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文档简介

第二节一、正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法若定理1.

正项级数收敛部分和序列有界.若收敛,∴部分和数列有界,故从而又已知故有界.则称为正项级数

.单调递增,收敛,也收敛.证:“”“”都有定理2(比较审敛法)设且存在对一切有(1)若强级数则弱级数(2)若弱级数则强级数证:设对一切收敛,也收敛;发散,也发散.分别表示弱级数和强级数的部分和,则有是两个正项级数,(常数k>0),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨(1)若强级数则有因此对一切有由定理1可知,则有(2)若弱级数因此这说明强级数也发散.也收敛.发散,收敛,弱级数例1.

讨论p

级数(常数p>0)的敛散性.解:1)若因为对一切而调和级数由比较审敛法可知p

级数发散.发散,因为当故考虑强级数的部分和故强级数收敛,由比较审敛法知

p

级数收敛.时,2)若调和级数与p级数是两个常用的比较级数.若存在对一切证明级数发散.证:

因为而级数发散根据比较审敛法可知,所给级数发散.例2.定理3.

(比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散;(2)当

l=

0

(3)当

l=∞

证:

据极限定义,设两正项级数满足(1)当0<l<∞

时,由定理

2

可知同时收敛或同时发散;(3)当l=∞时,即由定理2可知,若发散,(1)当0<l<∞时,(2)当l=

0时,由定理2知收敛,若是两个正项级数,(1)当时,两个级数同时收敛或发散;2)特别取可得如下结论:对正项级数(2)当且收敛时,(3)当且发散时,也收敛;也发散.注:1)un,vn均为无穷小时,l

的值反映了它们不同阶的比较.的敛散性.

～例3.

判别级数的敛散性.

解:

根据比较审敛法的极限形式知例4.

判别级数解:根据比较审敛法的极限形式知～定理4

.

比值审敛法(D’alembert判别法)设为正项级数,且则(1)当(2)当证:(1)收敛,时,级数收敛;或时,级数发散.由比较审敛法可知因此所以级数发散.时(2)当说明:

当时,级数可能收敛也可能发散.例如,

p–级数但级数收敛;级数发散.从而例5.

讨论级数的敛散性.解:

根据定理4可知:级数收敛;级数发散;

对任意给定的正数

*定理5.

根值审敛法(Cauchy判别法)设为正项则证明提示:

即分别利用上述不等式的左,右部分,可推出结论正确.级数,且时,级数可能收敛也可能发散.例如

,p–

级数说明:但级数收敛;级数发散.例6.

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