高中数学新人教B版选修2-1 课时分层作业 全套26课时含解析

基础达标练]1.下列语句中，命题是,其中真命题是写出序号).②若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等；③大角所对的边大于小角所对的边.②是假命题，若两条直线斜率都不存在时，这两条直线平行；.命题“若a0则二元一次不等式+a-1≥0表示直线+a-1=0的右上方区域(包真a时，设a=1,把(00代入+-1≥0得一1≥0不成立，∴十-1≥0表示直线其中真命题是于第三边”,故②真；①空集是任何非空集合的真子集.③垂直于同一个平面的两条直线平行吗?.下列命题属于假命题的是)=一,但≠一，所以项是错误的，故选.四边形是梯形.对角线.下列命题中真命题的个数是)②不等式+一表示的平面区域包含边界+一=;),十○),十一)因为“关于的方程一十=无实根”是真命题，所以△=一)一,解得.把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断命题的真假.奇数不能被整除；解若一个数是奇数，则这个数不能被整除，是真命题.若一个数是实数，则这个数的平方是正数，是假命题.例如的平方还是,不是正若a-1十b-1=,则a=b=1,是真命题.合条件.1.已知：:-1>a,:1请选择适当的实数a,使得利用,构造的命题“若,则”为真命题.,则>1”,由命题为真命题，≤1,解得a≤4.故a取任一实数均可使得利用,构造的命题为真命题，例如这里取a=1,则有真命题能力提升练1.关于直线,与平面α,β,有下列四个命题：①若//α,//β,且α//β,则④若//a,⊥β,且α⊥β,则//.其中真命题的序号是如图1所示，α,β分别为正方体的上、下底面，显然图中的//a,//β,且α//β,但与不平行，故①为假命题，可排除,对于命题④,如图所示，α为正方体的下底面，β为侧面，图中的//α,⊥β,且α⊥β,但与不平行，故④为假命题，可排.对于下列四个命题：①若向量a,b满足a·b,则a与b的夹角为钝角；的异侧；④偶数的平方仍是偶数.其中真命题是将你认为正确的命题的序号都填上.③④命题①错误，当a与b反向时，也有a·b<0;命题②错误，正四棱柱是底面为正方形的直四棱柱，而长方体的底面是一般的矩形，所以n=;命题③正确，因为|a|+十一=0的异侧；命题④正确.课时分层作业建议用时：0分钟基础达标练一、填空题.命题“有些负数满足不等式十一>0”用“习”写成存在性命题为3<0,十一>0根据存在性命题的定义改写..下列命题中为全称命题的是填所有正确的序号①三角形两边之和大于第三边；③有些函数为奇函数；④平行四边形对角相等.①②④③为存在性命题，①、④为省略了全称量词的全称命题，②为全称命题.3.下列语句中，全称命题有,存在性命题有.填序号①有一个实数a,a不能取对数；②所有不等式的解集都满足CR;③三角函数都是周期函数吗?④有的向量方向不定；⑤自然数的平方是正数.②⑤①④因为①④中含有存在量词，所以命题①④为存在性命题；因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”,所以含有全称量词，故为全称命题；③不是命题.综上所述，①④为存在性命题，②⑤为全称命题，③不是命题..下列命题中为全称命题的是.过直线外一点有一条直线和已知直线平行.矩形都有外接圆.存在一个实数与它的相反数的和为0.0没有倒数命题“矩形都有外接圆”可改写为“每一个矩形都有外接圆”,是全称命题.故选.下列命题中为存在性命题的是),所有的整数都是有理数.三角形的内角和都是180°.有些三角形是等腰三角形.正方形都是菱形,,为全称命题，而含有存在量词“有些”,故为存在性命题..下列命题中，是全称命题且是真命题的是).对任意的,∈R,都有2十2—2—2+20.菱形的两条对角线相等.对数函数在定义域上是单调函数中的命题是全称命题，但2+2-2-2+2=-1)2+-1)₂≥0,故是假命题；中的命题是全称命题，但是假命题；中的命题是全称命题，但√z=,故是假命题；很明显中的命题是全称命题且是真命题，故选.下列存在性命题中，假命题的个数是)②有些三角函数的周期是π;③存在∈R,使函数的最小值为2使2”是真命题；三角函数)=2的周期为π,故②为真命题；得2+2=1,即2=—1,此方程无实数解，所故③是假命题.所以假命题的个数为18.下列命题中的假命题是)三、解答题.判断下列命题是否为全称命题或存在性命题，若是，用符号表示，并判断其真假.1存在一条直线，其斜率不存在；[解]1是存在性命题，用符号表示为“3直线,的斜率不存在”,是真命题.2是全称命题，用符号表示为“V是存在性命题，用符号表示为“3∈R,是假命题.和”都是真命题，求实数的取值范围.当∈[1,2]时恒成立，∴≤1.