上海市控江中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷含答案

上海市控江中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若球的半径为5，圆为该球的一个小圆且面积为，则线段的长度是.2．如图，一水平放置的三角形的直观图是，且的面积为3，则原三角形的面积为.

3．如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为.4．如图，在正方体中，二面角的大小是.5．如图，在正四棱锥中，，直线与平面所成角为，则该正四棱锥的高是

6．若球的体积是，则球的表面积是.7．在正四面体中，棱与所成角大小为.8．如图，平面.正方形的边长为，，则到平面的距离是.9．如图，在棱长为1的正方体中，是棱的中点，为棱上一个点，若，则.10．已知圆柱底面半径为1，高为2，是上底面圆的一条直径，为下底面圆的一条动弦且与平行，设与的距离为，则的取值范围是.11．在正方体中，E，F分别为CD，的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为.12．如图，对于一个给定的四面体.存在四个依次排列且互相平行的平面、、、，使得.且其中每相邻的两个平面间的距离都相等.记四面体夹在平面与之间的体积为，则.二、单选题13．若是平面与平面的交线，直线和是异面直线，在平面内，在平面内，则下列命题正确的是（

）A．至少与、中的一条相交 B．与、都相交C．至多与、中的一条相交 D．与、都不相交14．如图，在三棱锥中，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，经过、、的截面一定是（

）A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形15．定义：通过小时内降水在平地上的积水厚度（）来判断降雨程度；其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（）；小明用一个圆锥形容器（如图）接了小时的雨水，则这天降雨属于哪个等级（

）

A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨16．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（）A．不存在 B．有且只有两条 C．有且只有三条 D．有无数条三、解答题17．如图，在长方体中，、分别是棱、的中点，，.(1)求直线与平面所成的角的大小；(2)求直线与直线所成的角的大小.18．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面，，为的中点.(1)证明：平面平面；(2)求二面角的大小.19．如图，是圆柱下底面的直径且长度为，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点.(1)求圆柱的侧面积和体积；(2)若，点在线段上，点在线段上，求的最小值，并求此时的长.20．如图，已知是底面边长为2的正四棱柱，为与的交点.为与的交点.(1)证明：平面；(2)若点到平面的距离为，求正四棱柱的高；(3)若线段上存在点，使得直线与平面所成角为，求线段的取值范围.21．如图，是底面边长为1的正三棱锥，、、分别为棱、、上的动点，截面底面，且棱台与棱锥的棱长和相等.（注：棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）(1)当为棱的中点时，求棱台的体积；(2)求在二面角的变化过程中，线段在平面上投影所扫过的平面区域的面积；(3)设常数，称较小内角为的菱形为-菱形.当点在棱上运动（不含端点）时，总存在底面为-菱形的直平行六面体，使得它与棱台有相同的体积，也有相同的棱长和，求的取值范围.参考答案：题号13141516答案ADBD1．3【分析】求出小圆的半径，从而由勾股定理得到答案.【详解】设小圆的半径为，则，解得，又球的半径为5，故线段.故答案为：32．【分析】根据直观图的面积和原图形的面积比进行求解.【详解】设直观图的面积为，原图形的面积为，则，故原三角形的面积为.故答案为：3．【分析】由圆锥的侧面积公式即可求解．【详解】由圆锥的侧面积公式故答案为：2π4．【分析】直接由定义法求二面角即可.【详解】取中点，连接，设正方体棱长为1，则，由三线合一可知，平面，平面，平面平面，所以二面角的平面角为，而在直角三角形中，，所以.故答案为：.5．【分析】作出辅助线，得到⊥平面，故，先得到，求出，得到答案.【详解】连接，相交于点，连接，则⊥平面，故，因为，所以，，故，故，正四棱锥的高为.

故答案为：6．【分析】求出球体的半径，利用球体的表面积公式可求得结果.【详解】设该球的半径为，则球的体积为，解得，因此，该球的表面积为.故答案为：.7．【分析】根据正四面体的结构特征，取中点，连，，利用线面垂直的判定证得平面，进而得到，即可得到答案.【详解】如图所示，取中点，连，，正四面体是四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等，所以，，且，所以平面，又由平面，所以，所以棱与所成角为.【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，以及直线与平面垂直的判定及应用，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.8．【分析】证明线面平行，得到点到平面的距离等于到平面的距离，过点作⊥于点，证明出⊥平面，故的长即为到平面的距离，结合，，利用勾股定理等知识进行求解.【详解】因为，平面，平面，所以平面，即点到平面的距离等于到平面的距离，过点作⊥于点，因为平面，平面，所以，又⊥，，平面，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，又，平面，所以⊥平面，故的长即为到平面的距离，因为，，故，则.故答案为：9．/0.5【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，，由求出，求出答案.【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，设，，，故，解得，故.故答案为：10．【分析】作出辅助线，当与重合时，最小，此时，当越接近于时，越大，故的取值范围是.【详解】如图所示，点为上底面的圆心，下底面的直径为，为下底面的圆心，连接，则，过点作⊥，交圆于点，则，连接，由勾股定理得，当与重合时，最小，此时，当越接近于时，越大，故的取值范围是.

