专题07 平面向量与复数（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）

专题07平面向量与复数目录TOC\o"1-2"\h\u明晰学考要求 1基础知识梳理 1考点精讲讲练 5考点一：平面向量的线性运算 5考点二：平面向量的数量积运算 7考点三：平面向量的坐标运算 8考点四：复数的概念与几何意义 9考点五：复数的运算 9实战能力训练 18明晰学考要求1、了解平面向量的概念；2、掌握平面向量的加减、数乘运算法则，并了解其几何意义；3、了解数量积的定义，会利用运算律和法则进行简单的数量积计算；4、了解平面向量基本定理；5、理解复数的概念及复数相等的充要条件，了解其几何意义；6、掌握复数代数形式的四则运算和运算律.基础知识梳理1、平面向量的有关概念（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量.向量不能比较大小.（2）向量可以用有向线段eq\o(AB,\s\up6(→))来表示.向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小称为向量eq\o(AB,\s\up6(→))的长度(或称模)，记作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.向量也可以用字母a，b，c，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如：eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→)).（3）常用概念辨析向量名称定义零向量长度为0的向量，记作0单位向量长度等于1个单位长度的向量平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量，向量a，b平行，记作a∥b，规定：零向量与任意向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量；向量a，b相等，记作a＝b相反向量与向量a长度相等，方向相反的向量，记作－a.①单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同.②若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.③零向量的相反向量仍是零向量.2、平面向量的线性运算（1）加法的三角形法则：如图，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，则向量eq\o(AC,\s\up6(→))叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).（2）加法的平行四边形法则：如图，以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量eq\o(OC,\s\up6(→))(OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和.（3）向量的减法：已知非零向量a，b，在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(BA,\s\up6(→))＝a－b，如图所示.即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.（4）向量的数乘：①定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：|λa|＝|λ||a|.若，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.当时，.②数乘运算的运算律设λ，μ为实数，则有：λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb.特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb，λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.③若λa＝0，则λ＝0或a＝0；当a≠0时，向量eq\f(a,|a|)是与向量a同向的单位向量.3、向量的数量积（1）平面向量的夹角①定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.②特例：当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向.如果a与b的夹角是eq\f(π,2)，我们说a与b垂直，记作a⊥b.（2）平面向量数量积①定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.②向量数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos__θ.a⊥b⇔a·b＝0.当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).|a·b|≤|a|·|b|(当且仅当向量a，b共线时，等号成立).cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).（3）投影的概念设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则a在b上的投影向量eq\o(OM1,\s\up6(→))＝|a|cos__θ__e.（4）向量数量积的运算律a·b＝b·a(交换律)，(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)，(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).①a·b＝b·c推不出a＝c；②(a·b)c≠a(b·c)，它们表示不同的向量.4、共线向量定理与共面向量基本定理（1）向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.（2）平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2基底若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底5、向量的坐标表示（1）向量的坐标：在平面直角坐标系中，以原点O为起点作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj，则向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是向量a的坐标.（2）加减运算的坐标表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2).（3）数乘运算的坐标表示：a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy).（4）数量积的坐标表示：两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.（5）向量共线、垂直的坐标表示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是的充要条件是x1y2－x2y1＝0.设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.（6）夹角、模的坐标表示：若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，|a|＝eq\r(x2＋y2)；两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)；两向量夹角的余弦公式：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).6、复数的概念（1）复数的代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部.①i2＝－1，②a，b∈R.（2）复数的分类：设复数z＝a＋bi(a，b∈R).①z为实数⇔b＝0，②z为虚数⇔b≠0，③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0.（3）复平面中的x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.（4）复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义.（5）复数的模：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R).（6）共轭复数：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数eq\o(z,\s\up6(－))＝a－bi.7、复数的运算（1）加减运算①设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么(a＋bi)±(c＋di)＝(a＋c)±(b＋d)i；②运算律：对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).（2）乘除运算：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i，(a＋bi)÷(c＋di)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i.考点精讲讲练考点一：平面向量的线性运算【典型例题】例题1．（2023高三·江苏·学业考试）已知是边长为2的等边三角形，分别是边的中点，则（

）A． B．C． D．例题2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）在中，已知为的中点，为的中点，则为（

）A． B．C． D．例题3．在中，为的中点，为的中点，则（

）A． B．C． D．【即时演练】1．如图，平行四边形中，是边上的一点，则（

）A． B．C． D．2.如图，四边形是菱形，下列结论正确的是（

）A． B． C． D．3.如图，在矩形中，（）

A． B． C． D．考点二：平面向量的数量积运算【典型例题】例题1．（2024江苏省扬州市学业水平考试模拟）已知，且，则等于（

）A．5 B． C． D．例题2.（2023高三上·江苏徐州·学业考试）在平行四边形中，是线段的中点，则（

）A．1 B．4 C．6 D．7例题3．（2022高三上·江苏徐州·学业考试）如图，在边长为3的正中，D，E分别在AC，AB上，且，则（

）A． B． C． D．【即时演练】1.如图，是边长为2的等边三角形，则（

）A．4 B． C．2 D．2.已知向量满足，，则（）A． B．6 C． D．53．在边长为3的菱形ABCD中，，，则=（

）A． B． C． D．考点三：平面向量的坐标运算【典型例题】例题1．（2024高二·江苏·学业考试）已知两点，与平行，且方向相反的向量可能是（

）A． B．C． D．例题2.（2024江苏省扬州市学业水平考试模拟）已知，，若，则（

）A．1 B． C． D．例题3．（2023高三·江苏·学业考试）已知向量，则实数（

）A． B．0 C．1 D．或1例题4．（江苏省徐州市2024届高三上学期合格考试学情调研）已知向量．若，则实数（

）A． B．2 C． D．【即时演练】1．（2022高三上·江苏徐州·学业考试）已知，若，则实数x=（

）A．8 B．-2 C．2 D．-82.若向量，则的坐标是（

）A． B． C． D．3．已知，若，则的值为（

）A．-2 B． C． D．考点四：复数的概念与几何意义【典型例题】例题1．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）复数在复平面上对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限例题2．（2023高三·江苏·学业考试）已知，则（

）A．3 B．4 C． D．10例题3．（2024高二上·江苏扬州·学业考试）已知复数（是虚数单位），则为（

）A． B．1 C．2 D．3例题4．（江苏省南京市金陵中学2022届高三学业水平选择性模拟考前最后一卷）已知复数满足，复数（为虚数单位），则的最大值为（

）A． B． C． D．【即时演练】1．复数（为虚数单位）的模为（

）A．3 B．5 C．4 D．72.已知复数，则的虚部为（

）A．1 B． C． D．3．在复平面内，对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限考点五：复数的运算【典型例题】例题1．（2023江苏省徐州市高三上学期学业合格模拟考试）复数（）A． B． C． D．例题2．（2024高三上·江苏南京·学业考试）在复平面内，复数z对应的点Z在第二象限，则复数对应的点所在象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限例题3．已知复数（为虚数单位），则（

）A．1 B．2 C． D．【即时演练】1．已知复数，则的虚部是（

）A． B． C．2 D．2.i为虚数单位，若，则（

）A． B． C．2 D．3．复数满足，则（

）A． B． C． D．i实战能考点精讲讲练力训练1.如图，O是正六边形的中心，下列向量中，与是平行向量的为（

）A． B． C． D．2.已知为虚数单位，设复数，则（

）A．1 B．4 C． D．3.已知向量，则（

）A．2 B． C．10 D．4.若，，（

）A．10 B． C． D．5.已知平面向量.若，则实数的值是（

）A．4 B．1 C． D．6.若复数z满