[能力提升练]1.下列命题中，是假命题的是).Vφ∈R,函数)=十φ)都不是偶函数减，故中的命题为真命题；∵=)2+的值域∴V>0,方程)有零点，故中的命题为真命题；当,β=2π时，β成立，故中的命题为真命题；当时，二为偶函数，故中的命题为假命题，]2.已知对V0≤十-恒成立，则的取值范围为[-0,2]V>0,=+-≥2(当且仅当=-时等号成立),所而对V0≤十一恒成立，所以≤2.]课时分层作业(三)“且”与“或”基础达标练]一、填空题2.已知命题：“一次函数的图象是一条直线”,命题：“函数=2十十的图象是一条抛物线”,则下列四种形式的命题：①;②;③V;④A中，真命题是∴①、③是真命题.]在区间(0,+0)上是减函数，若命题“V”为真，命题“A”为假，则实数的取值范围是<2.]二、选择题,要同时不等于0,才有≠0.B中包括≠0,=0;=0,≠0和≠0,≠0.下列命题是真命题的是()虽然：>是假命题，但：是真命题，所以V是真命题.称轴，命题为假命题，故A为假.故选7.下列命题：①2>1或1;③周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等；④集合n是集合的子集，且是U的子集.其中真命题有前三个命题是“V”形式，第四个是“A”形式，根据真值表判断方法知命题③中两个简单命题均为假命题，故命题③是假命题.的一个点，是使“A”为真命题的点即为直线=2一与抛物线=—2的交点.9.判断下列复合命题的真假.2不等式2-2+1>的解集为且不等式2-2+2≤1的解集为解1这个命题是“且”形式的复合命题，其中:等腰三角形顶角的平分线平分底边，:等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为真真，则“且”为真，所以该命题是真命题.2这个命题是“且”形式的复合命题，其中:不等式2-2+1>的解集为,:不等式2-2+2≤1的解集为0.因为假假，所以“且”为假，故该命题为假命题。以函数)的图象开口向上且与轴没有交点，故△=2-1<0,1若真假，贝此不等式组无解.能力提升练1.下列各组命题中，满足“V”为真，“A”为假的是)由已知条件知命题与命题中应该有一个为真，一个为假.上为增函数，若“且”为假，“或”为真，则实数的取值范围为以实数的取值范围当“假真”时，无解.所课时分层作业(建议用时：40分钟基础达标练+4≠0”的否定是3∈R,-+4=0全称命题的否定为存在性命题..命题“若=0,则,,中至少有一个为零”的否定为个为零”的否定为“,,全不为零”.“绨”都是假命题，则的值组成的集合为都是假命题，所以为真命题，为假命题，故得∈{一0的是(满足>,显然2>2不成立，因此为假命题.则A绨为真命题..已知命题：|-1|≥2,命题：∈Z,若“且”与“非”同时为假命题，则满足条件的为由题意知真，假，∴-1|<2,∴-1<<3且∈Z,∴=12.设∈Z,集合是奇数集，集合是偶数集.若命题:V∈2∈,则全称命题:V∈2∈的否定是把量词“V”改为“3”,并对结论进行否定，,已知命题:函数=一-2是减函数，若绨为真，则实数的取值范围是由=一-2是减函数知-21所以2所以当绨为真时，为假，所以≥2,故选若2十2=,则实数,全为零.3命题的否定：面积相等的三角形不都是全等三角形.从而命题为假命题时，∴命题为真命题，为假命题时，[能力提升练])≤”的否定形式是)(全称命题的否定是存在性命题，“)∈N且)≤”的否定为“)4N或]>”.]<0”是假命题，则实数的取值范围为即对应的判别式△=—1)2—4≤0,即-1)2≤4,课时分层作业五)推出与充分条件、必要条件基础达标练]1.在平面直角坐标系中，直线十+1)=2—与直线+2=-8互相垂直的的充分不必要条件，则实数的取值范围是如图所示，贝解得≥3.].02]由已知易得|2-2-30手<-1或+1,又|2-2-30=.设∈R,则“3>8”是“||>2”的),充分而不必要条件,必要而不充分条件,充要条件.既不充分也不必要条件由3>8→>2→|>2,反之不成立，故“3>8”是“I|>2”的充分不必要条件..下列“若,则”形式的命题中，是的充分条件的命题个数为)①若)是周期函数，则)=是的充分条件；③中，当一=0时，=或=—,所以③中不是的充分条件.所以是的充分条件的命题的个数为,故选.充分而不必要条件.必要而不充分条件.充分必要条件.既不充分也不必要条件.已知平面α,直线,满足Ga,cα,则“//”是“//α”的).充分不必要条件.必要不充分条件∵若4a,cα,且//,则一定有//α,但若4a,cα,且//α,则与有可能异面，∴“//”是“//α”的充分不必要条件.因为函数)过点,所以函数)有且只有一个零点→函数=一十≤0)没有零点→函数=的图象≤0)与直线=无公共点.