江苏省镇江市丹阳市华南实验教育集团2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024-2025学年江苏省镇江市丹阳市华南实验教育集团九年级（上）期中数学试卷一．选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共计30分，在每小题所给出的四个选项中恰有一项符合题目要求．）1．（3分）一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根的情况是（）A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根2．（3分）如图，点A，B，C都在⊙O上，∠AOB＝130°，则∠ACB的大小是（）A．50° B．55° C．60° D．65°3．（3分）用配方法解方程x2+8x+7＝0，则配方正确的是（）A．（x+4）2＝9 B．（x﹣4）2＝9 C．（x﹣8）2＝16 D．（x+8）2＝574．（3分）如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（）A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C． D．AC2＝AD•AB5．（3分）黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点B是线段AC的黄金分割点，AB＞BC，若AC＝16cm，那么AB的长为（）cm．A． B． C． D．6．（3分）如图，点B、C、D在⊙O上，∠ADB＝30°，A是的中点，若OB＝1，则的长是（）A． B． C． D．2π7．（3分）如图，在直角坐标系中，△OCD的顶点为O（0，0），C（﹣4，﹣3），D（﹣3，0），以点O为位似中心，在第一象限内作△OCD的位似图形△OAB，位似比为1：3，则点A坐标为（）A．（9，9） B．（12，9） C．（9，12） D．（12，12）8．（3分）如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面AB垂直放置，其中AB与“0”刻度线重合，O点落在“3”刻度线上，CD与“5”刻度线重合，若测得AB＝50cm，则CD的长是（）A．30cm B． C．20cm D．9．（3分）已知线段a，b，c，求作线段x，使，下列作图中正确的是（）A． B． C． D．10．（3分）我们知道，除三角形外，其他多边形都不具有稳定性．如图，将正五边形OABCD的边AB固定，向右推动该正五边形，使得O为AD的中点，且点A，B，C，D在以点O为圆心的圆上，过点C作⊙O的切线EF，则∠BCF的度数为（）A．18° B．30° C．36° D．54°二.填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．）11．（3分）如果4a＝5b，那么＝．12．（3分）设a是方程2x2+x﹣1＝0的一个根，则3﹣4a2﹣2a的值为．13．（3分）已知圆锥的底面半径为2cm，母线长是4cm，则圆锥的侧面积是cm2（结果保留π）．14．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点．若∠BCE＝110°，则∠BOD的度数为．15．（3分）整式a2+b2﹣8a﹣2b+5的最小值为．16．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点P在BA的延长线上，PA＝AB，点D在BC边上，PD＝PC，则的值是．三、解答题（本大题共有10小题，共计72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（8分）解方程：（1）5x2﹣3x＝x+1．（2）3x（x﹣2）＝2（2﹣x）．18．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+2m﹣7＝0．（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根（2）已知方程的一个根为x＝2，求m值及方程的另一根．19．（6分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）若AD＝2DB，AE＝4，AC＝9，求BD的长．20．（6分）如图，在坐标系中，A（1，6）、B（5，6）、C（7，4）．（1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为；（2）这个圆的半径为；（3）直接判断点D（5，﹣3）与⊙M的位置关系．点D（5，﹣3）在⊙M．（填内、外、上）21．（6分）智慧养老，让老年人享受数字经济红利．近年来，智慧养老成为老龄事业与产业发展的方向之一，广东省正致力于打造智慧养老的新标杆，为老年人提供更加贴心、高效的养老服务，同时为数字经济的发展注入新活力．某养老服务机构8月份为800名老人提供服务，10月份为1352名老人提供服务，求该机构9、10月份服务老人人数的月平均增长率．22．