2024年新高一数学初升高衔接《等式性质与不等式性质》含答案解析

数学PAGE1数学第06讲等式性质与不等式性质模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．通过用不等式（组)表示实际问题，提升数学抽象与数学建模素养；2．通过比较两个实数的大小、不等式性质的应用，提升逻辑推理、数学运算素养；3．运用不等式的性质解决有关问题．知识点1不等关系与不等式1、不等式的概念（1）用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式．（2）用“<”或“>”连接的不等式叫严格不等式；用“≤”或“≥”连接的不等式叫非严格不等式．2、常见文字语言与符号语言之间的对应关系文字语言大于、高于、超过小于、低于、少于大于或等于、至少、不低于小于或等于、至多、不多于、不超过符号语言3、用不等式组表示不等式关系当问题情境中包含两个或两个以上的不等式关系时，需要用不等式组来表示不等关系．知识点2等式性质性质文字表述性质内容注意1对称性可逆2传递性同向3可加、减性可逆4可乘性同向5可除性同向知识点3不等式性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔b<a可逆2传递性a>b，b>c⇒a>c同向3可加性a>b⇔a＋c>b＋c可逆4可乘性a>b，c>0⇒ac>bca>b，c<0⇒ac<bcc的符号5同向可加性a>b，c>d⇒a＋c>b＋d同向6正数同向可乘性a>b>0，c>d>0⇒ac>bd同向7正数乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)同正知识点4比较大小的方法1、作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法．①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论．②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论．2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值，此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值．3、平方法：对两式先平方，再比较大小．【注意】（1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止；（3）作商法适合于幂式、积式、分式间的大小比较，作商后应变形为能与“1”比较大小的式子，要注意营养函数的有关性质．考点一：用不等式（组）表示不等式关系例1．（23-24高一上·广东深圳·月考）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（

）A． B．C． D．【变式1-1】（23-24高一上·贵州遵义·月考）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（

）．A． B． C． D．【变式1-2】（22-23高一上·甘肃酒泉·期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（

）A．且 B．且C．且 D．且【变式1-3】（22-23高一上·四川眉山·月考）将一根长为的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m，若两段绳子长度之差不小于，则所满足的不等关系为（

）A． B．或C． D．考点二：比较实数（代数式）的大小例2.（23-24高一上·河南洛阳·期末）今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为元斤、元斤，王大妈每周购买元的白菜，李阿姨每周购买斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为，，则与的大小关系为（

）A． B． C． D．无法确定【变式2-1】（23-24高一上·江苏常州·期末）设a，b，m都是正数，且，记，则（

）A． B． C． D．与的大小与的取值有关【变式2-2】（23-24高一上·陕西榆林·月考）设，比较与的大小【变式2-3】（23-24高一上·山东青岛·月考）已知，，试比较与的大小；考点三：利用不等式的性质判断命题真假例3.（23-24高一上·河北石家庄·月考）若，则下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【变式3-1】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，则【变式3-2】（23-24高一上·吉林延边·月考）（多选）下列结论错误的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【变式3-3】（23-24高一上·广西贺州·期末）（多选）若，，则下列不等关系正确的是（

）A． B． C． D．考点四：利用不等式的性质求范围例4.（23-24高一上·陕西咸阳·月考）已知，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式4-1】（23-24高一上·江西景德镇·月考）已知，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式4-2】（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知，，则的取值范围是（）A． B．C． D．【变式4-3】（23-24高一上·吉林四平·期中）已知，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．考点五：利用不等式的性质证明不等式例5.（23-24高一上·河北保定·月考）设，，.(1)证明：；(2)若，证明.【变式5-1】（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式：(1)已知，求证：；(2)已知，求证：.【变式5-2】（23-24高一上·安徽芜湖·月考）（1）已知，证明：；（2）若a，b，c为三角形的三边长，则．【变式5-3】（23-24高一上·云南·月考）证明下列不等式：(1)若，求证：；(2)若，，，求证：．考点六：不等式性质的实际应用例6.（23-24高一上·四川南充·月考）火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（

