2024-2025学年北京八中九年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年北京八中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）（每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）1．（2分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，﹣4） B．（3，4） C．（﹣3，﹣4） D．（4，﹣3）2．（2分）已知⊙O的半径为4，如果OP的长为3，则点P在（）A．⊙O内 B．⊙O上 C．⊙O外 D．不确定3．（2分）若关于x的一元二次方程2x2+x﹣m＝0有一个根为1，则另一个根的值为（）A．3 B．﹣3 C． D．4．（2分）如图，在⊙O中，弦AB，∠AEC＝74°，∠ABD＝36°（）A．100° B．110° C．148° D．140°5．（2分）在圆、正六边形、平行四边形、等腰三角形、正方形这五个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个6．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c﹣4＝0的根的情况为（）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有实数根7．（2分）如图，点O为线段AB的中点，∠ACB＝∠ADB＝90°（）A．OC＝OD B．∠BDC＝∠BAC C．∠BCD+∠BAD＝180° D．AC平分∠BAD8．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为P（﹣1，k），且经过点A（﹣3，0），下面四个结论中，①abc＞0；②b＝﹣2a；③若点N（t，n）在此抛物线上且n＜c，则t＞0或t＜﹣2；④对于任意实数t，都有a（t2﹣1）+b（t+1）≤0成立．正确的有（）个．A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）写出一个开口向上，对称轴为x＝1的抛物线的表达式．10．（2分）将抛物线y＝x2向下平移3个单位，向左平移1个单位，得到新的抛物线的表达式是．11．（2分）⊙O的直径为17cm，若圆心O与直线l的距离为7.5cm，则l与⊙O的位置关系是（填“相交”、“相切”或“相离”）．12．（2分）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，若原正方形空地边长是xm，则可列方程为．13．（2分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B上的点．过点C的切线分别交PA，PB于点M，则△PMN的周长为．14．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣3）2+1（a＜0）的顶点坐标是；若点（2，y1），（6，y2）在此抛物线上，则y1，y2，1的大小关系是（用“＜”号连接）．15．（2分）已知二次函数y＝a（x﹣2）2﹣2a，当1≤x≤4时，函数值y的最大值为4．16．（2分）如图，以点G（0，1）为圆心，B两点，与y轴交于C，E为⊙G上一动点，CF⊥AE于点F，则弦AB的长度为；点E在⊙G上运动的过程中，线段FG的长度的最小值为．三、解答题（本题共68分，17题每小题6分；18-19题每题4分；20-21题每题6分；22题5分；23题7分；24题6分；25题5分；26题6分；27题7分；28题6分）17．（6分）解方程：（1）x2﹣4x﹣1＝0；（2）2x2+3x＝0．18．（4分）已知：如图，△ABC绕某点按一定方向旋转一定角度后得到△A1B1C1，点A，B，C分别对应点A1，B1，C1．（1）请通过画图找到旋转中心，将其记作O；（2）直接写出旋转方向（填顺时针或逆时针），旋转角度°；（3）在图中画出△A1B1C1．19．（4分）如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C．若AB＝16，求⊙O的半径的长．20．（6分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣x﹣2＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取最小的正整数时，求方程的根．21．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表所示：x…﹣101234…y…830﹣1m3…（1）根据表中的信息，则m值为；（2）求此二次函数的解析式，并用描点法画出该二次函数的图象；（不用列表）（3）一次函数y＝kx+3，当0＜x＜3时，对于x的每一个值2+bx+c，直接写出k的取值范围．