（6分）学完图形变换后，小宛以“正五边形的变换”为主题开展探究活动：（1）如图1，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B，折痕为AF，求∠AFB的大小．（2）如图2，用一些全等的正五边形按图示方式拼接，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为24°，图中所示的是前3个正五边形拼接的情况，若拼接一圈后，中间能形成一个正多边形，请直接写出这个正多边形的边数．23．（8分）在Rt△AFD中，∠F＝90°，点B、C分别在AD、FD上，以AB为直径的半圆O过点C，连接AC，将△AFC沿AC翻折得△AEC，且点E恰好落在直径AB上．（1）判断：直线FC与半圆O的位置关系是；并证明你的结论．（2）若OB＝BD＝2，求CE的长．24．（8分）如何利用闲置纸板箱制作储物盒准备素材小明收集到闲置纸板箱如图①所示．将其拆解出的如图②和图③两种矩形纸板，两种纸板的长和宽如图所示．设计方案小明分别将图②和图③两种矩形纸板以不同的方式制作储物盒．图②矩形纸板的制作方式图③矩形纸板的制作方式如图④，裁去纸板角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒．如图⑤，将纸板四个角裁去4个相同的小矩形，折成一个有盖的长方体储物盒．目标达成小明利用两种不同的制作方式进一步探究．初步应用小明按照矩形纸板②的制作方式，制作了如图④所示的储物盒的底面积是816cm2，求这个储物盒的容积．储物收纳小明按照矩形纸板③的制作方式，制作了如图⑤所示储物盒，若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为800cm2．小明家里一个玩具攀爬小火车的实物图和尺寸大小如图⑥所示，通过计算判断这个玩具能否完全放入该储物盒．25．（9分）如图，已知∠PAQ及AP边上一点C．（1）尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法）①作⊙O，使得圆心O在射线AQ上，且⊙O经过A、C两点，交射线AQ于点B；②在射线CP上求作点M，使点M到点C的距离与点M到射线AQ的距离相等；（2）在（1）的条件下，若AC＝4，AB＝5，直接写出OM的长＝．26．（9分）“关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很多…【问题提出】（1）如图①，PC是△PAB的角平分线，求证：．小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点B作BD∥PA，交PC的延长线于点D，利用“三角形相似”．小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点C分别作CD⊥PA交PA于点D，作CE⊥PB交PB于点E，利用“等面积法”．请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明．【尝试应用】（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上一点，连结CD，将△ACD沿CD所在直线折叠，使点A恰好落在边BC的中点E处．若DE＝5，求AC的长．【拓展提高】（3）如图③，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD为∠BAC的角平分线．AD的垂直平分线EF交BC延长线于点F，连接AF，当BD＝3时，AF的长为．

2024-2025学年江苏省镇江市丹阳市华南实验教育集团九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共计30分，在每小题所给出的四个选项中恰有一项符合题目要求．）1．（3分）一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根的情况是（）A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝8＞0，进而可得出一元二次方程x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．【解答】解：∵a＝1，b＝2，c＝﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，∴一元二次方程x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．2．（3分）如图，点A，B，C都在⊙O上，∠AOB＝130°，则∠ACB的大小是（）A．50° B．55° C．60° D．65°【分析】利用圆周角定理计算即可．【解答】解：∵∠ACB＝∠AOB，∠AOB＝130°，∴∠ACB＝65°．故选：D．【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．（3分）用配方法解方程x2+8x+7＝0，则配方正确的是（）A．（x+4）2＝9 B．（x﹣4）2＝9 C．（x﹣8）2＝16 D．（x+8）2＝57【分析】本题可以用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．