故答案为：11．12【分析】根据正方体的对称性，可知球心到各棱距离相等且等于球体半径，故可得解.【详解】不妨设正方体棱长为2，中点为，取，中点，侧面的中心为，连接，如图，

由题意可知，为球心，在正方体中，，即，则球心到的距离为，所以球与棱相切，球面与棱只有1个交点，同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点，所以以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12.故答案为:12.12．/0.5【分析】先作出辅助线，得到面面平行，故平面即为平面，平面即为平面，计算出，，，计算出.【详解】取的中点，的中点，的三等分点分别为，其中靠近，连接，，由中位线可知，因为平面，平面，故平面，同理可证平面，又，平面，故平面平面，且到平面的距离，到平面的距离，平面与的距离，三者相等，故平面即为平面，平面即为平面，故，，设四面体的体积为，由于，，故点到底面的距离为点到平面的距离的，故，同理可得，故，所以.故答案为：13．A【分析】举出实例，得到至少与、中的一条相交，A正确，BC错误；与、都不相交，故与平行，但此时和不是异面直线，D错误；【详解】BC选项，如图1，与、都相交，如图2，与相交、与平行，BC错误；D选项，与、都不相交，故与平行，但此时和不是异面直线，D错误；A选项，至少与、中的一条相交，A正确.故选：A14．D【分析】作出辅助线，得到，所以四边形为平行四边形，求出经过、、的截面为平行四边形.【详解】取的中点，连接，因为棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，所以，，故，所以四边形为平行四边形，故经过、、的截面为平行四边形.故选：D15．B【分析】计算圆锥的体积，进而可得降雨高度，即可判断.【详解】

做出容器的轴截面，如图所示，则，，，则为中点，则，，由已知在直径为的圆柱内的降雨总体积，则降雨高度为，所以降雨级别为中雨，故选：B.16．D【详解】在上任意取一点，直线与确定一个平面，这个平面与有且仅有个交点，当取不同的位置就确定不同的平面，从而与有不同的交点，而直线与这条异面直线都有交点，如图所示，故选D．【方法点晴】本题主要考查了空间中点、线、面的位置关系，其中解答中涉及到立体几何中空间直线相交问题、空间几何体的结构特征、异面直线的概念等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题，本题的解答中正确把握空间几何体的结构特征是解答的关键．17．(1)(2)【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，平面的一个法向量为，求出直线与平面所成的角的正弦值，得到答案；（2）计算出，进而求出线线角的大小.【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，，平面的一个法向量为，故直线与平面所成的角的正弦值为，所以直线与平面所成的角的大小为；（2）设直线与直线所成角的大小为，，故直线与直线所成角为.18．(1)证明过程见解析(2)【分析】（1）作出辅助线，得到为等边三角形，故⊥，结合，得到⊥平面，从而面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，求出两法向量的夹角余弦值，结合二面角的大小为锐角，得到二面角的大小.【详解】（1）连接，因为底面是边长为2的菱形，，所以为等边三角形，又为的中点，故⊥，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以⊥平面，又平面，所以平面平面；（2）由（1）知，⊥平面，取的中点，则，故⊥平面，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，因为，，所以，，设平面的一个法向量为，则，令得，故，又平面的一个法向量为，则，由图形可看出二面角的大小为锐角，故二面角的大小为.19．(1)侧面积为；体积为(2)；【分析】（1）代入圆柱侧面积公式和体积公式计算即可；（2）延长线段至，使得，则，作，故为的最小值，在中，求出即可．【详解】（1）由已知，圆柱底面圆的半径，∵母线长，∴圆柱的高，∴圆柱的侧面积，圆柱的体积.（2）如图，延长线段至，使得，作，垂足为，交与，因为是圆柱下底面的直径，是圆柱的母线，所以，则，∴，所以，此时，取得最小值，因为，，所以，所以在中，，所以，所以的最小值为.又在中，，所以，则在中，.20．(1)证明过程见解析(2)(3)或.【分析】（1）作出辅助线，得到，所以平面；（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，则，求出平面的一个法向量，利用点到平面的距离向量公式列出方程，求出，得到答案；（3）设，则，由（2）知平面的一个法向量为，设，，由得到方程，化为在上有解问题，当时，，不合要求，当时，求出两根，只需，得到答案.【详解】（1）连接，因为是底面边长为2的正四棱柱，所以，，故四边形为平行四边形，则，又为与的交点，为与的交点，所以，且，故四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，设，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，故，点到平面的距离为，解得，故正四棱柱的高为；（3）设，则，由（2）知平面的一个法向量为，设，，，则，化简得在上有解，当时，方程为，解得，不合要求，当时，，故方程的根为，故只需，解得或，综上，或，故线段的取值范围为或.【点睛】关键点点睛：本题第三问，设，，由得到方程，化为在上有解问题，再进行下一步的求解.21．(1)(2)(3)【分析】（1）先得到正三棱锥为正四面体，求出，从而得到，求出棱台体积；（2）点在平面上的投影在上，故线段在平面上投影所扫过的平面区域为，求出答案；（3）设-菱形的边长为，直平行六面体的高为，表达出直平行六面体的体积为，设，表达出棱台的体积，从而得到方程，再根据棱长和相等得到另一个方程，两方程联立，得到，分别求出等式两边的取值范围，得到，得到不等式，求出答案.【详解】（1）因为是底面边长为1的正三棱锥，截面底面，且棱台与棱锥的棱长和相等，所以，又，故，即正三棱锥为正四面体，取的中点，连接，过点作⊥于点，则⊥平面，且，因为，由勾股定理得，故，故，，则，当为棱的中点时，，故棱台的体积为，（2）二面角的变化过程中，点在平面上的投影在上，故线段在平面上投影所扫过的平面区域为，显然；（3）设-菱形的边长为，直平行六面体的高为，则-菱形的高，则菱形的面积为，直平行六面体的体积为，当点在棱上运动（不含端点）时，设，，则棱台的体积为，则，直平行六面体与棱台