22．（5分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，求AA′的长．23．（7分）小明在学习了圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”后，想探究它的逆命题“对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上”是否成立．他先根据命题画出图形，并用符号表示已知已知：如图，在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°．求证：点A，B，C，D在同一个圆上．他的基本思路是依据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，先作出一个过三个顶点A，B，C的⊙O具体过程如下：步骤一利用直尺与圆规，作出过A，B，C三点的⊙O步骤二用反证法证明点D也在⊙O上．假设点D不在⊙O上，则点D在⊙O内或⊙O外．（i）如图2，假设点D在⊙O内．延长CD交⊙O于点D1，连接AD1，∴∠B+∠D1＝180°（①）．（填推理依据）∵∠ADC是△ADD1的外角，∴∠ADC＝∠DAD1+∠D1．∴∠ADC＞∠D1，∴∠B+∠ADC＞180°．这与已知条件∠B+∠ADC＝180°矛盾．∴假设不成立，即点D不在⊙O内．（ii）如图3，假设点D在⊙O外．设CD与⊙O交于点D2，连接AD2，∴②+∠AD2C＝180°．∵∠AD2C是△AD2D的外角，∴∠AD2C＝∠DAD2+③．∴④＜∠AD2C．∴⑤+∠ADC＜180°这与已知条件∠B+∠ADC＝180°矛盾．∴假设不成立，即点D不在⊙O外．综上所述，点D在⊙O上．∴点A，B，C，D在同一个圆上．阅读上述材料，并解答问题：（1）根据步骤一，补全图1（要求：尺规作图，保留作图痕迹）；（2）填写推理依据：①；（3）填空：②，③，④，⑤．24．（6分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，过点D作DF∥AB交CO的延长线于点F．（1）求证：直线DF是⊙O的切线；（2）若∠A＝30°，，求DF的长．25．（5分）投掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被投掷后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，实心球从出手（点A处）到落地的过程中（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系．小石进行了三次训练，每次实心球的出手点A的竖直高度为2m．记实心球运动路线的最高点为P，训练成绩（实心球落地点的水平距离）（单位：m）．训练情况如下：第一次训练第二次训练第三次训练训练成绩d1＝8.39md2d3最高点P1（3，2.9）P2（4，3.6）P3（3，3.4）满足的函数关系式（a＜0）根据以上信息，（1）求第二次训练时满足的函数关系式；（2）小石第二次训练的成绩d2为m；（3）直接写出训练成绩d1，d2，d3的大小关系．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2﹣2a2x+2（a≠0）的图象与y轴交于点A，与直线x＝2交于点B．（1）若AB∥x轴，求二次函数解析式；（2）记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点），若对于图象G上任意一点C（xC，yC），都有yC≤2，求a的取值范围．27．（7分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°（0°＜α＜45°），点E是线段BC延长线上一点，点D为线段EC的中点，过点A作AF⊥EM，垂足为点F（1）用等式表示线段BD与DF之间的数量关系，并证明；（2）求∠FDB的大小（用含α的代数式表示）；（3）若点D满足BC＝CD，直接写出一个α的值，使得CF⊥BE．28．（6分）在平面直角坐标系xOy中，将对角线为T的正方形记作正方形T，对于正方形T和点P（不与O重合），使得直线OP与以TQ为半径的⊙T相切于点P，则称点P为正方形T的“伴随切点”．（1）如图，正方形T的顶点分别为点O，A（﹣2，2），B（﹣4，0），C（﹣2，﹣2）．①在点P1（﹣1，1），P2（﹣1，﹣1），P3（﹣2，1）中，正方形T的“伴随切点”是；②若直线y＝﹣x+b上存在正方形T的“伴随切点”，求b的取值范围；（2）已知点T（t，t﹣1），正方形T的边长为2．若存在正方形T的两个“伴随切点”M，N，使得△OMN为等边三角形