【解答】解：∵x2+8x+7＝0，∴x2+8x＝﹣7，⇒x2+8x+16＝﹣7+16，∴（x+4）2＝9．∴故选：A．【点评】此题考查配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．4．（3分）如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（）A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C． D．AC2＝AD•AB【分析】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．【解答】解：A、当∠ACD＝∠B时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；B、当∠ADC＝∠ACB时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；C、当时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意；D、当AC2＝AD•AB时，即，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．5．（3分）黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点B是线段AC的黄金分割点，AB＞BC，若AC＝16cm，那么AB的长为（）cm．A． B． C． D．【分析】根据黄金分割的定义得到AB＝AC，把AC＝16代入计算即可得到答案．【解答】解：∵点B是线段AC的黄金分割点（AB＞BC），∴AB＝AC，∵AC＝16，∴AB＝×16＝8﹣8，故选：C．【点评】本题考查了黄金分割的有关计算，掌握黄金分割的定义是解决本题的关键．6．（3分）如图，点B、C、D在⊙O上，∠ADB＝30°，A是的中点，若OB＝1，则的长是（）A． B． C． D．2π【分析】连接OA，由圆周角定理得∠AOB＝2∠ADB＝60°，由＝，求出∠BCD＝120°，再根据弧长公式计算即可．【解答】解：如图，连接OA，∵∠ADB＝30°，∴∠AOB＝2∠ADB＝60°，∵A是的中点，∴＝，∴∠AOC＝∠AOB＝60°，∴∠BOC＝120°，∴的长为＝π．故选：A．【点评】本题考查弧长的计算和圆周角定理，关键是由圆周角定理得到∠BOC＝120°和熟练掌握弧长公式．7．（3分）如图，在直角坐标系中，△OCD的顶点为O（0，0），C（﹣4，﹣3），D（﹣3，0），以点O为位似中心，在第一象限内作△OCD的位似图形△OAB，位似比为1：3，则点A坐标为（）A．（9，9） B．（12，9） C．（9，12） D．（12，12）【分析】根据位似变换的性质计算即可．【解答】解：以点O为位似中心，在第一象限内作△OCD的位似图形△OAB，位似比为1：3，点C的坐标为（﹣4，﹣3），则点A坐标为（﹣4×（﹣3），（﹣3）×（﹣3）），即（12，9），故选：B．【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．8．（3分）如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面AB垂直放置，其中AB与“0”刻度线重合，O点落在“3”刻度线上，CD与“5”刻度线重合，若测得AB＝50cm，则CD的长是（）A．30cm B． C．20cm D．【分析】证明△COD∽△BOA，根据相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”列式计算即可求解．【解答】解：根据题意得CD∥AB，∴△COD∽△BOA，∴，∵AB＝50cm，∴，故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质．熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键．9．（3分）已知线段a，b，c，求作线段x，使，下列作图中正确的是（）A． B． C． D．【分析】利用图形得比例线段，再与已知式作对比，可以得出结论．【解答】解：A、由图可得，即且x是所求线段，所以图形不能画出，故此选项不符合题意；B、由图可得，即且x是所求线段，所以图形不能画出，故此选项不符合题意；C、由图可得，即，所以图形不能画出，故此选项不符合题意；D、由图可得，即，所以图形能画出，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握比例线段的性质．10．（3分）我们知道，除三角形外，其他多边形都不具有稳定性．如图，将正五边形OABCD的边AB固定，向右推动该正五边形，使得O为AD的中点，且点A，B，C，D在以点O为圆心的圆上，过点C作⊙O的切线EF，则∠BCF的度数为（）A．18° B．30° C．36° D．54°【分析】连接OC，OB，根据正五边形的性质得到∠BOC＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠OBC＝（180°﹣60°）＝60°，根据切线的性质得到∠OCF＝90°，于是得到结论．