四川省广安市第二中学2024−2025学年高二上学期第一次月考数学试题

四川省广安市第二中学2024−2025学年高二上学期第一次月考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知复数，则（

）A． B． C． D．2．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．3．孝感市某高中有学生1200人，其中高一年级有学生400人，高二年级有学生600人，现采用分层随机抽样的方法抽取120人进行问卷调查，则被抽到的高二年级学生人数比高一年级学生人数多（

）A．20 B．30 C．40 D．504．已知直线的一个方向向量，且直线过点和两点，则（

）A．0 B．1 C． D．35．空间内有三点，则点P到直线EF的距离为（

）A． B． C． D．6．在中，，且有，则线段的长为（

）A． B．2 C． D．17．已知直线的倾斜角为，并且，直线的斜率的范围是（

）A． B．C．或 D．或8．已知四棱锥，，平分，点在上且满足，则三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（

）A．任意一条直线都有倾斜角B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为D．斜率相等的两直线平行10．已知甲､乙两位同学在高一年级六次考试中的数学成绩的统计如图所示，下列说法正确的是（

）A．若甲､乙两组数据的平均数分别为，则B．若甲､乙两组数据的方差分别为，则C．甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数D．甲成绩的极差小于乙成绩的极差11．在长方体中，，，动点P在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（

）A．当P为中点时，为锐角B．存在点P，使得平面APCC．的最小值D．顶点B到平面APC的最大距离为三、填空题（本大题共3小题）12．已知向量，且，则实数.13．已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足均大于，则的最小值.14．如图，在四面体中，与均是边长为的等边三角形，二面角的大小为，则四面体的外接球表面积为.四、解答题（本大题共5小题）15．．(1)用向量表示向量，并求；(2)求．16．已知.(1)若四点可以构成平行四边形，求点的坐标；(2)在（1）的条件下若点在第四象限的情况下，判断构成的平行四边形是否为菱形.17．四棱锥中，平面平面，，，，是正三角形，点是的中点．(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离．18．某高校承办了成都世乒赛志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.(1)求的值；(2)估计这100名候选者面试成绩的众数､平均数和分位数（分位数精确到0.1）；(3)在第四､第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.19．在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.(1)求证：平面；(2)求与平面所成角的大小；(3)在线段上是否存在点，使平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.

参考答案1．【答案】D【详解】因为，所以.故选：D2．【答案】A【分析】利用直线斜截式方程及斜率的定义即可求解.【详解】由直线，得直线的斜率为，设直线的倾斜角为，所以，所以直线的倾斜角为.故选：A.3．【答案】A【分析】根据题意先求抽样比，进而求高一，高二被抽到的学生生人数即可求解.【详解】抽样比等于，于是，高一被抽到的学生人数为，高二被抽到的学生人数为，所以高二年级学生人数比高一年级学生人数多.故选A.4．【答案】D【详解】因为直线过点和两点，所以，又直线的一个方向向量，所以，所以，所以，所以，解得，所以.故选：D5．【答案】A【详解】因为，所以直线EF的一个单位方向向量为．因为，所以点P到直线EF的距离为．故选：A6．【答案】D【详解】在中，由余弦定理可得，则，即，解得.则由即，可得，又，可知是的中点，故即为斜边上的中线，则.故选：D.7．【答案】C【详解】因为斜率，且，其中时直线无斜率，当时，得；当时，得；故选：C.8．【答案】B【详解】根据题意，设点到平面的距离为，到平面的距离为，则有，而，，又由，，平分，则，则；故，而，则有，又由点在上且满足，故到平面的距离为，则有，故．故选：B．9．【答案】BCD【详解】任何一条直线都存在倾斜角，A正确；钝角大于锐角，但是钝角对应的斜率小于锐角对应的斜率，B错误；若一条直线的倾斜角，则斜率不存在，C错误；斜率相等的两条直线可能是重合或平行，D错误；故选:BCD.10．【答案】ACD【详解】由散点图的点的分布可知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学,其他次考试成绩都高于乙同学,所以，故选项A正确；由散点图点的分步变化趋势可知,甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定,由方差的意义可得.故选项B错误；因为统计了6次数学成绩，故将一组数据从小到大排序后，第三个和第四个数据的平均数为该组数据的中位数，由散点图知，甲同学成绩排序后的第三次和第四次成绩均在90以上，而乙同学成绩排序后的第三次和第四次成绩均在90以下，故甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数.故选项C正确；因为极差为数据样本的最大值与最小值的差,所以甲同学成绩的极差小于乙同学成绩的极差,故选项D正确.故选：ACD.11．【答案】ABC【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则，设，则，故，则，，对于A，当为中点时，，则，，则，，所以，所以为锐角，故A正确；当平面，因为平面，所以，则，解得，故存在点，使得平面，故B正确；对于C，当时，取得最小值，由B得，此时，则，，所以，即的最小值为，故C正确；对于D，，，设平面的法向量，则，可取，则点到平面的距离为，当时，点到平面的距离为0，当时，，当且仅当时，取等号，所以点到平面的最大距离为，故D错误.故选：ABC.12．【答案】/【详解】因为，所以，解得.故答案为：.13．【答案】4【详解】由可得,四点共面且任意三点不共线，所以，故，由于均为正数，所以，当且仅当，即等号成立，故答案为：414．【答案】【分析】设为的中心，为四面体的外接球的球心，过作，然后在中，由求出外接球的半径，再由球的表面积公式计算可得.【详解】如图所示：设为的中心，为四面体的外接球的球心，则平面．因为二面角的大小为，即平面平面，设为线段的中点，外接球的半径为，连接，过作于点，易知为的中心，则，因为，故，，在中，，故，则．所以外接球的表面积为，故答案为：.15．【答案】(1)，(2)【详解】（1），则，所以.（2）由空间向量的运算法则，可得，因为且，所以，，则.16．【答案】(1)或或(2)不是菱形【详解】（1）由题意得，，，设，若四边形是平行四边形，则，，即，解得，即.若四边形是平行四边形，则，，即，解得，即.若四边形是平行四边形，则，，即，解得，即.综上所述，点的坐标为或或.（2）若的坐标为，因为，直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形.17．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：记点是的中点，连接，点是的中点，，且，，且，，且，四边形为平行四边形，，平面平面，平面．（2）解：连接，过点作于点，由题知，，，，，，平面平面，平面平面，平面，又平面，平面平面，作于点，又平面平面，则平面，即点到平面的距离为．由是正三角形，且得，点到平面的距离为．18．【答案】(1)，(2)众数为，平均数为69.5，分位数为71.7(3)【详解】（1）因为第三､四､五组的频率之和为0.7，所以，解得，所以前两组的频率之和为，即，所以.（2）众数为平均数为，前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，所以分位数在第三组，且为.（3）第四､第五两组志愿者分别有20人，5人，采用分层抽样的方法从中抽取5人，则第四组抽4人，记为，第五组抽1人，记为，则从这5人中选出2人，有共10种结果，两人来自不同组有共4种结果，所以两人来自不同组的概率为.19．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在，或.【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明线面垂直关系，再由性质定理得到线线垂直关系，进而再利用判定定理证明所求证的线面垂直关系；（2）以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.用向量法求与平面所成角的大小；（3）假设存在点，使平面与平面所成角余弦值为，设，分别求解两平面的法向量，用表示余弦值解方程可得.【详解】（1）因为在中，，，且，所以，，则折叠后，，又平面，所以平面，平面，所以，又已知，且都在平面内，所以平面；（2）由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.因为，故，由几何关系可知，，，，故，，，，，，，，，设平面的法向量为，则，即，不妨令，则，，.设与