山东省聊城市第二中学2024−2025学年高二上学期第一次月考数学试题含答案

山东省聊城市第二中学2024−2025学年高二上学期第一次月考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．在空间直角坐标系Oxyz中，点关于平面yOz对称的点的坐标是（

）A． B． C． D．2．已知向量，且与互相垂直，则的值是（

）A．1 B． C． D．3．已知，若共面，则实数的值为（

）A． B． C． D．4．已知直线l的方向向量，平面的法向量，若，则（

）A． B． C．2 D．5．如图，在四面体OABC中，，，.点M在OA上，且，为BC中点，则等于（

）

A． B．C． D．6．已知平面的一个法向量为，点在平面内，则平面外一点到平面的距离为（

）A． B． C． D．17．如图，已知二面角的大小为，，，，且，，则（

）A． B． C． D．8．如图，在直三棱柱中，，已知与分别为和的中点，与分别为线和上的动点（不包括端点），若、则线段长度的取值范围为（

）A．[) B．[] C．[) D．[]二、多选题（本大题共3小题）9．下列命题是真命题的有（）A．A，B，M，N是空间四点，若能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面B．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直C．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥αD．平面α经过三点是平面α的法向量，则10．在空间直角坐标系Oxyz中，，，，则（

）A．B．C．异面直线OB与AC所成角的余弦值为D．点O到直线BC的距离是11．如图，正方体的棱长为2，E为的中点，P为棱BC上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（

）

A．存在点P，使B．存在点P，使C．四面体的体积为定值D．二面角的余弦值的取值范围是三、填空题（本大题共3小题）12．已知，，则在方向上的投影向量为.13．点O为所在平面外一点，点G为所在平面内一点，点M为BC的中点，若成立，则实数的值为．14．如图，四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，是等边三角形，M，N分别为AB和PC的中点，则平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值为.

四、解答题（本大题共5小题）15．已知向量，.(1)求的值；(2)求向量与夹角的余弦值.16．如图，四棱锥中，底面，底面是边长为2的菱形，，F为CD的中点，，以B为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

(1)写出B，D，P，F四点的坐标；(2)求.17．已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中是的中点，是的中点.(1)求证平面；(2)求平面与平面的夹角余弦值；18．如图，在中，，，．将绕旋转得到，分别为线段的中点．

(1)求点到平面的距离；(2)求平面与平面夹角的余弦值.19．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，，.请用空间向量的知识解答下列问题：(1)求与平面所成角的大小；(2)设Q为侧棱PD上一点，四边形是过B，Q两点的截面，且平面，是否存在点Q，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由.

参考答案1．【答案】A【详解】根据空间直角坐标系中点的对称的性质，关于平面yOz对称的点的坐标为，故选：A2．【答案】D【详解】向量，则，由与互相垂直，得，所以.故选：D3．【答案】B【详解】若共面，则，即，所以，解得：.故选：B4．【答案】C【详解】因为，故与垂直，故，解得.故选：C5．【答案】B【分析】连接，根据空间向量的线性运算计算求解.【详解】连接，是的中点，，，.故选：B

6．【答案】B【分析】根据空间向量点到面的距离公式直接进行求解即可.【详解】因为，点在平面内，点平面外，所以点到平面的距离，故选：B7．【答案】A【详解】因为二面角的大小为，，，，，，所以与的夹角为，又因为，所以，所以，即．故选：A．8．【答案】A【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，设点坐标为，，故，因为，故可得，则，由可得，又，故,故当时，取得最小值；又当时，，但无法取到，则无法取到；综上，线段DF长度的取值范围为.故选：A9．【答案】BD【详解】对于A选项，因能构成空间的一个基底，故不能平移到同一个平面内，即A，B，M，N不共面，A项错误；对于B选项，因，即，故l与m垂直，B项正确；对于C选项，要使l⊥α,须使与共线，不妨设，则得：，显然该方程组无解，故C项错误；对于D选项，因是平面内的两个向量，是平面α的法向量，故解得：则有：，故D项正确.故选：BD.10．【答案】AC【详解】对于A，，，，依题意，，，故A正确；对于B，，，故B错误；对于C，，,因为，则异面直线OB与AC所成角的余弦值为，故C正确；对于D，因为，，在上的投影为，所以点O到直线BC的距离是，故D错误.故选：AC.11．【答案】AB【详解】

建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，，则，，，当时，即点与点重合时，，故A正确；由知，解得，此时点与点重合，故B正确；为定值，故C错误；又因为，，设平面的法向量，由，令则，，，又因为平面的法向量，，又因为，，故D错误.故选AB.12．【答案】【详解】在方向上的投影向量为.故答案为：13．【答案】43/【详解】，因为共平面，则，解得.故答案为：.

14．【答案】【详解】

连接相交于点，点为底面的中心，取中点为，连接，则，因为平面平面ABCD，则平面，以点为原点，分别以为轴正半轴，建立如图所示空间直角坐标系，且底面ABCD边长为2，是等边三角形，则，，则，，则，，设平面的法向量为，则，解得，取，则，，所以，且平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值即为点到平面的距离，则.故答案为：.15．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，，所以，所以；（2）因为，，则，，所以，，，设向量与夹角为，所以，所以向量与夹角的余弦值为.16．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为底面是边长为2的菱形，且，F为CD的中点，所以，又，；（2）.17．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）取中点，利用线面平行判定推理即得.（2）以A为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量求解即得.【详解】（1）取中点，连接，由是的中点，得，且，由是的中点，得，且，则有，四边形是平行四边形，于是，又平面平面，所以平面.（2）四棱柱中，平面，，则直线两两垂直，以A为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，有，则有，设平面与平面的法向量分别为，则有，令，得，，令，得，因此.所以平面与平面的夹角余弦值为.18．【答案】(1)(2)【详解】（1）取的中点，连接，作，垂足为．因为，点为的中点，所以．又，所以平面．因为平面，所以．又，所以平面，即点到平面的距离为的长度．易证平面，所以．因为是边长为2的等边三角形，所以，又，所以，所以．（2）以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以．

设平面的法向量为，可得即令，得．取的中点，连接，在等腰中，易证平面，所以为平面的一个法向量．设平面与平面的夹角为，则，．19．【答案】(1)；(2)或.【分析】(1)证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，利用线面角的求解公式得到答案；(2)证明出，求出平面的法向量，设，则，，设平面的法向量为，根据两平面夹角列出方程，求出或，设，进而根据求出答案.【详解】(1)因为，，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，取的中点，连接，因为是等边三角形，所以，又平面平面，两平面交线为，平面，所以平面，取的中点，连接，则，因为平面，所以平面，因为平面，所以，，故两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，因为，由勾股定理得，所以，平面的法向量为，设与平面所成角的大小为，则，因为，所以；(2)设平面的法向量