由数形结合图略)可知≤0或证明充分性：若≥0,则有=0和>0两种情况，综上，可知“|+|=|I+||”的充要条件是“≥0”.件，求实数的取值范围.解得—2≤≤10,结合数轴解得0<≤3.即的取值范围是(03.能力提升练.充分不必要条件.必要不充分条件.充要条件.既不充分也不必要条件上恰有三个点到直线-√3+3=0的距离为1.故若03则圆上至多有两个点到直线-√3+3=0的距离为1;反之也成立.故选2.给出如下三个命题：①“22”是“”的充要条件；②在△中，“∠>60°”是的充要条件；其中正确的命题是2>2,当<0时，此时<,此时2<2,所以“2>2”是“>”的既不充分也不必要条件，故命题①错误；在△中，∠=150°时，故命题②错误；若绨是绨的充分不必要条件，即是的充分不必要条件.由:—I≤≤4,所以由一元二次方程根的分布可得，(-1)2-6×(一1)+一2≤0,解得≤-4或≥4.故正确的命题是③.]课时分层作业(六)命题的四种形式(建议用时：40分钟)[基础达标练]1.已知命题“若-1<<+1,则1<<2”的逆命题为真命题，则实数的取值范围是[12][由已知，得原命题的逆命题为“若1<<2成立，则-1<<+1”为真命题，2.给出以下命题：①“若十=0,则,互为相反数”的逆命题；③“若≤一,则2十—6>0”的否命题.其中真命题的个数为2>2”是假命题，故命题②是假命题；命题③为“若>-,则2+-6≤0”,由z+-6≤0,①若0则方程2+2—=0有实数根；②“若十≠8,则≠2或≠6”;④否命题：“若≠0,则,都不为零”是真命题..命题“,∈R,若2十2=0,则==0”的逆否命题是.,∈R,若≠≠0,则2+2=0.,∈R,若=≠0,则2十2≠0,∈R,若≠0且≠0,则2+2≠0.,∈R,若≠0或≠0,则2十2≠0.命题“若一个数是负数，则这个数的平方是正数”的逆.若一个数是负数，则这个数的平方不是正数原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则这个数是负数.故选6.已知命题“若,,成等比数列，则2=”,在它的逆命题、否命题、逆否命题所以逆否命题也是错误的；逆命题为“设,,∈R,若2>2,则>”,它是正确的；个.故选(1)“若十=0,则,互为相反数”的否命题；(2)“若>,则2>2”的逆否命题；(3)“若≤3,则2——6>0”的否命题；真反数，则十=0”,为真命题.假原命题与其逆否命题具有相同的真假性，而原命题为假命题(如=0,=—1),故其逆否命题为假命题.假该命题的否命题为“若>3,则2—-6≤0”,很明显为假命题.假三、解答题解逆命题：已知(),()是定义在R上的函数，若函数()=()·()是偶函数，则函数(),()都是奇函数.该命题是假命题.因为函数(),()有可能都是偶函上的函数(),()不都是奇函数，则函数()=()·()不是偶函数.该命题是假命题.逆否命题：已知(),()是定义在R上的函数，若函数()=()·()不是偶函数，则函数(),()不都是奇函数，该命题是真命题.10.已知函数()在(-,十一)上是增函数，,∈R,对命题“若十≥0,则()解(1)逆命题：若()+()≥(一)+(一),则十≥0.为真命题.∵()在(—0,十一)上为增函数，)十)<一)十一).这与题设相矛盾，∴逆命题为真命题.逆否命题：若)十)<一)十一),则十0为真命题.∵一个命题→它的逆否命题，可证明原命题为真命题.又∵)在一0,十一)上是增函数，∴原命题为真命题.∴逆否命题为真命题.能力提升练1.命题“若△有一个内角为,则△的三个内角成等差数列”的逆命题).与原命题同为假命题.与原命题的否命题同为假命题.与原命题的逆否命题同为假命题,与原命题同为真命题有一个内角为,它是真命题.故选.给出下列命题：①命题“在△中，若==,则△为等边三角形”的逆命题；③命题“若>1,则一+1)十一K0的解集为R”的逆命题.其中真命题的序号为①②①命题“在△中，若==,则△为等边三角形”的逆命题为“若△命题，故其逆否命题也为真命题；③“若>1,则一+1)十一)的解集为<0的解集为故逆命题为假命题.课时分层作业七曲线与方程的概念建议用时：分钟基础达标练]一、填空题.观察下列表格中的三组方程与曲线，说出它们之间的关系：序号方程曲线答案]曲线是方程所表示的曲线的一部分方程所表示的曲线是图中曲线的一部分方程是曲线的方程.给出下列结论：①方程=表示斜率为,在轴上的截距为一的直线；②到论的序号是③,方程一十一=表示,一,两个点，所以③正确，故填③.]曲线上.已知坐标满足方程,=0的点都在曲线上，那么.曲线上的点的坐标都适合方程，=0.凡坐标不适合,=0的点都不在上.不在上的点的坐标必不适合,=0成的图形的面积.解由=√4-,得十=4∴方程=√4-表示的曲线是以原点为圆心，为半径的右半圆.从而该曲线与轴围成的图形是半圆，所以，所求图形的面积为π.