专题08 空间几何体（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）（含答案解析）

专题06空间几何体目录TOC\o"1-2"\h\u明晰学考要求 1基础知识梳理 1考点精讲讲练基础知识梳理 4考点一：空间几何体的结构特征 4考点二：空间几何体的表面积 8考点三：空间几何体的体积 11考点四：球的表面积与体积 15实战能力训练 17明晰学考要求1、了解多面体和旋转体的结构特征.；2、知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式.；3、知道圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算公式；4、知道球的表面积和体积的计算公式；5、了解斜二测画法画简单空间图形的直观图.基础知识梳理1、棱柱、棱锥、棱台的结构特征棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱记作：棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′底面(底)：两个互相平行的面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与底面的公共顶点直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱正棱柱：底面是正多边形的直棱柱棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥记作：棱锥S－ABCD底面(底)：多边形面侧面：有公共顶点的各个三角形面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：各侧面的公共顶点正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台记作：棱台ABCD－A′B′C′D′上底面：原棱锥的截面下底面：原棱锥的底面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点2、圆柱、圆锥、圆台的结构特征旋转体结构特征图形表示圆柱以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线圆柱用表示它的轴的字母表示，如图中的圆柱记作圆柱O′O圆锥以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥圆锥也用表示它的轴的字母表示，如图中的圆锥记作圆锥SO圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台圆台也用表示它的轴的字母表示，如图中的圆台记作圆台O′O球半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球.半圆的圆心叫做球的球心，连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径球常用表示球心的字母来表示，左图可表示为球O3、直观图用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤4、棱柱、棱锥、棱台的表面积(1)多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.5、棱柱、棱锥、棱台的体积(1)棱柱：棱柱的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.(2)棱锥：棱锥的底面面积为S，高为h，则V＝eq\f(1,3)Sh.(3)棱台：棱台的上、下底面面积分别为S′，S，高为h，则V＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)h.5、圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝2πrl表面积：S＝2πrl＋2πr2圆锥底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝πrl表面积：S＝πrl＋πr2圆台上底面面积：S上底＝πr′2下底面面积：S下底＝πr2侧面积：S侧＝πl(r＋r′)表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)6、圆柱、圆锥、圆台的体积V圆柱＝πr2h(r是底面半径，h是高)，V圆锥＝eq\f(1,3)πr2h(r是底面半径，h是高)，V圆台＝eq\f(1,3)πh(r2＋r′r＋r′2)(r′、r分别是上、下底面半径，h是高).7、球的表面积与体积公式前提条件球的半径为R球的表面积公式S球＝4πR2球的体积公式V球＝eq\f(4,3)πR3球的表面积公式与体积公式的联系V球＝eq\f(1,3)S球R考点精讲讲练基础知识梳理考点一：空间几何体的结构特征【典型例题】例题1．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（

）A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱【答案】B【分析】根据锥体、柱体、台体等知识确定正确答案.【详解】截去三棱锥，则剩余的部分是四棱锥.故选：B例题2．（2024年江苏省扬州市学业水平考试数学模拟）已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，列出方程，求解即可．【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，则，所以，所以.故选：A.例题3．如图、以矩形的边所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的几何体是（

）A．圆锥 B．圆台 C．圆柱 D．球【答案】C【分析】根据圆柱的形成即可得到答案.【详解】以矩形的边所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的几何体是圆柱.故选：C.【即时演练】1.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=4，，则BD1=（）A．6 B．7 C．10 D．11【答案】A【分析】利用勾股定理计算即可【详解】故选：A2．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是（

）A．棱柱 B．棱台 C．棱柱与棱锥的组合体 D．不能确定【答案】A【分析】根据棱柱的定义进行判断【详解】如图.∵平面AA1D1D∥平面BB1C1C，∴有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形(水面与两平行平面的交线)，因此呈棱柱形状.故选：A3．有一个多面体，共由四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为（

）A．四棱柱 B．四棱锥C．三棱柱 D．三棱锥【答案】D【分析】由柱体和锥体的性质即可得出答案.【详解】四个面都是三角形的几何体只能是三棱锥．故选：D.4．在三棱锥中，平面，垂足为，且，则点一定是的（