【解答】解：连接OC，OB，∵五边形OABCD的正五边形，∴AB＝BC＝CD，∴，∵AD是⊙O的直径，∴∠AOB＝∠COD＝∠BOC＝，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC＝（180°﹣60°）＝60°，∵点C作⊙O的切线EF，∴∠OCF＝90°，∴∠BCF＝90°﹣60°＝30°，故选：B．【点评】本题考查了正多边形与圆，切线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，正确地找出辅助线是解题的关键．二.填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．）11．（3分）如果4a＝5b，那么＝．【分析】先根据4a＝5b得到b＝a，再代入所求式子中求解即可．【解答】解：∵4a＝5b，∴，∴．故答案为：．【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．12．（3分）设a是方程2x2+x﹣1＝0的一个根，则3﹣4a2﹣2a的值为1．【分析】由a是方程2x2+x﹣1＝0的一个根，可得出2a2+a＝1，再将其代入原式＝3﹣2（2a2+a）中，即可求出结论．【解答】解：∵a是方程2x2+x﹣1＝0的一个根，∴2a2+a﹣1＝0，∴2a2+a＝1，∴原式＝3﹣2（2a2+a）＝3﹣2×1＝1．故答案为：1．【点评】本题主要考查一元二次方程的根以及代数式求值，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．13．（3分）已知圆锥的底面半径为2cm，母线长是4cm，则圆锥的侧面积是8πcm2（结果保留π）．【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．【解答】解：底面圆的半径为2，则底面周长＝4π，侧面面积＝×4π×4＝8π（cm2）．故答案为：8π．【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．14．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点．若∠BCE＝110°，则∠BOD的度数为140°．【分析】根据邻补角的定义求出∠BCD，再根据圆周角定理计算即可．【解答】解：∵∠BCE＝110°，∴∠BCD＝180°﹣110°＝70°，由圆周角定理得：∠BOD＝2∠BCD＝140°，故答案为：140°．【点评】本题考查的是圆内接四边形，掌握圆周角定理是解题的关键．15．（3分）整式a2+b2﹣8a﹣2b+5的最小值为﹣12．【分析】先分组，然后运用配方法得到（a﹣4）2+（b﹣1）2﹣12，最后利用偶次方的非负性得到最小值．【解答】解：a2+b2﹣8a﹣2b+5，＝a2﹣8a+b2﹣2b+5，＝（a2﹣8a+16）+（b2﹣2b+1）+5﹣17，＝（a﹣4）2+（b﹣1）2﹣12，∵（a﹣4）2≥0，（b﹣1）2≥0，∴当a＝4，b＝1时，原式有最小值，最小值为﹣12．故答案为：﹣12．【点评】本题考查配方法的应用和偶次方的非负性，正确运用该配方法是解答本题的关键．16．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点P在BA的延长线上，PA＝AB，点D在BC边上，PD＝PC，则的值是．【分析】过点P作PE∥AC交DC延长线于点E，根据等腰三角形判定与性质，平行线的性质可证PB＝PE，再证△PCE≌△PDB，可得BD＝CE，再利用平行线分线段成比例的，结合线段的等量关系以及比例的性质即可得出结论．【解答】解：如图，过点P作PE∥AC交DC延长线于点E，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AC∥PE，∴∠ACB＝∠E，∴∠B＝∠E，∴PB＝PE，∵PC＝PD，∴∠PDC＝∠PCD，∴∠BPD＝∠EPC，∴在△PCE和△PDB中，，∴△PCE≌△PDB（SAS），∴BD＝CE，∵AC∥PE，∴，∵PA＝AB，∴，∴，∴．故答案为：．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，以及全等三角形的判定，解决问题的关键是正确作出辅助线，列出比例式．三、解答题（本大题共有10小题，共计72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（8分）解方程：（1）5x2﹣3x＝x+1．（2）3x（x﹣2）＝2（2﹣x）．【分析】（1）先将一元二次根式变为一般形式，然后用公式法解方程即可；（2）先移项，再用因式分解法解方程即可．【解答】解：（1）原方程化为5x2﹣4x﹣1＝0，∵a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）＝36＞0，∴方程有两个不相等的实数根，即x1＝1，；（2）原方程可化为3x（x﹣2）+2（x﹣2）＝0，∴（3x+2）（x﹣2）＝0，∴x1＝2，．【点评】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．18．