证明与两条坐标轴的距离的积是常数的点的轨迹方程是=士证明①如图，设,是轨迹上的任意一点.正是点到纵轴、横轴的距离，因此点到这两条直线的距离的积是常数，点是曲线上的点，由①②可知，=士是与两条坐标轴的距离的积为常数的点的轨迹方程.能力提升练.不在直线上，但在曲线上.下列说法正确的是.填序号①若点,的坐标是方程,=的解③若点，在曲线上，则点的坐标满足方程，=;④若点,在曲线上，则点的坐标不一定满足方程,=课时分层作业(八)由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质(建议用时：0分钟)基础达标练一、填空题即方程表示一个点(10),即动点的轨迹的方程为0,≠±1)..在直角坐标平面中，过定点(01的直线与圆十=交于，又因为⊥,又因为⊥,所●,所●,的方向向量1二、选择题.恒过定点(一).恒过定点(),恒过点(一和点().都是平行直线把点(一和点(方程，而不一定适合方程，故选.一个圆.两条线段方程可化为即它表示点故选.平面直角坐标系中，已知两点,若点满足=λ十λ为=.已知成等差数列，则在平面直角坐标系中，点,的轨迹为.设过点,的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于,两点，点与点→关于轴对称，为坐标原点，若=且·=,则点的轨迹方程是三、解答题一解设点的坐标为,),点的坐标为，)。≠0),则点的坐标为0)解法一：直接法)所以点的轨迹方程是去掉原点).法二：定义法)径的圆上，故点的轨迹方程为去掉原点.法三：代入法设，,,,由题意，所以即点的轨迹方程为去掉原点.能力提升练所围成的图形的面积等于所以，动点的轨迹是圆心为,半径为的圆，此圆的面积为π.已知动点到点的距离是到点的距离的倍，则动点的轨迹方程是课时分层作业建议用时：0分钟基础达标练]一、填空题1.下列命题是真命题的是将所有真命题的序号都填上.的距离之和等于点到定点一0的距离之和，则点的轨迹为椭圆.,;③到定点一，0,则椭圆的方程为一十-=1设椭圆方程为十=1>0,>0,且≠∵椭圆经过点,,则①②两式联立，解∴所求椭圆方程为一十-=1.].在平面直角坐标系中，已知△的顶点一和,0顶点在椭圆一十二、选择题=1的长轴在轴上.若焦距为,则等于将椭圆的方程转化成标准形式题意.大值是.已知椭圆过点和点则此椭圆的标准方程是,以上都不对设椭圆方程为十=>由题意.若直线一十=经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为.以上答案都不对直线与坐标轴的交点为(1)(-2,)∴z=,所求椭圆标准方程为-+-=1.三、解答题.求适合下列条件的椭圆的方程.(1)焦点在轴上，且经过点(2和解(1)∵椭圆焦点在轴上，∴设椭圆的标准方程∵椭圆经过(2(2)∵椭圆的焦点在轴上，∴设它的标准方程∵到离它较近的一个焦点的距离为2,∴椭圆的标准方程为+—由于动圆与已知圆相内切，设切点为∴已知圆大圆半径与动圆小圆半径之差等于两圆心的距离，即根据椭圆的定义知的轨迹是以点—2和点能力提升练l。成等差数列，则椭圆的方程为一+-=设椭圆的标准方程+-=由点2√在椭圆上知-+-=又|,12,I,I=2,即2=2×2,重又2=2—2,故椭圆方程的面积为∵,,为椭圆焦点，∴₂=2.∵是椭圆上一点，①①②②一、填空题基础达标练经过点,=2.已知椭圆的长轴长为2,离心率为一，则该椭圆的标准方程为—+-=或—+—=由条件知，2=2,-=-,∴=,=,=,3.已知,是椭圆的两个焦点，满足·=0的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是以0√,故离心率的取值范围二、选择题,已知椭圆一十-=0的左焦点为一0则等于.已知椭圆的短轴长为，离心率为一，则椭圆的焦点到长轴的一个端点的距离为或.以上都不对或∴椭圆的焦点到长轴的一个端点的距离为十c=或一c=31.如图所示，底面直径为d的圆柱被与底面成30°角的平面所截，31.长轴长相等.短轴长相等.焦距相等.离心率相等 一十一=一十=∴椭圆的方程为一十一=故选三、解答题.已知椭圆十十=的离心率求的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.∴椭圆的标准方程为两焦点坐标为,四个顶点坐标分别为;,,求椭圆离心率的范围；解设椭圆方程,2证明：由知2,即△的面积只与短轴长有关.能力提升练0的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若∠=60°,则椭圆的离心率为12由题意知点的坐标因为∠=60°,那,2.已知椭圆2十2=的离心率则实数的取值范围是椭圆标准方程为解得>-;当.