）A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心【答案】B【分析】根据题意，结合勾股定理，求得，即可求得答案.【详解】如图所示，分别连接，因为平面，可得又因为，利用勾股定理，可得，所以点一定是的外心.故选:B.考点二：空间几何体的表面积【典型例题】例题1．（2023高三·江苏·学业考试）若圆柱的上､下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设底面圆半径为，则圆柱的高为，圆柱侧面积为，利用均值等式计算得到答案.【详解】设底面圆半径为，则圆柱的高为，圆柱侧面积为，当且仅当，即时等号成立.故选：B.例题2．已知圆锥的底面半径为1，母线与底面所成的角是，则该圆锥的侧面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式计算即得.【详解】由圆锥的母线与底面所成的角是，得圆锥轴截面等腰三角形且底角为，所以圆锥轴截面等腰三角形是正三角形，因此圆锥母线长为2，所以该圆锥的侧面积是.故选：B例题3．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）如图1是一栋度假别墅，它的屋顶可近似看作一个多面体，图2是该屋顶的结构示意图，其中四边形和四边形是两个全等的等腰梯形，和是两个全等的正三角形．已知该多面体的棱与平面成的角，，则该屋顶的侧面积为（

）A．80 B． C．160 D．【答案】D【分析】先求两个等腰梯形的高，进而计算出屋顶的侧面积.【详解】设分别是的中点，连接，根据对称性可知，在平面的射影在上，设其为，连接，则平面，而平面，所以，所以是与平面成的角，即，所以，过作，垂足为，连接，由于平面，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以，，所以，所以，所以，所以该屋顶的侧面积为：.故选：D【即时演练】1.已知棱长为2，各面均为等边三角形的四面体，则其表面积为（）A．12 B． C． D．【答案】C【分析】利用三角形面积公式及四面体表面积的意义计算即得.【详解】棱长为2，各面均为等边三角形的四面体，其表面积为：.故选：C2.已知圆柱的底面半径为，母线长为，则该圆柱的侧面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用圆柱侧面积公式直接求解即可.【详解】圆柱的侧面积.故选：B.3.底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积为（

）A．160 B．80 C．100 D．120【答案】A【分析】由已知条件求得底面菱形的两条对称线长，从而求得菱形的边长，由侧面积公式可得侧面积．【详解】设底面边长是a，底面的两条对角线分别为l1，l2，所以＝152－52，＝92－52.又，即152－52＋92－52＝4a2，所以a＝8，所以S侧＝ch＝4×8×5＝160.故选：A．考点三：空间几何体的体积【典型例题】例题1．（江苏省南京市2025届高三学业水平调研考试数学试卷）在正四棱台中，，，，则该棱台的体积为．【答案】/【分析】由正四棱台的对角面为是等腰梯形，求得棱台的高，结合棱台的体积公式，即可求解.【详解】正四棱台的对角面为是等腰梯形，其高为该正四棱台的高，在等腰梯形中，，因为，则该梯形的高，所以该棱台的体积为.故答案为：.例题2．已知圆锥的母线长为2，母线与底面所成的角是，则该圆锥的体积是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据圆锥的性质求得圆锥的高和底面半径，再由体积公式计算．【详解】设圆锥的高为，底面半径为，又母线长为，而母线与底面所成的角是，则，，所以体积为，故选：A．例题3．（2023高三·江苏·学业考试）如图，三棱锥的底面和侧面都是边长为2的等边三角形，分别是的中点，.(1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可求证；（2）先证明平面，即可求出三棱锥的体积【详解】（1）因为分别是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）因为是等边三角形，是的中点，所以，因为，平面，所以平面，因为底面和侧面都是边长为2的等边三角形，所以.【即时演练】1．小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为，如图1所示，然后截去以为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（

