河北省邯郸市大名县第一中学等校2024-2025学年高二上学期11月期中检测数学试题含答案

河北省邯郸市大名县第一中学等校2024-2025学年高二上学期11月期中检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．经过两点的直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．2．向量，若，则（

）A． B． C． D．3．已知双曲线：的离心率为，则的值为（

）A．3 B． C．12 D．4．已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一个动点，若的面积的最大值为，则（

）A．7 B．3 C． D．95．已知两平行直线与之间的距离为，则（

）A． B．23 C．13或23 D．或6．直线被圆截得的最短弦长为（

）A． B． C． D．7．《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则（

）A． B． C．2 D．38．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点.线段的垂直平分线经过坐标原点，若的离心率为，则的渐近线方程为（

）A． B． C． D．二、多选题9．圆与圆没有公共点，则的值可能是（

）A． B． C． D．10．下列说法正确的是（

）A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件B．若直线经过第一象限、第二象限、第四象限，则C．已知双曲线左焦点为，是双曲线上的一点，则PF的最小值是D．已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，则的最小值是-211．在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点是底面内的一点（包括边界），则下列说法正确的是（

）A．存在点，使得的周长为7 B．存在点，使得C． D．若点满足，则点的轨迹长度为三、填空题12．已知向量，，则．13．已知圆，点是直线上一点，过点作圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若直线上仅有一点，使得，则的值为.14．如图，在直角坐标系xOy中，点是椭圆上位于第一象限内的一点，直线与交于另外一点，过点作轴的垂线，垂足为，直线交于另外一点，且，则的离心率为.四、解答题15．已知圆过两点，且圆心在直线上.(1)求圆C的标准方程；(2)若过圆心的直线在轴，轴上的截距相等，求直线的方程.16．求适合下列条件的曲线的标准方程：(1)已知动点到定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，记点的轨迹为曲线．求曲线的标准方程；(2)求过点，的双曲线的标准方程．17．如图，在四棱锥中，底面是菱形，是等边三角形，且平面平面，点为棱的中点.(1)求证：；(2)若，求平面与平面的夹角的余弦值.18．已知双曲线过点.(1)求双曲线的标准方程；(2)过的右焦点的直线与交于M，N两点，且以MN为直径的圆过坐标原点，求直线的方程．19．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点是上位于第一象限内的一点，且的周长为.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与交于另外一点，直线与交于另外一点.①若，求直线的方程；②记的面积分别为，求的最大值.参考答案：题号12345678910答案CBDACDCBACDBC题号11答案BCD1．C【分析】由两点横坐标得直线与轴垂直，从而易得倾斜角．【详解】由已知直线的斜率不存在，即轴，倾斜角为，故选：C．2．B【分析】利用空间向量数量积的运算律及数量积的坐标表示，列式计算即得.【详解】向量，由，得，即，因此，所以.故选：B3．D【分析】根据双曲线的知识求得正确答案.【详解】双曲线：，即，所以，所以.故选：D4．A【分析】利用点的纵坐标表示的面积，再借助范围求出最大值即可.【详解】依题意，椭圆半焦距，设点，则，因此的面积，则，即，而，解得，所以.故选：A5．C【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式列式计算即得.【详解】由直线与平行，得，则，直线，于是，解得或，所以或.故选：C6．D【分析】求出直线过圆内定点，当为弦中点时弦长最短，用勾股定理求弦长．【详解】圆标准方程为，圆心为，半径为4，直线的方程整理为，因此直线过定点，，在圆内，当为所截弦中点时，弦长最短，此时，，最短弦长为，故选：D．7．C【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求.【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建系如图，设，因为，所以，，设异面直线与所成角为，则，解得，即.故选：C8．B【分析】根据给定条件，可得，利用勾股定理，结合椭圆、双曲线的定义建立方程组，由半焦距表示出即可求出渐近线方程.