）A．A货箱28节，B货箱22节 B．A货箱29节，B货箱21节C．A货箱31节，B货箱19节 D．A货箱30节，B货箱20节【变式6-1】（22-23高一上·山东·月考）某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产每袋需用4h；生产此产品的工人不超过200人，每个工人的年工作时间约为2100h；生产每袋需用原料20kg，年底库存原料600t，明年可补充1200t；此产品今年销售量是60000袋，预计明年的销售量至少在今年的基础上增长．根据这些数据条件可以预测明年的产量在（

）A．70000到75000袋之间 B．70000到80000袋之间C．80000到85000袋之间 D．80000到90000袋之间【变式6-2】（23-24高一上·全国·专题练习）王老师是高三的班主任，为了更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成．已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该钉钉群人数的最小值为（

）A．18 B．20 C．22 D．28【变式6-3】（23-24高一上·吉林长春·月考）不等关系是数学中一种最基本的数关系，生活中随处可见.例如.已知克糖水中含有克糖，再添加m克糖(假设全部溶解)，糖水变甜了.(1)请将这一事实表示为一个不等式.并证明这个不等式成立：(2)利用（1）中的结论证明：若为三角形的三边长，则.一、单选题1．（22-23高一上·河北邢台·月考）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度（单位：厘米）应满足的不等式为（

）A． B． C． D．2．（23-24高一上·云南昆明·期中）设，，则与的大小关系为（

）A． B． C． D．无法确定3．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知，则下列一定成立的是（

）A． B． C． D．4．（23-24高一上·安徽宣城·自主招生）已知实数a，b，则下列选项中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则5．（23-24高一上·河南驻马店·期末）已知，则以下错误的是（

）A． B．C． D．6．（23-24高一上·山东菏泽·月考）已知，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题7．（23-24高一上·山东日照·期末）若实数，，满足且，，则下列不等式正确的是（

）A． B． C． D．8．（23-24高一上·四川乐山·期中）下列不等式中，一定成立的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则三、填空题9．（23-24高一上·广东韶关·月考）已知，则.（填“”，“”，或“”）10．（23-24高一上·北京西城·期中）已知a，b，c为实数，能说明“若，则”为假命题的一组a，b，c的值是.11．（23-24高一上·山东菏泽·期中）“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势．民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好．现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为平方米．四、解答题12．（23-24高一上·福建泉州·月考）（1）已知，设，，比较与的大小；（2）证明：已知，且，求证：.13．（23-24高一上·湖北·期中）（1）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，不必证明.利用此结论证明：若为三角形的三边长，则.（2）超市里面提供两种糖：白糖每千克元，红糖每千克元.小东买了相同质量的两种糖，小华买了相同价钱的两种糖.请问谁买的糖的平均价格比较高？请证明你的结论.（物品的平均价格物品的总价钱物品的总质量）第06讲等式性质与不等式性质模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．通过用不等式（组)表示实际问题，提升数学抽象与数学建模素养；2．通过比较两个实数的大小、不等式性质的应用，提升逻辑推理、数学运算素养；3．运用不等式的性质解决有关问题．知识点1不等关系与不等式1、不等式的概念（1）用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式．（2）用“<”或“>”连接的不等式叫严格不等式；用“≤”或“≥”连接的不等式叫非严格不等式．2、常见文字语言与符号语言之间的对应关系文字语言大于、高于、超过小于、低于、少于大于或等于、至少、不低于小于或等于、至多、不多于、不超过符号语言3、用不等式组表示不等式关系当问题情境中包含两个或两个以上的不等式关系时，需要用不等式组来表示不等关系．知识点2等式性质性质文字表述性质内容注意1对称性可逆2传递性同向3可加、减性可逆4可乘性同向5可除性同向知识点3不等式性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔b<a可逆2传递性a>b，b>c⇒a>c同向3可加性a>b⇔a＋c>b＋c可逆4可乘性a>b，c>0⇒ac>bca>b，c<0⇒ac<bcc的符号5同向可加性a>b，c>d⇒a＋c>b＋d同向6正数同向可乘性a>b>0，c>d>0⇒ac>bd同向7正数乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)同正知识点4比较大小的方法1、作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法．①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论．②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论．2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值，此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值．3、平方法：对两式先平方，再比较大小．【注意】（1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止；（3）作商法适合于幂式、积式、分式间的大小比较，作商后应变形为能与“1”比较大小的式子，要注意营养函数的有关性质．考点一：用不等式（组）表示不等式关系例1．（23-24高一上·广东深圳·月考）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由已知可得，，所以有.故选：B.【变式1-1】（23-24高一上·贵州遵义·月考）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即，故选：D．【变式1-2】（22-23高一上·甘肃酒泉·期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】C【解析】由长、宽、高之和不超过130cm得，由体积不超过得.故选：C.【变式1-3】（22-23高一上·四川眉山·月考）将一根长为的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m，若两段绳子长度之差不小于，则所满足的不等关系为（