2024-2025学年北京八中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）（每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）1．（2分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，﹣4） B．（3，4） C．（﹣3，﹣4） D．（4，﹣3）【解答】解：点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是：（4．故选：A．2．（2分）已知⊙O的半径为4，如果OP的长为3，则点P在（）A．⊙O内 B．⊙O上 C．⊙O外 D．不确定【解答】解：∵OP＝3，r＝4，∴OP＜r，∴点P在圆内．故选：A．3．（2分）若关于x的一元二次方程2x2+x﹣m＝0有一个根为1，则另一个根的值为（）A．3 B．﹣3 C． D．【解答】解：设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系可得：1+x6＝﹣，解得x2＝﹣．故选：C．4．（2分）如图，在⊙O中，弦AB，∠AEC＝74°，∠ABD＝36°（）A．100° B．110° C．148° D．140°【解答】解：∵∠AEC＝74°，∠ABD＝36°，∴∠DEB＝∠AEC＝74°，∴∠D＝180°﹣∠DEB﹣∠ABD＝180°﹣74°﹣36°＝70°，∴∠BOC＝2∠D＝2×70°＝140°．故选：D．5．（2分）在圆、正六边形、平行四边形、等腰三角形、正方形这五个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：圆是轴对称图形，也是中心对称图形；正六边形是轴对称图形，也是中心对称图形；平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；正方形是轴对称图形，也是中心对称图形．故选：B．6．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c﹣4＝0的根的情况为（）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有实数根【解答】解：∵y＝ax2+bx+c﹣4是由y＝ax2+bx+c向下平移4个单位长度的到的，方程ax2+bx+c﹣4＝0的根就是抛物线y＝ax2+bx+c﹣2（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标，∴由图象可得会有两个交点，即有两个实数根．故选：C．7．（2分）如图，点O为线段AB的中点，∠ACB＝∠ADB＝90°（）A．OC＝OD B．∠BDC＝∠BAC C．∠BCD+∠BAD＝180° D．AC平分∠BAD【解答】解：∵点O为线段AB的中点，∠ACB＝∠ADB＝90°，∴OD＝ABAB，∴OD＝OC＝OA＝OB，∴点A、D、C、B在以O为圆心，∵OD＝OC，故A不符合题意；由圆周角定理得到∠BDC＝∠BAC，故B不符合题意；∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCD+∠BAD＝180°，故C不符合题意；∵和不一定相等，∴∠DAC和∠BAC不一定相等，∴AC不一定平分∠BAD，故D符合题意．故选：D．8．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为P（﹣1，k），且经过点A（﹣3，0），下面四个结论中，①abc＞0；②b＝﹣2a；③若点N（t，n）在此抛物线上且n＜c，则t＞0或t＜﹣2；④对于任意实数t，都有a（t2﹣1）+b（t+1）≤0成立．正确的有（）个．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：由题意，∵抛物线开口向下，∴a＜0，c＞0．又∵对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＜3．∴abc＞0，故①正确．∵抛物线与y轴的交点为（0，c），对称轴为直线x＝﹣7，∴点（0，c）关于对称轴的对称点为（﹣2，∴若点N（t，n）在此抛物线上且n＜c，∴t＜﹣2或t＞0，故③正确．由题意，∵当x＝﹣1时，∴对于任意实数t，都有at6+bt+c≤a﹣b+c．∴at2﹣a+bt+b≤0，即a（t5﹣1）+b（t+1）≤7，故④正确．综上，正确的有：①③④．故选：D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）写出一个开口向上，对称轴为x＝1的抛物线的表达式y＝x2﹣2x（答案不唯一）．