【详解】令线段的垂直平分线与的交点为，显然是的中点，而是的中点，则，而，因此，，则，令与的半焦距为，由，得，于是，解得，则，，所以的渐近线方程为.故选：B9．ACD【分析】由两圆位置关系求得参数范围，然后判断各选项．【详解】由已知圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为4，两圆无公共点，则，解得或，或者，解得，综上或或，ACD满足，故选：ACD．10．BC【分析】举例说明判断A；利用直线横纵截距符号判断B；利用双曲线的意义求出最小值判断C；利用椭圆定义求出最小值判断D.【详解】对于A，当时，直线与直线垂直，A错误；对于B，直线的横纵截距分别为，依题意，，因此，B正确；对于C，双曲线实半轴长，半焦距，为左焦点，当为左顶点时，，C正确；对于D，点在椭圆外，其长半轴长，点，而，则，当且仅当是线段与椭圆的交点时取等号，D错误.故选：BC11．BCD【分析】作关于平面对称点，，计算可判断A，建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用空间向量研究垂直、数量积，求空间轨迹并求得轨迹长度判断BCD．【详解】延长到，使得，则关于平面对称，，由正方体性质知，因此，又，所以，所以的周长不可能为7，A错；以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，底面内一点，设，，，，当且仅当时，，即，此时为正方形中心．B正确；，，,，，C正确；，，，则．即，所以点轨迹是平面内直线在正方形内的一条线段，由得，由得，因此此线段的两端点分别是的中点，由已知，D正确．故选：BCD．【点睛】方法点睛：空间线段和最小值问题，常常利用对称转化两点间的距离线段求解，在立体图形中如果垂直关系较多（如正方体，长方体等）可以建立空间直角坐标系，用向量研究垂直与平行．12．【分析】根据空间向量模的运算求得正确答案.【详解】，所以.故答案为：13．或【分析】根据给定条件，由圆的切线性质可得点在的外接圆上，再由唯一性可得，进而列式计算即得.【详解】圆的圆心，半径，由，得点在的外接圆上，当时，，该圆直径，由直线上仅有一点，使得，得的外接圆与直线相切，即，于是，解得或，所以的值为或.故答案为：或14．【分析】设Px0,y0，Mx1,y1,则，，根据直线斜率的坐标公式，可分别求得直线的斜率，又，所以，从而，再根据点【详解】设Px0,y0，M所以，，因为，所以，所以，即.又，所以，即，解得，即椭圆的离心率为.故答案为：.15．(1)；(2)或.【分析】（1）求出线段的中垂线方程，与已知直线方程联立求出圆心坐标及半径即可.（2）按截距为0和不为0分类，并借助直线的截距式方程求解.【详解】（1）由点，得线段的中点，直线的斜率，则线段的中垂线方程为，即，由，解得，即圆心，半径，所以圆C的标准方程为.（2）由（1）知，点，当直线过原点时，直线在轴，轴上的截距相等，此时直线的方程为，当直线不过原点时，设直线的方程为，则，解得，方程为，所以直线的方程为或.16．(1)(2)【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得曲线的标准方程.（2）设双曲线的方程为，【详解】（1）依题意，，即，两边平方得，整理得.（2）双曲线的方程为，将，代入得：，解得，所以双曲线方程为.17．(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）取中点，证明，证明平面，由此得，从而再证得平面，最后得证结论成立；（2）以为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，确定各点坐标，分别求出平面与平面的一个法向量，由法向量夹角的余弦值得二面角的余弦值．【详解】（1）如图，取中点，连接，，因为是中点，所以，是菱形，则，所以，又是等边三角形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因为平面，所以，因为，平面，所以平面，又因为平面，所以；（2），则和都是等边三角形，连接，则，，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图，设，则，，因此有，，，，，是中点，则，，，，，设平面的一个法向量是，则，取得，易知平面的一个法向量是，则，取，则，，所以平面与平面的夹角的余弦值为．18．(1)(2)【分析】（1）将分别代入双曲线C即可求解；（2）当直线斜率不存在时，易证明不满足题意；当直线斜率不存在时，假设直线方程与双曲线联立得到韦达定理，由题可知，代入并化简即可求出斜率，进而知道直线方程.【详解】（1）将分别代入双曲线C得:,解得,所以.（2）,所以双曲线的右焦点为当直线的斜率不存在时,此时,,,以为直径的圆不经过坐标原点；直线的敘率存在,设联立,消去并整理得,其中,即,,以为直径的圆经过坐标原点,,即，，,整理得,解得，所以即.

19．(1)(2)①；②【分析】（1）根据离心率公式和焦点三角形周长以及关系得到方程，解出即可；（2）①设，根据向量关系得到，再代入椭圆方程，并结合Px0,②设，求出直线的方程，将其与椭圆方程联立得到点坐标，再求出直线的方程，将其与椭圆方程联立得到点坐标，根据写出面积表达式，最后利用基本不等式即可求出最值.【详解】（1）由题意知.解得，所以的标准方程为.（2）