）A．108 B．162 C．180 D．189【答案】C【分析】正方体的体积减掉8个以为底面的正三棱锥的体积即得此半正多面体模型的体积.【详解】设此半正多面体模型的体积为，则.故选：C.2.上、下底面圆的半径分别为、，高为的圆台的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据圆台的体积公式计算可得.【详解】因为圆台的上、下底面圆的半径分别为、，高为，所以.故选：A3.如图，在三棱柱中，，，，，点是的中点，平面.(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，设，连接，即可得到，从而得证；（2）利用勾股定理逆定理说明，再说明平面，最后根据计算可得.【详解】（1）连接，设，连接，由三棱柱的性质可知，侧面为平行四边形，∴为的中点，又∵为中点，∴在中，，又∵平面，平面，∴平面．（2）因为，，，，∴，即，又，平面，所以平面，∴.考点四：球的表面积与体积【典型例题】例题1．（2024高二上·江苏扬州·学业考试）若长方体的长、宽、高分别为，，，且它的各个顶点都在一个球面上，则该球体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由长方体外接球直径为体对角线，结合球体体积公式求体积.【详解】由题设，长方体外接球直径为体对角线为，所以该球体积为.故选：D例题2．（江苏省徐州市2024届高三上学期合格考试学情调研）一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥与球的体积之比是（

）A．1∶3 B．2∶3 C．1∶2 D．2∶9【答案】C【分析】设球体的半径，根据已知条件把圆锥和球体的体积表示出来相比就可以了.【详解】设球体的半径为，圆锥底面半径为，高为则圆锥的体积为：球体的体积：所以圆锥与球的体积之比为：1∶2故选：C.例题3．（2022高三上·江苏徐州·学业考试）已知一个实心铜质的圆锥形材料的底面半径为4，侧面积为，现将它熔化后铸成一个实心铜球，不计损耗，则铜球的半径为（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】利用圆锥的体积公式和球的体积公式即可求得半径.【详解】由已知圆锥底面半径为4，所以底面周长为，圆锥的母线长为：，所以圆锥的高，所以圆锥的体积为：，设球的半径为,所以，解得.故选：A【即时演练】1．在三棱锥中，侧棱、、两两垂直，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为．【答案】【分析】将三棱锥补全为长方体，长方体的外接球就是所求的外接球，长方体的对角线就是外接球直径，计算出半径后可得表面积．【详解】将三棱锥补全为长方体，则长方体的外接球就是所求的外接球，设球半径为R，则，所以球的表面积为．故选答案为：．2.若球的表面积为，则该球的半径是．【答案】【分析】根据球的表面积公式计算可得.【详解】设球的半径为，依题意，解得（负值已舍去）.故答案为：3.一个半径为的球和一个上，下底面边长分别为和的正四棱台的体积相同，则正四棱台的高为．【答案】/【分析】利用球和正四棱台的体积公式直接建立等式计算即可．【详解】解：球的体积为①，设正四棱台的高为，则正四棱台的体积为②，由，解得：．故答案为：．实战能考点精讲讲练力训练1.圆锥的底面半径是1，高是2，则这个圆锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据圆锥体积公式直接计算.【详解】由题意知，圆锥底面积为，圆锥的高，则圆锥的体积为.故选：A2水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，则的面积是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根据直观图与斜二测画法的定义求解.【详解】由题可知，为直角三角形，且,所以,故选：C.3如图，在长方体中，（）

A．60 B．30 C．20 D．10【答案】D【分析】利用锥体的体积公式求解.【详解】解：在长方体中，点到面ABCD的距离为，，所以，故选：D4如图正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（

）A． B． C． D．2833【答案】B【分析】根据台体的结构特征结合台体的体积公式运算求解.【详解】如图，过作下底面的投影，垂足为，上底面对角线长，下底面对角线长，则，可得正四棱台的高，所以正四棱台的体积.故选：B5.如图，在长方体中，，，则（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根据长方体的性质求解.【详解】在长方体中，，故选：B6.已知球O的体积为，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据球的体积公式求出半径，即可求出表面积.【详解】设球的体积为，则由题可得，解得，则该球的表面积为.故选：D.7.下列说法正确的是（

）A．通过圆台侧面上一点，有无数条母线B．圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台C．圆锥、圆台的底面都是圆，母线都与底面垂直D．位于上方的面是棱台的上底面，位于下方的面是棱台的下底面【答案】B【分析】利用圆台的定义判断A，B；利用圆锥、圆台的定义判断C；利用棱台的定义判断D作答.【详解】根据圆台母线的定义知，通过圆台侧面上一点，只有一条母线，