【解答】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝1，∴y＝（x﹣1）6﹣1即y＝x2﹣2x．故答案为：y＝x2﹣2x（答案不唯一）．10．（2分）将抛物线y＝x2向下平移3个单位，向左平移1个单位，得到新的抛物线的表达式是y＝（x+1）2﹣3．【解答】解：∵抛物线y＝x2向左平移1个单位，向下平移8个单位，∴平移后得到的抛物线表达式是y＝（x+1）2﹣6，故答案为：y＝（x+1）2﹣2．11．（2分）⊙O的直径为17cm，若圆心O与直线l的距离为7.5cm，则l与⊙O的位置关系是相交（填“相交”、“相切”或“相离”）．【解答】解：∵⊙O的直径为17cm，∴⊙O的半径＝×17＝4.5（cm），∵圆心O与直线l的距离为7.5cm，7.5cm＜7.5cm，∴直线l与⊙O相交．故答案为：相交．12．（2分）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，若原正方形空地边长是xm，则可列方程为（x﹣2）（x﹣3）＝20．【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有（x﹣3）（x﹣2）＝20．故答案为：（x﹣6）（x﹣2）＝20．13．（2分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B上的点．过点C的切线分别交PA，PB于点M，则△PMN的周长为16．【解答】解：∵PA，PB，PA＝8，∴MA＝MC，NC＝NB，∴△PMN的周长＝PM+MC+NC+PN＝PM+MA+NB+PN＝PA+PB＝16．故答案为：16．14．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣3）2+1（a＜0）的顶点坐标是（3，1）；若点（2，y1），（6，y2）在此抛物线上，则y1，y2，1的大小关系是y2＜y1＜1（用“＜”号连接）．【解答】解：由题意，∵抛物线为y＝a（x﹣3）2+8（a＜0），∴开口向下，顶点（3，对称轴是直线x＝8．∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大．又∵|3﹣3|＝8＜|2﹣3|＝8＜|6﹣3|＝7，∴y2＜y1＜8．故答案为：（3，1）；y7＜y1＜1．15．（2分）已知二次函数y＝a（x﹣2）2﹣2a，当1≤x≤4时，函数值y的最大值为42或﹣2．【解答】解：∵二次函数y＝a（x﹣2）2﹣7a∴抛物线的对称轴是直线x＝2，∵1≤x≤8，∴当a＞0时，抛物线开口向上，当x＝4时y有最大值，a×（3﹣2）2﹣7a＝4，解得a＝2，当a＜7时，抛物线开口向下，a×（2﹣2）7﹣2a＝4，解得a＝﹣6．故答案为：2或﹣2．16．（2分）如图，以点G（0，1）为圆心，B两点，与y轴交于C，E为⊙G上一动点，CF⊥AE于点F，则弦AB的长度为2；点E在⊙G上运动的过程中，线段FG的长度的最小值为﹣1．【解答】解：作GM⊥AC于M，连接AG．∵GO⊥AB，∴OA＝OB，在Rt△AGO中，∵AG＝2，OG＝1，∴AG＝4OG，OA＝＝，∴∠GAO＝30°，AB＝2AO＝2，∴∠AGO＝60°，∵GC＝GA，∴∠GCA＝∠GAC，∵∠AGO＝∠GCA+∠GAC，∴∠GCA＝∠GAC＝30°，∴AC＝4OA＝2，MG＝，∵∠AFC＝90°，∴点F在以AC为直径的⊙M上，当点F在MG的延长线上时，FG的长最小﹣6．故答案为：2，﹣1．三、解答题（本题共68分，17题每小题6分；18-19题每题4分；20-21题每题6分；22题5分；23题7分；24题6分；25题5分；26题6分；27题7分；28题6分）17．（6分）解方程：（1）x2﹣4x﹣1＝0；（2）2x2+3x＝0．【解答】解：（1）x2﹣4x﹣7＝0，x2﹣8x＝1，x2﹣7x+4＝5，（x﹣3）2＝5，x﹣2＝，x1＝3+，x2＝3﹣；（2）2x4+3x＝0．x（7x+3）＝0，x3＝0，x2＝﹣．18．（4分）已知：如图，△ABC绕某点按一定方向旋转一定角度后得到△A1B1C1，点A，B，C分别对应点A1，B1，C1．（1）请通过画图找到旋转中心，将其记作O；（2）直接写出旋转方向顺时针（填顺时针或逆时针），旋转角度90°；（3）在图中画出△A1B1C1．【解答】解：（1）如图，点O即为旋转中心；（2）由图可知，旋转方向顺时针，故答案为：顺时针；90；（2）如图2，△A1B3C1即为所求．19．（4分）如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C．若AB＝16，求⊙O的半径的长．【解答】解：如图，连接OA，∵⊙O的弦AB＝8，半径OD⊥AB，∴AC＝AB＝，设⊙O的半径为r，则OC＝r﹣CD＝r﹣7，在Rt△OAC中，OA2＝OC2+AC7，即r2＝（r﹣2）3+82，解得r＝17．