如果椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，短轴的一端点与两焦点的连线组成一个由△为正三角形，∴椭圆的方程是一十-=的左、右焦点，点在椭圆上，的中点，则椭圆的离心率为√由题意知垂直平分。重。重.如图，已知椭圆一+-=1(0)、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶(若=.=3,求椭圆的方程.则△为等腰直角三角形，由①②解得=1,=3,所以椭圆方程为一十一=课时分层作业十一椭圆的几何性质二基础达标练√联立直线与椭圆方程→易知点是椭圆的右焦点.∵椭圆右顶点到右焦点的距离最小，,为焦点且经过点,则椭圆的离心率的最大值为,该点在椭圆内部，因此直线与椭圆相的交点个数为(围是[一,一,那么直线斜率的取值范围是(二+.若椭圆十=1与直线十—1=交于,两点，过原点与线段的中点的直线的斜率则的值为.椭圆十=1的离心率),若直线=与其个交点的横坐标为,则的值为因为椭圆的离心率,所以,即选三、解答题.已知中心在原点，焦点在所以椭圆方程设为十=轴上的椭圆的离心率1’为其焦点，一直线过点的最大面积为√,求椭圆的方程.十由根与系数的关系△所以，所求椭圆方程-2=1(2)若椭圆的离心率求椭圆长轴长的取值范围.解(1)证明：椭圆的方程可化为=则∴2—2=22(一2),即能力提升练则椭圆的长轴长为())(+)=,整理得十=,即-+-=2.已知椭则以点(一动中点的弦所在直线方程为()重设弦的两端点为,,,2’代入椭圆两式相减整理得∴.弦所在的直线的斜率为²,其方程为-2=²+,整理得2一十=故选的中点，则椭圆作斜率为一z的直线与椭圆的离心率为+,=2,十=2,点的横坐标的取值范围是则=+√,解得,∴,直线与求椭圆的标准方程；故椭圆的标准方程为+-=则,整理得4十一一=0课时分层作业十二双曲线的标准方程建议用时：0分钟基础达标练一、填空题的左焦点，点是双曲线右支上最小值为2倍，点在线段上，则△的周长为又∵在线段上，且所在直线过双曲线的右焦点，由双曲线定义 ∴焦距=迹分别是.双曲线和一条直线.双曲线和一条射线.双曲线的一支和一条直线.双曲线的一支和一条射线,故点的轨迹为双曲线的一支；当.下列各选项中，与———=共焦点的双曲线是法一：因为所求曲线为双曲线，所以可排除选项,;又双曲线———=的焦点在轴上，所以排除选项A-—-A=,2则双曲线的标准方程为依题意可设双曲线方程则故双曲线标准方程的两直线相交于点，则点的轨迹方程为=—==2=2,所以曲线为双曲线的右支且不能与轴相交，=,三、解答题试就的不同取值讨论方程所表示的曲线类型.当时，方程变表示焦点在轴上的双曲线；当时，方程变为一+—=,表示焦点在轴上的椭圆；当时，方程变为一十一=,表示焦点在轴上的椭圆.,根据下列条件，求双曲线的标准方程.解设双曲线方程为十=<解∴双曲线的方程为一--=法一：依题意可设双曲线方程为一——=>,>事依题设解事∴所求双曲线的标准方程为一—=∵双曲线经过点一，∴所求双曲线的标准方程是一—=能力提升练,若双曲线一——=上的一点到它的右焦点的距离为,则点到它的左焦点的距离是则△的面积等于)可解又由=可得△是直角三角形，3.设双曲线与椭圆一一)则此双曲线的方程为—一一=法一：椭圆一的焦点坐标是,±3),根据双曲线的定义，知=I√√)+-√√)+|=,故=又=-=,故所求双曲线的方程为---=,)则,如图所示，设双曲线的右焦点为,连接,.已知双曲线过点,-2且与椭圆42十2=有相同的焦点.重重故设双曲线方程,贝解所以双曲线的标准方程所以点在双曲线的右支上，课时分层作业十三双曲线的几何性质基础达标练一、填空题 √椭圆的焦点是,4,—4,∴双曲线的离心率等∴双曲线的方程与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积是4√由题意得2=,2=,所以=2,故24.若双曲的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为().已知0椭圆的方程双曲线的方程,与,的离心率之积则的渐近线方程为()又∵2=2+?,?=2+2,直线与的两条渐近线的交点分别为,若△为直角三角形，则=()因为双曲的渐近线方程为,所以∠=60°.不妨设过点的直线与直线交于点,由△为直角三角形，不妨设∠=90°,则∠=60°,所以所以即一+?<0.即=2+2?,三、解答题两点，试问、两点是否位于双曲线的同一支上?并求弦的长.解双曲线方程可化∴(2,)又的斜率为1代入双曲线方程，得22+4一=设(,)、(,),∵·=-2<,∴、两点不位于双曲线的同一支上.即(-)2+(一)2=11’事事事,代入(一22+(一22=,得3×(22+3(22=,整理能力提升练.