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+2m﹣7＝0．（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根（2）已知方程的一个根为x＝2，求m值及方程的另一根．【分析】（1）根据题意只需要证明Δ＝m2﹣4（2m﹣7）＞0即可；（2）一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把x＝2代入原方程求出m的值，进而根据根与系数的关系求出另一个根即可．【解答】（1）证明：∵关于x的一元二次方程x2+mx+2m﹣7＝0，∴Δ＝m2﹣4（2m﹣7）＝m2﹣8m+28＝（m2﹣8m+16）+12＝（m﹣4）2+12，∵（m﹣4）2≥0，∴（m﹣4）2+12＞0，∴该方程总有两个不相等的实数根；（2）解：把x＝2代入x2+mx+2m﹣7＝0得：22+2m+2m﹣7＝0，解得，∴原方程为，设另一个根为x1，∴，∴，即另一个根为．【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的解的定义．19．（6分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）若AD＝2DB，AE＝4，AC＝9，求BD的长．【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出证．（2）设BD＝x，则AD＝2x，AB＝3x，根据相似三角形的性质可知＝，从而列出方程解出x的值．【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB；（2）解：由（1）可知：△ADE∽△ACB，∴＝，设BD＝x，则AD＝2x，AB＝3x，∵AE＝4，AC＝9，∴＝，解得：x＝（负值舍去），∴BD的长是．【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．20．（6分）如图，在坐标系中，A（1，6）、B（5，6）、C（7，4）．（1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为（3，2）；（2）这个圆的半径为；（3）直接判断点D（5，﹣3）与⊙M的位置关系．点D（5，﹣3）在⊙M外．（填内、外、上）【分析】（1）AB的垂直平分线所在直线为x＝2，可知圆心M在直线x＝3上，设M（3，m），根据MA＝MC，可求M点坐标；（2）由（1）求出MA＝，即可求圆的半径；（3）根据MD＝2＞，即可判断D点位置．【解答】解：（1）∵A（1，6）、B（5，6），∴AB的垂直平分线所在直线为x＝3，∴圆心M在直线x＝3上，设M（3，m），∴MA＝MC，∴4+（m﹣6）2＝16+（m﹣4）2，解得m＝2，∴M（3，2），故答案为：（3，2）；（2）∵M（3，2），∴MA＝，故答案为：；（3）∵D（5，﹣3），M（3，2），∴MD＝2＞，∴点D（5，﹣3）在⊙M外，故答案为：外．【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，角平分线的性质是解题的关键．21．（6分）智慧养老，让老年人享受数字经济红利．近年来，智慧养老成为老龄事业与产业发展的方向之一，广东省正致力于打造智慧养老的新标杆，为老年人提供更加贴心、高效的养老服务，同时为数字经济的发展注入新活力．某养老服务机构8月份为800名老人提供服务，10月份为1352名老人提供服务，求该机构9、10月份服务老人人数的月平均增长率．【分析】根据题意列出方程，解方程，即可求解．【解答】解：设该机构两个月平均增长率为x．根据题意得：（1+x）2＝，解得x1＝0.3，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．答：该机构9、10月份服务老人人数的月平均增长率为30%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是关键．22．（6分）学完图形变换后，小宛以“正五边形的变换”为主题开展探究活动：（1）如图1，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B，折痕为AF，求∠AFB的大小．（2）如图2，用一些全等的正五边形按图示方式拼接，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为24°，图中所示的是前3个正五边形拼接的情况，若拼接一圈后，中间能形成一个正多边形，请直接写出这个正多边形的边数．【分析】（1）根据正五边形的性质，翻折的性质以及三角形内角和定理进行计算即可；（2）根据拼图和周角的定义求出正多边形的一个内角的度数，进而求出外角的度数，再根据外角和是360°确定正多边形的边数．【解答】解：（1）如图1，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BAE＝∠B＝＝108°，由题意可知，AM所在的直线是正五边形的对称轴，∴∠BAM＝∠EAM＝∠BAE＝54°，由翻折的性质可知，∠BAF＝∠B′AF＝∠BAM＝27°，∴∠AFB＝180°﹣108°﹣27°＝45°；（2）由题意可知，所得到的正多边形的一个内角的度数为360°﹣108°﹣108°﹣24°＝120°，则这个正多边形的外角为180°﹣120°＝60°，所以这个正多边形的边数为＝6，即这个正多边形是正六边形．