故⊙O的半径的长为17．20．（6分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣x﹣2＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取最小的正整数时，求方程的根．【解答】解：（1）∵一元二次方程mx2﹣x﹣2＝4有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣1）2﹣8×m×（﹣2）＞0且m≠5，所以m＞﹣且m≠4；（2）∵m＞﹣且m≠3，∴m＝1，∴方程为x2﹣x﹣5＝0，∴（x﹣2）（x+4）＝0，∴x﹣2＝6或x+1＝0，解得x5＝2，x2＝﹣8．21．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表所示：x…﹣101234…y…830﹣1m3…（1）根据表中的信息，则m值为0；（2）求此二次函数的解析式，并用描点法画出该二次函数的图象；（不用列表）（3）一次函数y＝kx+3，当0＜x＜3时，对于x的每一个值2+bx+c，直接写出k的取值范围．【解答】解：（1）由题意，根据表格数据可得，3），3），∴对称轴是直线x＝＝3．∴当x＝3时的函数值与当x＝1时的函数值相等．∵当x＝5时，y＝0，∴当x＝3时，y＝m＝5．故答案为：0．（2）由（1）抛物线对称轴是直线x＝2，∴顶点为（7，﹣1）．∴可设抛物线为y＝a（x﹣2）8﹣1．又∵抛物线过（0，2），∴3＝a（0﹣6）2﹣1．∴a＝6．∴所求抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣2．∴作图如下．（3）由题意，∵一次函数为y＝kx+3，∴一次函数的图象过（0，8）．∵当0＜x＜3时，对于x的每一个值8+bx+c，∴此时一次函数图象在二次函数图象上方．如图．∵y＝kx+3过（3，5）时，∴k＝﹣1．又结合图象，∴满足kx+3＞ax3+bx+c的k的取值范围为：k≥﹣1，且k≠0．22．（5分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，求AA′的长．【解答】解：∵将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′BC′，∴AB＝A′B，∠ABA′＝60°，∴△ABA′是等边三角形，∴AB＝AA′，∵∠C＝90°，∴，∴AA′＝AB＝5．23．（7分）小明在学习了圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”后，想探究它的逆命题“对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上”是否成立．他先根据命题画出图形，并用符号表示已知已知：如图，在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°．求证：点A，B，C，D在同一个圆上．他的基本思路是依据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，先作出一个过三个顶点A，B，C的⊙O具体过程如下：步骤一利用直尺与圆规，作出过A，B，C三点的⊙O步骤二用反证法证明点D也在⊙O上．假设点D不在⊙O上，则点D在⊙O内或⊙O外．（i）如图2，假设点D在⊙O内．延长CD交⊙O于点D1，连接AD1，∴∠B+∠D1＝180°（①）．（填推理依据）∵∠ADC是△ADD1的外角，∴∠ADC＝∠DAD1+∠D1．∴∠ADC＞∠D1，∴∠B+∠ADC＞180°．这与已知条件∠B+∠ADC＝180°矛盾．∴假设不成立，即点D不在⊙O内．（ii）如图3，假设点D在⊙O外．设CD与⊙O交于点D2，连接AD2，∴②+∠AD2C＝180°．∵∠AD2C是△AD2D的外角，∴∠AD2C＝∠DAD2+③．∴④＜∠AD2C．∴⑤+∠ADC＜180°这与已知条件∠B+∠ADC＝180°矛盾．∴假设不成立，即点D不在⊙O外．综上所述，点D在⊙O上．∴点A，B，C，D在同一个圆上．阅读上述材料，并解答问题：（1）根据步骤一，补全图1（要求：尺规作图，保留作图痕迹）；（2）填写推理依据：①圆的内接四边形的对角互补；（3）填空：②∠B，③∠D，④∠ADC，⑤∠B．【解答】解：（1）1．分别作线段BC，它们交于点O，2．以点O为圆心，则⊙O为过A，B，C三点的圆，（2）①推论依据为：圆的内接四边形的对角互补．故答案为：圆的内接四边形的对角互补；（3）②设CD与⊙O交于点D2，连接AD2，∴∠B+∠AD2C＝180°．故答案为：∠B；③∵∠AD6C是△AD2D的外角，∴∠AD2C＝∠DAD6+∠D．