江苏省盐城市2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题（解析版）

盐城市2025届高三年级第一学期期中考试数学试题注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷；2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分；3.答题前，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.1.已知集合，，则（）A.A B.B C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意可知集合表示点集，而集合A表示数集，即可根据交集的定义求解.详解】由可得,故，故选：C2.已知复数，则（）A.1 B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】依题写出复数的共轭复数，利用复数的乘法计算即得.【详解】.故选：C.3.在△中，“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由，则或和，则，则，可得出答案.【详解】若，则或，即或，所以在△中，“”是“”的不充分条件若，则，则，所以在△中，“”是“”的必要条件.故选：B.【点睛】本题考查充分、必要条件的判断，考查三角函数的诱导公式的应用，属于基础题.4.若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意可得出代入利用诱导公式化简即可得出答案.【详解】由可得：，所以，所以.故选：A.5.已知数列满足，，则的2024项的和为（）A.2024 B.2025 C.2026 D.2027【答案】D【解析】【分析】求出数列的周期，利用数列的周期性求和.【详解】由已知得，，，由此可知数列是周期为的周期数列，由于，则，故选：.6.若实数x，y满足，则的最小值为（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角换元有，即可求其最小值.【详解】由题设，令且，所以，显然的最小值为，当且仅当，即时取最小值.故选：D7.人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为.已知，，若A，B的余弦距离为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题设距离定义及差角余弦公式、已知得，再应用倍角余弦公式求结果.【详解】由题设，，所以，由，所以.故选：B8.已知点O为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题可得，从而得到为直角三角形，由投影向量的概念求解.【详解】因为，所以，即，所以在上，故的外接圆以为圆心，为直径，所以为直角三角形，且，为中点，因为向量在向量上的投影向量为，故,由于为锐角，所以故选：B．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.在正项等比数列中，，，则（）A.数列的首项为B.数列是公比为2的等比数列C.数列是公比为4的等比数列D.数列的前项和为【答案】ACD【解析】【分析】根据等比数列基本量的计算可得公比，即可求解，利用等比数列的定义即可求解BC，由等比求和公式即可求解D.【详解】由正项等比数列中，，，所以公比，因此，对于A，的首项为，A正确，对于B，，因此，因此是公比为4的等比数列，B错误，C正确，对于D，由于是公比为4，首项为的等比数列，故前项和为，D正确，故选：ACD10.下列向量运算，一定正确的有（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】对于A,B,利用向量数量积的运算律和向量模的定义计算即可判断；对于C,D,通过举反例排除即可.【详解】对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，不妨取，则，，则，而，故C错误；对于D,不妨取，则，而，故D错误.故选：AB.11.已知函数，函数，，则（）A.对任意实数x，B.存在实数x，使得C.对任意实数x，y，D.若直线与函数和的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为，，，则.【答案】ABD【解析】【分析】代入化简即可求解ABC，根据函数的单调性可大致判断函数y=fx和y=gx的图象，且y=fx为偶函数，结合图象可判断，且，再解不等式即可判断【详解】,故A正确，若，则，即，只要满足，都有，故B正确，，而，故C错误，令，得，当，单调递增；当，f′x<0，单调递减，所以在处取得极小值1，当，；当，．恒成立，所以在上单调递增，当，；当，．所以、的大致图象如图所示，不妨设，由为偶函数可得，直线与图象有三个交点，显然，令，整理得，解得或（舍去），所以，即，又因为，所以．D正确，故选：ABD第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，计15分.请把答案写在答题纸的指定位置上.12.函数的定义域为______.【答案】【解析】【分析】根据对数式有意义的条件求解.【详解】函数的定义域为，解得，所以该函数的的定义域为0,2.故答案为：0,2.13.已知点C在以为直径的圆上，点D为的中点，若，，则的值为______.【答案】【解析】【分析】利用数量积的运算律及向量间的线性关系得，结合已知求值即可.详解】由，由题意且，则.故答案为：14.设等差数列的前n项和为，已知，，设，则______，数列bn的前n项和为______（用n表示）.【答案】①.②.【解析】【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式求出等差数列的通项，即可求出；利用两角差的正弦公式和叠加法即可求数列bn的前n项和.【详解】设数列的公差为，则，解得，则，所以；，设数列bn的前项和为，，，……将这个式子叠加得.故答案为：；.【点睛】形如这种形式的递推公式可以利用叠加法求数列通项公式.四、解答题：本大题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15.设函数，.（1）若函数为偶函数，求实数k的值；（2）当且时，解不等式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据偶函数的性质可得，即可求解，（2）对的范围分类讨论，即可求解.【小问1详解】由于为偶函数，故，因此对任意的恒成立，故，故，【小问2详解】当时，，则，当时，，则，故此时不等式的解为，当时，，则，故此时不等式的解为，当时，，则，故此时不等式的解为，当时，，则，故此时不等式解为，综上可知：不等式的解为16.设函数，，的内角A满足.（1）求A的值；（2）若，且边的长为1，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）函数化简得，由，利用正弦函数的特殊值，即可求得A的值；（2）由已知，可得，得，再由余弦定理得，可得，由三角形面积公式即可求得的面积.【小问1详解】由题意得，因为，所以，即，因为，所以，所以，则【小问2详解】在中，设的对边为，由，则，即，得，又，即，由（1）知，则，又由余弦定理得，解得，所以.17.在中，，，，点D在边上，为的平分线.（1）求的长；（2）若点P为线段上一点，且为等腰三角形，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，结合面积公式即可得出答案；（2）由余弦定理和角平分线定理可得，即可求出，为等边三角形，再由余弦定理和同角三角函数的基本关系即可得答案.【小问1详解】因为为的平分线，所以，所以，所以，所以，即，可得：.【小问2详解】由余弦定理可得：，所以，所以，由角平分线定理可得：，又因为，所以，又因为，，所以，所以，又因为为等腰三角形，，所以为等边三角形，所以，则为的中点，在中，由余弦定理可得，所以，所以，在中，由余弦定理可得，因为，所以，所以.18.已知正项数列的前n项和为，且满足，.（1）求证：数列为等差数列，并求出它的通项公式；（2）若数列的前n项和为，恒成立，求实数的最大值；（3）已知数列满足，，求的前n项和.【答案】（1）证明见解析，，（2）（3），其中，【解析】【分析】（1）利用的关系，作差即可得，利用等差数列的定义即可求解，（2）根据等差求和可得，即可分离参数得，根据的单调性求解最值即可求解，（3）根据可得分别为等比数列，即可根据等比数列求和公式分类求解.【小问1详解】由可得，相减可得，因此，由于为正项数列，所以，因此，故，故数列为等差数列，且公差为2，又，所以，故【小问2详解】，故，由可得，化简可得，因此，记，则，当时，，故，而，当时，，，故，故为数列的最小项，故，故的最大值为【小问3详解】由可得，故，又，故，因此是以1为首项，4为公比的等比数列，故，是以1为首项，4为公比的等比数列，故是以2为首项，4为公比的等比数列，故故当时，当时，则，，当时，则，，综上可得，即，其中，19.设函数，.（1）求的极值；（2）已知实数，若存在正实数x使不等式成立，求a的取值范围；（3）已知不等式对满足的一切实数m，n恒成立，求实数k的取值范围.【答案】（1）极小值，无极大值；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的极值；（2）问题化为，使成立，导数研究的性质，结合得到，进而有，导数求右侧最大值，即可得范围；（3）令，问题化为在上恒成立，利用导数研究右侧的范围，即可得参数范围.【小问1详解】由题设，时，f′x<0，即在上递减，时，f′x>0，