已知双曲线的右焦点为圆心的圆(一2+2=2与它的渐近线相切，则双曲线的焦距为(的左、右焦点，双曲线上存在一点使得不妨设为双曲线右支上一点，|=,故2—2=2设此双曲线方程为2-2=2(,则它的渐近线方程为=±,焦点坐标∴此双曲线的方程为2—2=2线的距离与点一到直线的距离之和≥5,则双曲线的离心率的取值范围为,,的取值范围故5.若双曲线求的取值范围；解故双曲线的方程为2—2=设,,2’2’∵直线与双曲线右支交于,两点，事事事∵点是双曲线上一点，课时分层作业十四抛物线的标准方程建议用时：0分钟基础达标练一、填空题.设为抛物线=的焦点，,,为该抛物线上三点，若十十=0,则十点的横坐标的三倍，即=±4由抛物线方程，可知其准线方程为=一,所以点的纵坐标为4,代入抛物线方程可知横坐标为±4.].抛物线=≠0)的焦点坐标为;准线方程为口向左，焦点坐标准线方程为.故不论0还是0焦点坐标都是准线方程都为二、选择题4.以坐标原点为顶点，直线=为准线的抛物线的标准方程为)由题意可设抛物线的标准方程为=—0)由-=,得=,∴抛物线的标准方程为=-4,故选.].当为任意实数时，直线一)一十十=0恒过定点,则过点的抛物线的标准方程是).=--或=4直线方程可化为十一十=0,得一,经检验.过抛物线=>0)的焦点作直线交抛物线于,),,,)两点，十,探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处.已知灯口直径是0,灯深40,则光源到反光镜顶点的距离是如图建立直角坐标系，设抛物线方程是2=2>0,因为4030在抛物线上，∴302=2×40,事∴光源到反光镜顶点4030在抛物线上，∴302=2×40,的距离2.已知抛物线:2=20的准线与抛物线：2=-2的焦点为，若△的面积等于,则的方程是事事由题意，得不妨设,即抛物线的方程是2=2,故选.已知抛物线的顶点在原点，它的准线的一个焦点，且与轴垂直.又抛物线与此双曲线交于求抛物线和双曲线的方程.解因为交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于轴，所以可设抛物代入方程，得=2,所以抛物线方程为2=4准线方之差2=,所以双曲线的标准方程0如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部设为平顶与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0以抛物线的顶点为原点，其对称轴所在的直线为轴，建立平面直角坐标系如图，求该抛物线的方程；若行车道总宽度为,请计算通过隧道的车辆限制高度为多少精确到解如图所示依题意，设该抛物线的方程为=一>,因为点,一在抛物线上，代入方程解得=-,所以该抛物线的方程为=—所以车辆通过隧道的限制高度为能力提升练如图，抛物线的焦点为(,).为的中点，准线是：作⊥轴于,则是梯形的中位线，即=-十=-=-,故以为直径的圆与轴相切.又点在抛物线的外侧，抛物线的故选=4,则抛物线的方程为2=4如图所示，分别过点,作准线的垂线，交准线于由已知.设是抛物线z=4上的一个动点，为抛物线的焦点.解如图，一的距离等于点到焦点的距离.于是问题转化为在曲线上求一点,使点到点一的距离与点到的距离之和最小.显然，连接，与抛物线的交点即为点,故最课时分层作业十五抛物线的几何性质一基础达标练一、填空题.已知抛物线2=2的焦点为,其准线与双曲线一--=相交于、两点，若△为等边三角形，则=由题意知代入方得=2.已知一条过点2的直线与抛物线2=2交于,两点，且是弦的中点，则直线的方程为—依题意，设点,,,,则有2=2,?=2,两式相减得3.在平面直角坐标系中，有一定点21若线段的垂直平分线过抛物线2=2的焦点，则该抛物线的标准方程是∴抛物线的焦点∴其标准方程是2=.顶点在原点，对称轴是轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是.若双曲的左焦点在抛物线2=2.双曲线的方程可化∴双曲线的左焦点又∵抛物线的准线为重6.过抛物线2=的焦点作直线交抛物线于,、的值为的准线上，则的值为∴由抛物线定义知：.等腰直角三角形内接于抛物线2=2,为抛物线的顶点，l,则Rt△的面积是.已知抛物线2=2的焦点弦的两端点坐标分别为’’,,的值一定等于则=₂=2,∴∴=,=一，∴2=一2,可设的直线方程为则得,抛物线的顶点在原点，以轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为,试求抛物线方程.解依题意可设抛物线方程为z=2则直线方程为=一十一.设直线交抛物线于点,,,过,分别作准线的垂线，垂足为,,则由抛物线定义得=十又,,,是直线和抛物线的交点，∴所求的抛物线方程为=综上所述，抛物线方程为=或=一.