2024年新高一数学初升高衔接《对数及其运算》含答案解析

数学PAGE1数学第16讲对数及其运算模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解对数的概念，掌握对数的基本性质；2．掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程；3．理解对数的运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；4．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明.知识点1对数的概念与性质1、对数的概念：如果（且），那么数x叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．2、常用对数与自然对数名称定义记法常用对数以10为底的对数叫做常用对数自然对数以无理数为底的对数称为自然对数3、对数的性质（1）当，且时，；（2）负数和0没有对数，即；（3）特殊值：1的对数是0，即0（，且）；底数的对数是1，即（，且）；（4）对数恒等式：；（5）．知识点2对数的运算性质及应用1、运算性质：,且，（1）；（2）；（3）2、换底公式（1）换底公式：(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)．（2）可用换底公式证明以下结论：①；②；③；④；⑤.知识点3对数运算常用方法技巧1、对数混合运算的一般原则（1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式化简合并；（2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；（3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂；（4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并；（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式．2、对数运算中的几个运算技巧（1）的应用技巧：在对数运算中如果出现和，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现，再应用公式进行化简；（2）的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式化简；（3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式作为已知条件，求函数的值的问题，通常设，则，，，将值带入函数求解．考点一：对数的概念及辨析例1．（23-24高一上·全国·专题练习）（多选）下列选项中错误的是（

）A．零和负数没有对数B．任何一个指数式都可以化成对数式C．以10为底的对数叫做自然对数D．以e为底的对数叫做常用对数【变式1-1】（23-24高一上·贵州贵阳·月考）使式子有意义的的取值范围是（

）A． B． C．且 D．，【变式1-2】（23-24高一上·吉林延边·期中）在对数式中，实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式1-3】（22-23高一上·江苏宿迁·期中）在下列四个命题中，正确的是（

）A．若则； B．若，则；C．，则； D．若，则．考点二：对数式与指数式互化例2.（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）将化成指数式可表示为（

）A． B． C． D．【变式2-1】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）将化为对数式正确的是（

）A． B． C． D．【变式2-2】（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知，则（

）A． B．0 C．2 D．4【变式2-3】（23-24高一上·江西宁冈·期中）（多选）下列指数式与对数式的互化，正确的一组是（

）A．与 B．与C．与 D．与考点三：利用对数性质解对数方程例3.（23-24高一·江苏·假期作业）方程的根为（

）A． B．3 C．或 D．或【变式3-1】23-24高一上·山东烟台·月考）方程的实数解为.【变式3-2】（23-24高一上·广东深圳·期中）已知a，b是方程的两个实数根，则．【变式3-3】（23-24高一上·全国·练习）已知，是方程的两个根，试给出关于，的一个结论．考点四：利用对数运算性质化简例4.（23-24高一下·云南昆明·期中）下列等式正确的是（

）A． B．C． D．【变式4-1】（23-24高一下·浙江·期中）化简.【变式4-2】（23-24高一上·贵州毕节·期末）计算：(1)+；(2).【变式4-3】（24-25高一上·全国·课后作业）计算：(1)；(2)．考点五：用已知对数表示其他对数例5.（23-24高一下·江苏盐城·期末）若，，则用，表示（

）A． B． C． D．【变式5-1】（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知，则（

）A． B． C． D．【变式5-2】（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知，，用a，b表示为（

）A． B． C． D．【变式5-3】（23-24高一上·甘肃武威·月考）已知，则（

）A． B． C． D．考点六：利用换底公式证明等式例6.（23-24高一上·山东淄博·期末）设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（

）A． B． C． D．【变式6-1】（23-24高一上·全国·随堂练习）求证：．【变式6-2】（23-24高一上·全国·随堂练习）设，，，且，，利用对数的换底公式证明：(1)；(2)．【变式6-3】（23-24高一上·河北石家庄·月考）设，且，利用对数的换底公式证明：(1)；(2)；(3)计算：若，求的值．一、单选题1．（23-24高一上·全国·专题练习）在中，实数的取值范围是（

）A．或 B．或C． D．2．（23-24高一下·湖南株洲·月考）若lga（）与lgb（）互为相反数，则（

）A． B． C． D．3．（23-24高一上·全国·课后作业）将化为对数式正确的是（

）A． B． C． D．4．（23-24高一下·陕西西安·月考）（

）A． B．1 C． D．5．（23-24高一上·北京·月考）若，则下列等式中正确是的是（

）A． B．C． D．6．（23-24高一上·天津·期末）化简的值为（

）A．1 B．3 C．4 D．8二、多选题7．（23-24高一上·贵州安顺·期末）下列运算正确的有（

）A． B．C． D．8．（23-24高一上·吉林延边·期中）下列命题中正确的是（）A．已知，，则B．的值为1C．若，则的值为D．若且，则三、填空题9．（23-24高一下·上海嘉定·月考）已知，则.（用含的式子表示）10．（23-24高一下·云南昆明·期中）若，则.11．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）设，是方程的两个实根，则．四、解答题12．（22-23高一上·新疆喀什·期末）求值：(1)；(2).(3)13．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）（1）若，求的值；（2）求值：.第16讲对数及其运算模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解对数的概念，掌握对数的基本性质；2．掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程；3．理解对数的运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；4．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明.知识点1对数的概念与性质1、对数的概念：如果（且），那么数x叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．2、常用对数与自然对数名称定义记法常用对数以10为底的对数叫做常用对数自然对数以无理数为底的对数称为自然对数3、对数的性质（1）当，且时，；（2）负数和0没有对数，即；（3）特殊值：1的对数是0，即0（，且）；底数的对数是1，即（，且）；（4）对数恒等式：；（5）．知识点2对数的运算性质及应用1、运算性质：,且，（1）；（2）；（3）2、换底公式（1）换底公式：(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)．（2）可用换底公式证明以下结论：①；②；③；④；⑤.知识点3对数运算常用方法技巧1、对数混合运算的一般原则（1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式化简合并；（2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；（3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂；（4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并；（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式．2、对数运算中的几个运算技巧（1）的应用技巧：在对数运算中如果出现和，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现，再应用公式进行化简；（2）的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式化简；（3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式作为已知条件，求函数的值的问题，通常设，则，，，将值带入函数求解．考点一：对数的概念及辨析例1．（23-24高一上·全国·专题练习）（多选）下列选项中错误的是（