故答案为：∠D；④∵∠AD2C＝∠DAD2+∠D∴∠ADC＜∠AD3C．故答案为：∠ADC；⑤∵∠ADC＜∠AD2C，∴∠B+∠ADC＜180°．故答案为：∠B．24．（6分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，过点D作DF∥AB交CO的延长线于点F．（1）求证：直线DF是⊙O的切线；（2）若∠A＝30°，，求DF的长．【解答】（1）证明连接OD．∵CD平分∠ACB，∴＝，∴OD⊥AB，∵AB∥DF；∴OD⊥DF，∵OD为半径，∴DF是⊙O的切线．（2）解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝30°，AC＝2，∴AB＝＝4，∴OD＝6，∵∠BOC＝2∠A＝60°，∵DF∥AB，∴∠COB＝∠F＝60°，∴tanF＝＝，∴DF＝．25．（5分）投掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被投掷后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，实心球从出手（点A处）到落地的过程中（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系．小石进行了三次训练，每次实心球的出手点A的竖直高度为2m．记实心球运动路线的最高点为P，训练成绩（实心球落地点的水平距离）（单位：m）．训练情况如下：第一次训练第二次训练第三次训练训练成绩d1＝8.39md2d3最高点P1（3，2.9）P2（4，3.6）P3（3，3.4）满足的函数关系式（a＜0）根据以上信息，（1）求第二次训练时满足的函数关系式；（2）小石第二次训练的成绩d2为10m；（3）直接写出训练成绩d1，d2，d3的大小关系．【解答】解：（1）由题意，抛物线过点（0，最高点P2（4，3.6），又抛物线为（a＜0），∴3＝a（0﹣4）3+3.6．∴a＝﹣6.1．∴第二次训练时满足的函数关系式y＝﹣0.2（x﹣4）2+7.6．（2）由题意，由（1）第二次训练时满足的函数关系式y＝﹣0.8（x﹣4）2+5.6，令y＝0，∴3＝﹣0.1（x﹣4）2+3.2．∴x＝10或x＝﹣2（x＝﹣2不合题意，舍去）．∴小石第二次训练的成绩d7为10m．故答案为：10．（3）由题意，∵，令y＝0，∴d3＝x＝7.76m．又d1＝8.39m，d2＝10m，d3＝7.76m，∴d6＜d1＜d2．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2﹣2a2x+2（a≠0）的图象与y轴交于点A，与直线x＝2交于点B．（1）若AB∥x轴，求二次函数解析式；（2）记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点），若对于图象G上任意一点C（xC，yC），都有yC≤2，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣2a3x+2（a≠0）的图象与y轴交于点A，∴A（7，2），∵抛物线与直线x＝2交于点B，且AB∥x轴，∴B（6，2），将点B（2，7）代入y＝ax2﹣2a3x+2得：4a﹣6a2+2＝4，4a（1﹣a）＝2，∵a≠0，∴a＝1．∴二次函数解析式为：y＝x5﹣2x+2；（2）当x＝4时，y＝4a﹣4a2+2∵yC≤2，∴6a﹣4a2+2≤2，a（1﹣a）≤5，∴或，解得：a≥1或a＜0；综上所述：a的取值范围是a＜7或a≥1．27．（7分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°（0°＜α＜45°），点E是线段BC延长线上一点，点D为线段EC的中点，过点A作AF⊥EM，垂足为点F（1）用等式表示线段BD与DF之间的数量关系，并证明；（2）求∠FDB的大小（用含α的代数式表示）；（3）若点D满足BC＝CD，直接写出一个α的值，使得CF⊥BE．【解答】解：（1）BD＝DF，理由如下：如图，延长EF，连接AN，∵AF⊥EN，∴AE＝AN，∴∠ANF＝∠AEF＝α，∴∠EAN＝180°﹣∠ANF﹣∠AEF＝180°﹣α﹣α＝180°﹣2α，延长CB，使BH＝BC，∵∠ABC＝90°∴AB⊥CH，∴AH＝AC，∴∠AHB＝∠ACB＝α，∴∠CAH＝180°﹣∠AHB﹣∠ACB＝180°﹣α﹣α＝180°﹣2α，∴∠CAH＝∠EAN，∴∠CAH+∠CAE＝∠EAN+∠CAE，∴∠HAE＝∠CAN，∴△HAE≌△CAN（SAS），∴EH＝NC，∵点D为线段EC的中点，∴ED＝DC，又∵EF＝FN，∴DF∥NC且，∵，∴BD＝DF；（2）由（1）可得：△HAE≌△CAN，∠AHB＝α，∴∠ACN＝∠AHE＝∠AHB＝α，∴