已知抛物线=的焦点为，,,,是过的直线与抛物线的两个交点，求证：——十—为定值；以为直径的圆与抛物线的准线相切.证明由已知得抛物线焦点坐标由题意可设直线方程为=十一，代入=,由,是方程的两个实数根，所以=一因为代入上式，足足则所以以为直径的圆与抛物线的准线相切.能力提升练得抛物线的焦点坐标为(20)直线的方程为=-(-2),得点的坐标2法一：由题意知抛物线的焦点为(10)则过的焦点且斜率为的直线方程为=,,→事事=法二：设抛物线的焦点为,(,),(,),则所以一=4(一),则取的中点'(,),分别过点,于轴，且。=1,所以+=,所以=4.平面上一机器人在行进中始终保持与点(10的距离和到直线=-1的距离相等，若机器人接触不到过点(—1,0)且斜率为的直线，则的取值范围是由题意可知机器人的轨迹为抛物线，其轨迹方程为=4,(1)若直线的倾斜角为60°,求的值；又所以直线的方程为联设，,,由抛物线定义知=十=十-十十-=十的横坐标是,又准线方程是=--,课时分层作业十六抛物线的几何性质二建议用时：60分钟基础达标练.已知焦点为的抛物线=的弦的中点的横坐标为,则的最大值为.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为,直线与抛物线相交于,两的最小值是√的直线交抛物线于,两点，点是坐标原点，则|·|此抛物线方程为6.已知抛物线=的弦的中点的横坐标为-,则|的最大值为设当且仅当直线过焦点时，|取得最大值4.]则弦的中点到直线的距离等于)重的距离∴中点到直线重的距离.已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，且与圆十=4相交的公共弦长等设所求抛物线的方程为=≠0),设交点,),,),00)解得=-或=--.故所求抛物线的方程为=或=一三、解答题解1由题意可知抛物线的焦点的坐标为10)得一+1=0,∴十=,由直线过焦=(,),=(,).一一·是一个定值.(2)过点的直线与轨迹相交于不同于坐标原点的两点,,求△面积的最小∴动点的轨迹为抛物线，方程为2=(≥0).(2)设点坐标为(,),点坐标为(,),的面积最小，最小值为2.能力提升练]1.已知抛物线2=上有一条长为6的动弦,则的中点到轴的最短距离为()∴2≥6,,|≥3,故到轴的距离≥2.]设(,),(,),则,+₂=-1,设线段的中点为(,),则事事中点的横坐标为2,则的值(2,十一)设直线的方程为即=2-2,代入抛物线方程2=(2)证明：∠=∠证明：当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以∠=∠直线,的斜率之和为将=-+,=—十及十,的表达式代入①式分子，可得所以十=0,可知,的倾斜角互补，所以∠=∠综上，∠=∠课时分层作业十七)直线与圆锥曲线建议用时：0分钟)基础达标练一、填空题的中点为,1则该双曲线的渐近线方程是:事又=1,,即即双曲线的渐近线方程为：.在直角坐标系中，直线过抛物线2=的焦点,且与该抛物线相交于,两点，其中点在轴上方.若直线的倾斜角为60°,则△的面积为√直线的方程为=√-1),即代入抛物线方程得二、选择题∴梯形的面积为10-2)×8=8.设双曲线的一个焦点为,虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为)设双曲线方程>0,0)如图所示，双曲Y整理得2=解得舍去),故选.已知双曲的右焦点与抛物线=的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于∴双曲线的渐近线方程为∴双曲线的右焦点到其渐近线的距离.已知双曲线的右焦点为,若过点的直线与双曲线右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是的渐近线方程是,右焦点4,过右焦点4分别作两条渐近线的平行线和,如图，由图形可故选知，符合条件的直线的斜率的取值范围故选3与有两个不同的公共点?解将直线方程与双曲线方程联立，要使与无公共点，即方程①无实数根，解得故当或或事事2当一2=0,即,方程①只有一个实数根；当一2≠0,且△0时，方程①有两个不同的实数根，即与有两个不同的公共0已知椭圆,离心率是2,原点与和直线=的交点围成的三的右顶点，求证∠是定值.=1,解得2=,2=,所以椭圆方程为-+-=1,即2+2-12=所以点坐标为2,当直线的斜率不存在时，事=.,1’1’2’2’事事1事综上，能力提升练1.已知双曲线重重所以直线的斜率根据点差法可得,交于,两点，直线，与交于,两点，则|+||的最小值为因为为2=4的焦点，所以1当且仅当即=±1时，取得等号.故选,1’设直线与椭圆的交点为,1’截得的弦长为.