）A．零和负数没有对数B．任何一个指数式都可以化成对数式C．以10为底的对数叫做自然对数D．以e为底的对数叫做常用对数【答案】BCD【解析】对于A：由对数的定义可知：零和负数没有对数.故A正确；对于B：只有符合，且，才有，故B错误；对于C：以10为底的对数叫做常用对数，故C错误；对于D：以e为底的对数叫做自然对数，故D错误.故选：BCD.【变式1-1】（23-24高一上·贵州贵阳·月考）使式子有意义的的取值范围是（

）A． B． C．且 D．，【答案】C【解析】由式子有意义，则满足，解得且.故选：C.【变式1-2】（23-24高一上·吉林延边·期中）在对数式中，实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】要使对数式有意义，需满足，解得或，所以实数的取值范围是．故选:D.【变式1-3】（22-23高一上·江苏宿迁·期中）在下列四个命题中，正确的是（

）A．若则； B．若，则；C．，则； D．若，则．【答案】B【解析】对A，若，则均无意义，故A错；对B，若，说明，则B项正确；对C，若，则，不一定能推出，故C错；对D，若，则无意义，故D错.故选：B考点二：对数式与指数式互化例2.（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）将化成指数式可表示为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】把对数式化成指数式，为．故选：A．【变式2-1】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）将化为对数式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】化为对数式为，故选：B．【变式2-2】（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知，则（

）A． B．0 C．2 D．4【答案】C【解析】由得，即，又且，所以，故选：C．【变式2-3】（23-24高一上·江西宁冈·期中）（多选）下列指数式与对数式的互化，正确的一组是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】ABD【解析】根据指数式与对数式的互化公式且可知，ABD正确；对于C，，故C错误.故选：ABD考点三：利用对数性质解对数方程例3.（23-24高一·江苏·假期作业）方程的根为（

）A． B．3 C．或 D．或【答案】B【解析】由，得，即，解得，所以方程的根为.故选：B【变式3-1】23-24高一上·山东烟台·月考）方程的实数解为.【答案】【解析】由，得，所以，即，即，所以或（舍去），所以.故答案为：.【变式3-2】（23-24高一上·广东深圳·期中）已知a，b是方程的两个实数根，则．【答案】/2.5【解析】方法一：因为a，b是方程的两个实数根，由韦达定理得，，则，即；方法二：因为的根为或，不妨设，，则，，所以．故答案为：.【变式3-3】（23-24高一上·全国·练习）已知，是方程的两个根，试给出关于，的一个结论．【答案】（答案不唯一）【解析】根据换底公式有，即，令，则，解得或.所以或，解得或.故答案为：（答案不唯一）考点四：利用对数运算性质化简例4.（23-24高一下·云南昆明·期中）下列等式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】对于A中，由，所以A正确；对于B中，由，所以B错误；对于C中，由，所以C错误；对于D中，由，所以D错误．故选：A【变式4-1】（23-24高一下·浙江·期中）化简.【答案】【解析】原式.故答案为：.【变式4-2】（23-24高一上·贵州毕节·期末）计算：(1)+；(2).【答案】(1)0；(2)6【解析】（1）原式=（2）原式=3+log23⋅log32+lg100=3+1+2=6．【变式4-3】（24-25高一上·全国·课后作业）计算：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)【解析】（1）；（2）.考点五：用已知对数表示其他对数例5.（23-24高一下·江苏盐城·期末）若，，则用，表示（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由对数运算性质可得，故选：D.【变式5-1】（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得，，则，故选：C．【变式5-2】（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知，，用a，b表示为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，.故选：C.【变式5-3】（23-24高一上·甘肃武威·月考）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故选:B.考点六：利用换底公式证明等式例6.（23-24高一上·山东淄博·期末）设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，，，，，，则，根据可知，.故选：C【变式6-1】（23-24高一上·全国·随堂练习）求证：．【答案】证明见解析【解析】左边，右边，所以左边=右边，得证.【变式6-2】（23-24高一上·全国·随堂练习）设，，，且，，利用对数的换底公式证明：(1)；(2)．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1），所以等式成立；（2），所以等式成立.【变式6-3】（23-24高一上·河北石家庄·月考）设，且，利用对数的换底公式证明：(1)；(2)；(3)计算：若，求的值．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)【解析】（1）因为，所以命题得证.（2）因为，所以命题得证.（3）因为，所以，故，即的值为.一、单选题1．（23-24高一上·全国·专题练习）在中，实数的取值范围是（

）A．或 B．或C． D．【答案】B【解析】由对数的定义可知，解得，且，故选：B．2．（23-24高一下·湖南株洲·月考）若lga（）与lgb（）互为相反数，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为（）与（）互为相反数，所以，所以.故选：C.3．（23-24高一上·全国·课后作业）将化为对数式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】化为对数式：，故选：B4．（23-24高一下·陕西西安·月考）（

）A． B．1 C． D．【答案】A【解析】.故选：A5．（23-24高一上·北京·月考）若，则下列等式中正确是的是