【点评】本题考查正多边形和圆，翻折的性质，掌握正五边形的性质，翻折的性质以及正多边形的外角和是360°是正确解答的关键．23．（8分）在Rt△AFD中，∠F＝90°，点B、C分别在AD、FD上，以AB为直径的半圆O过点C，连接AC，将△AFC沿AC翻折得△AEC，且点E恰好落在直径AB上．（1）判断：直线FC与半圆O的位置关系是相切；并证明你的结论．（2）若OB＝BD＝2，求CE的长．【分析】（1）根据切线的判定定理证明∠F＝∠OCD＝90°，即可得出FC与⊙O相切；（2）利用∠COD＝60°，得出CE＝OC•sin∠COD进而求出．【解答】解：（1）直线FC与⊙O的位置关系是相切；证明：连接OC∵OA＝OC，∴∠1＝∠2，由翻折得，∠1＝∠3，∠F＝∠AEC＝90°∴∠3＝∠2，∴OC∥AF，∴∠F＝∠OCD＝90°，∴FC与⊙O相切；（2）在Rt△OCD中，cos∠COD＝∴∠COD＝60°，在Rt△OCD中，CE＝OC•sin∠COD＝．【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系以及解直角三角形等知识，切线的判定定理是初中阶段最重要的定理之一同学们应熟练掌握．24．（8分）如何利用闲置纸板箱制作储物盒准备素材小明收集到闲置纸板箱如图①所示．将其拆解出的如图②和图③两种矩形纸板，两种纸板的长和宽如图所示．设计方案小明分别将图②和图③两种矩形纸板以不同的方式制作储物盒．图②矩形纸板的制作方式图③矩形纸板的制作方式如图④，裁去纸板角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒．如图⑤，将纸板四个角裁去4个相同的小矩形，折成一个有盖的长方体储物盒．目标达成小明利用两种不同的制作方式进一步探究．初步应用小明按照矩形纸板②的制作方式，制作了如图④所示的储物盒的底面积是816cm2，求这个储物盒的容积．储物收纳小明按照矩形纸板③的制作方式，制作了如图⑤所示储物盒，若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为800cm2．小明家里一个玩具攀爬小火车的实物图和尺寸大小如图⑥所示，通过计算判断这个玩具能否完全放入该储物盒．【分析】初步应用：设剪去小正方形的边长为xcm，则折成的无盖长方体储物盒的底面为长（50﹣2x）cm，宽为（40﹣2x）cm的矩形，根据储物盒的底面积是816cm2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其符合题意的值代入816x中，即可求出结论；储物收纳：设ME＝ycm，则折成的有盖的长方体储物盒的底面为长（50﹣y）cm，宽为（40﹣2y）cm的矩形，根据储物盒的底面积为800cm2，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值（即折成的有盖的长方体储物盒的高），取其符合题意的值代入（50﹣y）及（40﹣2y）中，可得出折成的有盖的长方体储物盒的长及宽，再对比玩具攀爬小火车的尺寸，即可得出结论．【解答】解：初步应用：设剪去小正方形的边长为xcm，则折成的无盖长方体储物盒的底面为长（50﹣2x）cm，宽为（40﹣2x）cm的矩形，根据题意得：（50﹣2x）（40﹣2x）＝816，整理得：x2﹣45x+296＝0，解得：x1＝8，x2＝37（不符合题意，舍去），∴816x＝816×8＝6528．答：这个储物盒的容积为6528cm3；储物收纳：设ME＝ycm，则折成的有盖的长方体储物盒的底面为长＝（50﹣y）cm，宽为（40﹣2y）cm的矩形，根据题意得：（50﹣y）（40﹣2y）＝800，整理得：y2﹣70y+600＝0，解得：y1＝10，y2＝60（不符合题意，舍去），∴50﹣y＝50﹣10＝40，40﹣2y＝40﹣2×10＝20，∴折成的有盖的长方体储物盒的长为40cm，宽为20cm，高为10cm．又∵40＞35，20＞15，10＜16，∴这个玩具不能完全放入该储物盒．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．25．（9分）如图，已知∠PAQ及AP边上一点C．（1）尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法）①作⊙O，使得圆心O在射线AQ上，且⊙O经过A、C两点，交射线AQ于点B；②在射线CP上求作点M，使点M到点C的距离与点M到射线AQ的距离相等；（2）在（1）的条件下，若AC＝4，AB＝5，直接写出OM的长＝．【分析】（1）作AC的垂直平分线交AQ于点O．（2）作AC的垂直平分线交AQ于点O，以点O为圆心，OC为半径画圆交AQ于点B，作∠CBQ的角平分线交AP于点M，点M即为所求；（3）根据三角形相似是性质和勾股定理求解．【解答】解：（1）①⊙O即为所求；②点M即为所求；（2）过点M作MH⊥AQ于点H，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴BC