江苏省南京市2024−2025学年高二上学期11月期中学情调研测试数学试题含答案

江苏省南京市2024−2025学年高二上学期11月期中学情调研测试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．下列四组数据中，方差最小的是（

）A．5，5，5，5，5，5，5，5 B．4，4，4，5，5，5，6，6C．3，3，4，4，5，6，6，7 D．2，2，2，2，2，5，8，82．已知，则（

）A． B． C． D．3．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．4．两条渐近线互相垂直的双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．5．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．6．底面直径与高相等的圆柱的体积为，则该圆柱的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．7．已知点，若圆上任意一点都满足，则实数（

）A． B． C．2 D．38．抛物线的准线为l，M为上的动点，则点到与到直线的距离之和的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，记“第一枚硬币正面朝上”为事件，“第二枚硬币反面朝上”为事件，则（

）A． B．C．和是互斥事件 D．和是相互独立事件10．在矩形ABCD中，.若，则（

）A．B．C．以CE为直径的圆与直线BF相切D．直线AE与BF的交点在矩形ABCD的外接圆上11．已知椭圆，直线与交于A，B两点，点为上异于A，B的动点，则（

）A．当时， B．C．存在点，使得 D．三、填空题（本大题共3小题）12．若直线与垂直，则实数.13．已知，则.14．历史上最早系统研究圆锥曲线的是古希腊学者梅纳库莫斯，大约100年后，阿波罗尼斯更详尽地研究了圆锥曲线，他的研究涉及圆锥曲线的光学性质，其中一条是：如图（1），从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过左焦点．已知图（2）中，双曲线的中心在坐标原点，左、右焦点分别为，直线平分，过点作的垂线，垂足为，且.则当反射光线经过点时，.四、解答题（本大题共5小题）15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求；(2)若，求的面积.16．已知点在抛物线上，直线经过点，且在轴上的截距为.(1)求的值和直线的方程；(2)记与的另一个交点为，求经过，，三点的圆的方程.17．在四面体PABC中，M，N分别为PC，BC的中点.

(1)证明:平面；(2)若平面，四面体PABC的体积为2，且，求MN与平面PAC所成角的正弦值.18．已知圆，圆，过点作圆的切线，切线的长为2．(1)求圆的方程；(2)直线经过点，且与圆交于A，B两点，，①求的方程和的值；②若动圆与圆外切，且与圆内切，求动圆圆心到点距离的最小值.19．已知椭圆的右顶点为，上顶点为，离心率为.(1)求的方程；(2)直线平行于直线AB，且与交于M，N两点，①P，Q是直线AB上的两点，满足四边形MNPQ为矩形，且该矩形的面积等于，求的方程；②当直线AM，BN斜率存在时，分别将其记为，证明：为定值.

参考答案1．【答案】A【详解】设个数据，的平均数为，则方差为，方差反应一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立.对于A，这组数据都相等，没有波动，故方差为；对于B，这组数据分布比较均匀，波动较小，故方差较小但大于；对于C，这组数据分布比较均匀，波动较小，故方差较小但大于；对于D，这组数据波动较大，故方差较大；故选：A.2．【答案】D【详解】,故选：D.3．【答案】B【分析】根据直线斜率与倾斜角关系即可得到答案.【详解】设直线的倾斜角为，则直线斜率，因为，则，故选：B.4．【答案】B【详解】设双曲线的标准方程为，则渐近线的方程为，由两条渐近线互相垂直，即，即，又双曲线的离心率为，故选：B.5．【答案】C【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以，解得，故选:C.6．【答案】B【详解】

设圆柱的底面直径与高为，则圆柱的体积为，解得，则外接球的直径为，即圆柱的外接球的半径为，则圆柱的外接球的表面积为，故选：B.7．【答案】C【详解】设，因为，所以，则，整理得，，所以，故选:C.8．【答案】D【详解】如图，抛物线的焦点为,根据抛物线的定义可知，点到的距离等于,所以点到与到直线的距离之和即为与到直线的距离之和，由图可知，与到直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离，所以即为所求，故选:D.9．【答案】AD【详解】由题，样本空间为{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，{（正，正），（正，反）}，{（正，反），（反，反）}，所以，A正确；{（正，反）}，所以，则B错误，因为，所以和不是互斥事件，C错误，因为,所以，所以和是相互独立事件，D正确.故选:AD.10．【答案】BCD【详解】

如图，以为坐标原点，方向为轴，建立平面直角坐标系，则,对A，,所以不平行，A错误；对B，,,所以，B正确；对C，的中点为，因为，所以的直线方程为，化为一般式，则点到直线的距离为，又因为,所以,所以以CE为直径的圆与直线BF相切，C正确；对D，因为,所以的直线方程为，联立，解得，所以直线AE与BF的交点为，矩形ABCD的外接圆是以2,1为圆心，为半径的圆，因为点到2,1的距离为，所以直线AE与BF的交点在矩形ABCD的外接圆上，D正确；故选:BCD.11．【答案】ABCD【详解】设，则,所以，因为点在椭圆上，所以，所以，则，时，，代入，解得，此时，A正确；因为为的中点，所以,所以，因为点在椭圆上，所以，所以，所以，因为点在椭圆上，所以，所以，B正确；因为，,所以,所以，所以当时，，因为点为上异于A，B的动点，所以存在点或时，使得，C正确；以下证明，若，则，,所以,所以，因为，所以，设，则，D正确；故选：ABCD.2.本题选项D需使用三角形面积的坐标表示：若，则.12．【答案】【详解】由直线与垂直，则，解得，故答案为：.13．【答案】/【详解】因为，所以，又因为，所以，所以，故答案为：.14．【答案】9【详解】延长交于点，因为直线平分，所以，所以，所以，由角平分线可知，为的中点，又因为为的中点，则由中位线的性质可得，，所以，所以.故答案为：9.15．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，边化角可得，，即，又因为，且，所以，因为，所以.（2）由余弦定理，，所以，即，所以，所以的面积为.16．【答案】(1)，(2)【详解】（1）因为点在抛物线上，所以，解得，所以；因为直线在轴上的截距为，所以设，又因为直线经过点，所以，解得，所以直线的方程为.（2）设，联立，消去可得，，解得，，则，所以，设经过，，三点的圆的方程为，则有，解得，，所以圆方程为.17．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）在中，是的中点，所以,又因为平面,平面,所以平面.（2）

因为，所以，因为平面，且四面体PABC的体积为2，所以，即，所以,所以,过点作的垂线，垂足为，连接，则有，因为平面平面，所以,又因为平面，所以平面，所以为MN与平面PAC所成角，因为平面，所以，在中，由等面积法可知，，所以,则,,,所以即为MN与平面PAC所成角的正弦值.18．【答案】(1)(2)①或；②动圆圆心到点距离的最小值为.【详解】（1）

过点作圆的切线，设切点为,连接，因为,所以,所以圆.（2）显然,直线的斜率存在，设直线的方程为，设圆心到直线的距离为，所以，解得，又因为，整理得，，解得或，所以的方程为或；在中，,所以.设动圆的半径为，则由题意可得，,所以，所以动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右半支，则有，所以双曲线方程为，设动点，则有，所以，所以，由二次函数的性质可知，当时，有最小值，最小值为，所以，此时.19．【答案】(1)(2)①或.②,证明见解析.【详解】（1）由