设,分别是椭的左、右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为(,)则十的最大值为二—并延长交椭圆于点′,当点位于处时，.已知椭圆的离心率且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线θ十θ一=相切(θ为常数).(求椭圆的标准方程；,,求·的取值范围.→椭圆→椭圆二(2)①若直线的斜率不存在，则可得l轴，方程为=,。。。。②若直线的斜率存在，设直线的方程为=(一)则因课时分层作业十八)空间向量的线性运算基础达标练1.下列命题：一②若将空间中所有的非零的模相等的向量移到以同一个点为起点，则它们的终点构成一③已知空间四边形,则由四条线段,,,分别确定的四个向量之和为零向④不相等的两个空间向量的模必不相等.其中，真命题的序号为①①真命题，向量与是相反向量，长度相等；②假命题，终点应构成一个球面；③假命题，当它们首尾顺次相接时，其和才为零向量；④假命题，不相等的两个向量的模可以相等.二;④若空间向量,中向量与的方向不一定相同，故②错；.在平行六面体!中，与向量的模相等的向量有(;A₁ABD根据空间向量的加法法则以及正方体的性质逐一进行判断：→一一→一所以，所给个式子的运算结果都是C.在正方体BCDBCD中，下列各式中运算结果为BD的是(—B一一B一一一DA4ACBB一④(BD一十DD=BD+DD.设三棱锥-BC中，=,B,G,是△BQ的重心，则等于(D如图所示，.已知长方体-11′,化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：_解 1+1+11.如图所示，在平行六面体中，二=,是的中点，点是,上的点，且=4:1.用,表示以下向量：1M点，若=,=,则下列向量中与相等的向量是A₁B₁=一一十一十故选二十二用向量，A一BEF.GCD课时分层作业十九空间向量的基本定理基础达标练].下列命题是真命题的是填序号①若，,,在一条直线上，则与是共线向量；②若，,,不在一直线上，则与不是共线向量；一条直线上，则,的方向不确定，不能判断与是否为共线向量；③为假命题，因为,两个向量所在的直线可能没有公共点，所以,,,四点不一定在一条直线上；④为真命题，因为,两个向量所在的直线有 一.已知空间的一个基阿底,,,=一十，=十十，若与共线，则二于是解.如图，点为的中点，,,为空间的一个基底，.下列命题中正确的个数是),不共面，那么对于空间任意一个向量存在有序实数组,,④若,是两个不共线的向量，而=λ+μλ,μ∈R且λμ≠0),则,,,构成空间的一个基底.①中当=0时，与不一定共线，故①错误；②中,,共面时，它们所在的直线平行于同一平面不一定在同一平面内，故②错误；③正确；成空间的另一个基底的是)∴与,不共面，故,,可作为空间的一个基底，故选.如图所示，空间四边形中，=,=,一0EGB十一一一一→十一,试判断,BC能否作为空间的一个基底.由向量共面的充要条件知，存在实数，,使得=+B成立，所以,,不共面，所此方程组无解.所所以,B不共面.故,BC能作为空间的一个基底.A'A'QcMD'PAMDBkC1.如图所示，在平行六面体BCD′B'C′D′BG二一十二一十二十-=-十-十-能力提升练如图，空间四边形中，点为△的重心，,,分别为AHFc∴=十=十=从而十一十-二.在平行六面体中，=设==,试用，A₁MAD₁BC=—-十-十-(建议用时：40分钟)基础达标练一、填空题2.设向量a与b互相垂直，向量c与它们构成的角都是60°,且|a|=5,|b|=3,|c2|a|2+9|c||bcos60°-6|a||c|cos60°=-62;(2a+b-3c)2=4a2+b212a·c-6b·c=4|a|2+|b|3.如图所示，四面体的每条棱长都等于2,点,分别为故二、选择题4.若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则a与b的夹角为()又〈,〉∈[0°,180°],.在棱长为1的正方体,中，下列结论不正确的是()选项均正确.]6.如图所示，空间四边形的各边和对角线长均相等，是的中点，那么()的夹角为60°,则-.+.-.)=_¹<0,故选].已知,是异面直线，且⊥,,₂分别为取自直线,上的单位向量，且=.已知a,b是异面直线，,B∈a,C,D∈b,Qb,BD⊥b,与b所成的角是()一一一一一一一一→=GCD+CD+D一∴a与b所成的角是60°.]9.如图所示，在四棱锥-BCD中，⊥平面BCDBBC,PAccBB一=B=|B=1,又∵|B=√2,|CD|=√2,所成的角为60°0已知空间四边形中，∠=∠=∠求证：⊥设∠=∠=∠=θ,=-(a·cos.在棱长为的正方体所成角的余弦值为()如图，由图知直线与能力提升练中，,分别是的中点，那么直线与十=所成角等于〈,).十=2.如图所