限角.(1)求cos，tan的值；(2)求.13．（23-24高一下·贵州遵义·月考）已知，．(1)求，，的值；(2)求的值．第25讲诱导公式模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．了解诱导公式的推导方法；2．掌握诱导公式，并能灵活应用；3．借助公式进行运算，培养数学运算素养；通过公式的变形进行化简和证明，提升逻辑推理素养.知识点1诱导公式1、诱导公式二：角与角的终边关于原点对称，，，其中【记忆规律】把看作锐角时不会影响诱导公式中右边式子前面的符号，因此记忆公式符号时通常把看作是锐角，则是第三象限角，函数名不变，符号为的终边在第三象限时的三角函数值的符号.2、诱导公式三：角与角的终边关于轴对称，，，其中【记忆规律】把看作锐角，则是第四象限角，函数名不变，符号为的终边在第四象限时的三角函数值的符号.3、诱导公式四：角与角的终边关于轴对称，，，其中【记忆规律】把看作锐角，则是第二象限角，三角函数名不变，符号为的终边在第二象限时的三角函数值的符号/4、诱导公式五：，，其中诱导公式六：，，其中【记忆规律】（1）把看作锐角，则是第一象限角，的正弦函数值等于的余弦函数值；的余弦函数值等于的正弦函数值，函数值均不变号；（2）把看作锐角，则是第二象限角，的正弦函数值等于的余弦函数值；的余弦函数值等于的正弦函数值的相反数.知识点2所有诱导公式记忆口诀与作用1、记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限2、诱导公式的作用诱导公式作用公式一将任意角转化为的角求值公式二将的角转化为的角求值公式三将负角转化为正角求值公式四将的角转化为的角求值公式五实现正弦函数与余弦函数的互相转化公式六知识点3诱导公式常用方法1、用诱导公式进行化简时的注意点（1）化简后项数尽可能的少；（2）函数的种类尽可能的少；（3）分母不含三角函数的符号；（4）能求值的一定要求值；（5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．2、利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤（1）“负化正”：用公式一或三来转化．（2）“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．（3）“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．（4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．3、利用诱导公式求值与求角解题策略（1）条件求值问题的策略=1\*GB3①条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．=2\*GB3②将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．（2）给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角．4、观察互余、互补关系：如eq\f(π,3)－α与eq\f(π,6)＋α，eq\f(π,3)＋α与eq\f(π,6)－α，eq\f(π,4)－α与eq\f(π,4)＋α等互余，eq\f(π,3)＋θ与eq\f(2π,3)－θ，eq\f(π,4)＋θ与eq\f(3π,4)－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．考点一：利用诱导公式给角求值例1．（23-24高一上·河北石家庄·期末）计算（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由诱导公式可得，．故选：A．【变式1-1】（23-24高一上·安徽合肥·月考）（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故选:B.【变式1-2】（23-24高一下·广西桂林·月考）（

）A． B．0 C． D．【答案】A【解析】，故选：A.【变式1-3】（23-24高一下·陕西渭南·月考）.【答案】【解析】.故答案为：.考点二：利用诱导公式给值求值例2.（23-24高一下·江西南昌·期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由诱导公式可得，又，故选：A.【变式2-1】（23-24高一上·山东菏泽·月考）若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，则，所以.故选：B【变式2-2】（23-24高一上·广东广州·月考）已知为钝角，且，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，且，所以，因为为钝角，所以，所以.故选：C.【变式2-3】（23-24高一上·陕西西安·月考）已知为第二象限角，若则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，则，由为第二象限角，则，所以.故选：A.考点三：利用互余互补关系求值例3.（23-24高一上·福建福州·月考）如果，满足，那么下列式子中正确的个数是（

）①；②；③；④；⑤．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因为，所以，故①正确，②错误；，故③正确，④错误；，⑤正确．故选：C【变式3-1】（23-24高一下·湖南岳阳·开学考试）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以.故选：C【变式3-2】（23-24高一下·江西景德镇·期中）等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵则且，∴.故选：D【变式3-3】（23-24高一下·广东茂名·月考）若，且，则.【答案】【解析】因为所以，故答案为：.考点四：诱导公式综合化简求值例4.（23-24高一下·广西梧州·月考）化简求值：(1)；(2)【答案】(1)；(2)【解析】（1）.（2）.【变式4-1】（23-24高一下·广西桂林·月考）在平面直角坐标系中，角的终边经过点．(1)求，的值；(2)求的值．【答案】(1)，；(2)【解析】（1）角的终边经过点，，，；（2）．【变式4-2】（23-24高一下·辽宁沈阳·月考）已知是第三象限角，且.(1)求的值；(2)求的值；(3)角的终边与角关于x轴对称，求的值.【答案】(1)；(2)；(3)【解析】（1）,因为是第三象限角，所以，所以.（2）.（3）因为是第三象限角，且，角的终边与角关于x轴对称，则，所以.【变式4-3】（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知.(1)若，求的值；(2)若，求的值.【答案】(1)答案见解析；(2)【解析】（1），又因为，所以，即，所以为第二或第三象限角，当为第二象限角时，，，当为第三象限角时，，；（2），即，，由，得.考点五：利用诱导公式证明恒等式例5.（2024高一上·全国·专题练习）求证：.【答案】证明见解析【解析】左边右边，故原式成立.【变式5-1】（23-24高一上·全国·专题练习）求证：.【答案】证明见解析【解析】左边右边，故原式得证.【变式5-2】（23-24高一上·全国·课后作业）求证：＝.【答案】证明见解析【解析】∵左边＝＝右边．∴原式成立．【变式5-3】（22-23高一下·江西吉安·期末）求证：当或3时，.【答案】证明见解析【解析】当时，左边=；当时，左边=；综上，或有原等式恒成立.考点六：三角形中的诱导公式应用例6.（23-24高一下·河南安阳·月考）在中，给出下列四个式子：①；②；③；④.其中为常数的是（

）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④【答案】B【解析】①因为在中，，所以；②因为在中，，；③；④.故选：B.【变式6-1】（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）（多选）若角是的三个内角，则下列结论中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】对于A：，故A正确；对于B：，故B错误；对于C：，故C错误；对于D：，故D正确.故选：AD.【变式6-2】（22-23高一上·江苏扬州·月考）已知A，B，C是的内角，下列等式中错误的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】在中，.对于A，，A正确；对于B，，，B正确；对于C，，C错误；对于D，，D正确.故选：C.【变式6-3】（23-24高一下·辽宁大连·月考）在中，已知，则.【答案】【解析】因为，即，解得，又，所以，所以.故答案为：一、单选题1．（23-24高一下·四川遂宁·月考）（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故选：B2．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由诱导公式，且，可得，即.故选：D.3．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由诱导公式可得，故.故选：D.4．（23-24高一上·北京东城·