）A． B．或C． D．【答案】D【解析】由题意,可知另一段绳子的长度为.因为两段绳子长度之差不小于，所以，化简得：.故选：D考点二：比较实数（代数式）的大小例2.（23-24高一上·河南洛阳·期末）今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为元斤、元斤，王大妈每周购买元的白菜，李阿姨每周购买斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为，，则与的大小关系为（

）A． B． C． D．无法确定【答案】C【解析】由题意可得，，，，，，，．故选：C．【变式2-1】（23-24高一上·江苏常州·期末）设a，b，m都是正数，且，记，则（

）A． B． C． D．与的大小与的取值有关【答案】A【解析】由，且，即，可得，即，故选：A.【变式2-2】（23-24高一上·陕西榆林·月考）设，比较与的大小【答案】【解析】，，，.【变式2-3】（23-24高一上·山东青岛·月考）已知，，试比较与的大小；【答案】（当且仅当时取等号）【解析】由题意，由立方和公式，可得分子，将其代入原式得，进一步对其分子利用基本不等式可得，且等号成立当且仅当，将其代入原式得，综上所述（当且仅当时取等号）.考点三：利用不等式的性质判断命题真假例3.（23-24高一上·河北石家庄·月考）若，则下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，D正确；当时，满足，但是，A,C不正确；当时，满足，但是，B不正确；故选：D【变式3-1】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，则【答案】B【解析】对于A：当时，，若，则，故A错误；对于B：因为，所以，即，所以，故B正确；对于C：当，，，时，满足，，但是，故C错误；对于D：当时，，故D错误.故选：B【变式3-2】（23-24高一上·吉林延边·月考）（多选）下列结论错误的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】AB【解析】取可得，，但，A错误；取可得，，但，B错误；因为，又，所以，故，C正确；由，可得，所以，D正确；故选：AB.【变式3-3】（23-24高一上·广西贺州·期末）（多选）若，，则下列不等关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】对A,，，由不等式性质易知，故A正确；对B,，,则，故B正确；对C,，，由不等式性质易知，故C错误；对D,若，则,故D正确.故选：ABD.考点四：利用不等式的性质求范围例4.（23-24高一上·陕西咸阳·月考）已知，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知，，所以，故选：D【变式4-1】（23-24高一上·江西景德镇·月考）已知，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，则有，将不等式的两边同时乘，可得，所以.故选：B．【变式4-2】（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知，，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，，得，即，，所以，即，故选：D【变式4-3】（23-24高一上·吉林四平·期中）已知，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设，则，所以，解得，于是又，，所以，即.故．故选：D．考点五：利用不等式的性质证明不等式例5.（23-24高一上·河北保定·月考）设，，.(1)证明：；(2)若，证明.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）证明:∵，∴.a，b，c不同时为，则，∴；（2）.∵，取等号的条件为，而，∴等号无法取得，即，又，∴，∴.【变式5-1】（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式：(1)已知，求证：；(2)已知，求证：.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1），即，，则.（2），，，则，【变式5-2】（23-24高一上·安徽芜湖·月考）（1）已知，证明：；（2）若a，b，c为三角形的三边长，则．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1），由，得，而，，，则，所以．（2）为的三边长，则有，，，由（1）知：，，，将以上不等式左右两边分别相加得：，所以．【变式5-3】（23-24高一上·云南·月考）证明下列不等式：(1)若，求证：；(2)若，，，求证：．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）证明：因为，又因为，所以，所以．（2）证明：由，因为，，所以，，，，所以，．因为，所以又因为，所以，即．考点六：不等式性质的实际应用例6.（23-24高一上·四川南充·月考）火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（

）A．A货箱28节，B货箱22节 B．A货箱29节，B货箱21节C．A货箱31节，B货箱19节 D．A货箱30节，B货箱20节【答案】C【解析】设A、B货箱分别有x，y节，则，A：共50节且，，满足；B：共50节且，，满足；C：共50节且，，不满足；D：共50节且，，满足；故选：C.【变式6-1】（22-23高一上·山东·月考）某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产每袋需用4h；生产此产品的工人不超过200人，每个工人的年工作时间约为2100h；生产每袋需用原料20kg，年底库存原料600t，明年可补充1200t；此产品今年销售量是60000袋，预计明年的销售量至少在今年的基础上增长．根据这些数据条件可以预测明年的产量在（

）A．70000到75000袋之间 B．70000到80000袋之间C．80000到85000袋之间 D．80000到90000袋之间【答案】D【解析】设明年的产量为袋，则，所以，故可以预测明年的产量在80000到90000袋之间，故选：D.【变式6-2】（23-24高一上·全国·专题练习）王老师是高三的班主任，为了更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成．已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该钉钉群人数的最小值为（

）A．18 B．20 C．22 D．28【答案】C【解析】依题意，设教师、家长、女生、男生人数分别为，且，于是，则，又，解得，因此，此时，所以当时，，即该钉钉群人数的最小值为22.故选：C【变式6-3】（23-24高一上·吉林长春·月考）不等关系是数学中一种最基本的数关系，生活中随处可见.例如.已知克糖水中含有克糖，再添加m克糖(假设全部溶解)，糖水变甜了.(1)请将这一事实表示为一个不等式.并证明这个不等式成立：(2)利用（1）中的结论证明：若为三角形的三边长，则.【答案】(1)，，证明见解析；(2)证明见解析；【解析】（1）糖水变甜了得出不等式，.证明：..，，.（2）设的三边长分别为，则有，由（1）已证不等式可得：，，，将以上不等式左右两边分别相加得：，所以，.一、单选题1．（22-23高一上·河北邢台·月考）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度（单位：厘米）应满足的不等式为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意知导火索的长度（单位：厘米），故导火索燃烧的时间为秒，人在此时间内跑的路程为米，由题意可得.故选：B.2．（23-24高一上·云南昆明·期中）设，，则与的大小关系为（

）A． B． C． D．无法确定【答案】A【解析】因为，所以.故选：A.3．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知，则下列一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A，当，则，故A不正确；对于B，当时，由可得，故B不正确；对于C，当时，，故C不正确；对于D，因为恒成立，所以由可得，故D正确.故选：D.4．（23-24高一上·安徽宣城·自主招生）已知实数a，b，则下列选项中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【解析】对于A选项，，满足，此时，不满足，故A错误；对于B选项，，满足，此时，不满足，故B错误；对于C选项，，所以，故C正确；对于D选项，，满足，此时，不满足，故D错误，故选：C.5．（23-24高一上·河南驻马店·期末）已知，则以下错误的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，所以，对于A，，,,综上可得，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，当时，，故D错误；故选：D.6．（23-24高一上·山东菏泽·月考）已知，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，所以，解得，即可得，因为，，所以，故选：A．二、多选题7．（23-24高一上·山东日照·期末）若实数，，满足且，，则下列不等式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】对于A，若，则，所以A错误