解密12平面向量（原卷版）

解密12讲：平面向量【考点解密】考的一．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．考点二．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb考点三.向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得b＝λa.考点四．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．考点五．平面向量的坐标表示(1)向量及向量的模的坐标表示①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)平面向量的坐标运算设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．考点六．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.考点七.向量的夹角已知两个非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π].考点八.平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积考点九.向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.考点十.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.结论符号表示坐标表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))夹角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))【方法技巧】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．【核心题型】题型一：平面向量的基础知识1．（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）下列说法中正确的是（

）A．单位向量都相等B．平行向量不一定是共线向量C．对于任意向量，必有D．若满足且与同向，则2．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量，是单位向量，且，向量满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．3．（2022·河南·校联考一模）下列关于平面向量的说法正确的是（

）A．若共线，则点A，B，C，D必在同一直线上B．若且，则C．若G为的外心，则D．若O为的垂心，则题型二：平面向量的线性运算4．（2023·湖南永州·统考二模）设为所在平面内一点，，则（

）A． B．C． D．5．（2023秋·广西河池·高三统考期末）如图，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点且，过点G的直线分别交直线AB、AC于P、Q两点，，，则的最小值为（

）A． B．1 C． D．46．（2022·河南·校联考模拟预测）如图，在中，，，直线AM交BN于点Q，，则（

）A． B． C． D．题型三：平面向量的共线定理7．（2023·全国·高三专题练习）的外心满足，，则的面积为（

）A． B． C． D．28．（2023·全国·高三专题练习）如图，在中，M，N分别是线段，上的点，且，，D，E是线段上的两个动点，且，则的的最小值是（

）A．4 B． C． D．29．（2023·全国·高三专题练习）已知直线与圆：相交于不同两点，，点为线段的中点，若平面上一动点满足，则的取值范围是（

）A． B．C． D．题型四：平面向量的基本定理10．（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）在平行四边形中，､分别在边､上，，与相交于点，记，则（

）A． B．C． D．11．（2022秋·甘肃武威·高三统考阶段练习）如图，在中，是的中点，若，则（

）A． B．1 C． D．12．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图，在平行四边形中，E是的中点，，与相交于O．若，，则的长为（

）A．2 B．3 C．4 D．5题型五：平面向量的坐标运算13．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知点和数列满足，若分别为数列的前项和，则（

）A． B． C． D．014．（2023·全国·高三专题练习）如图，在平行四边形中，点在线段上，且（），若（，）且，则（

）A． B．3 C． D．415．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量，满足，，点D满足，E为的外心，则的值为（

）A． B． C． D．题型六：平面向量的数量积问题16．（2023·四川成都·统考一模）已知平面向量、、满足，，，则的最大值为（

）A． B． C． D．17．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知△ABC中，，，，在线段BD上取点E，使得，则（

）A． B． C． D．18．（2023·四川绵阳·统考二模）如图，在边长为2的等边中，点为中线的三等分点（靠近点），点为的中点，则（

）A． B． C． D．题型七：平面向量的几何应用19．（2022·福建厦门·厦门市湖滨中学校考模拟预测）已知A，B是圆上的动点，，P是圆上的动点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．20．（2022·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）在平面内，定点满足，，动点P，M满足，，则的最大值是（

）A． B． C． D．21．（2022·全国·高三专题练习）中，，，，PQ为内切圆的一条直径，M为边上的动点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．题型八：平面向量的综合问题22．（2022·河北石家庄·高三校联考阶段练习）已知向量，函数．(1)求函数的值域;(2)函数在上有10个零点，求的取值范围．23．（2023·高三课时练习）已知点G为的重心．(1)求；(2)过G作直线与AB、AC两条边分别交于点M、N，设，，求的值．24．（2022·江苏盐城·模拟预测）如图，已知正方形ABCD的边长为2，过中心O的直线l与两边AB，CD分别交于点M，N．(1)若Q是BC的中点，求的取值范围；(2)若P是平面上一点，且满足，求的最小值．【高考必刷】一：单选题25．（2023·四川·石室中学校联考模拟预测）已知向量，，则（

）A．7 B． C． D．26．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）若非零向量，满足，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．27．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知的外接圆圆心为O，且，，则（

）A．0 B． C．1 D．28．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）如图,在平行四边形中,,是边的中点,是上靠近的三等分点,若,则（

）A．4 B． C． D．829．（2023春·江苏镇江·高三校考开学考试）已知平面向量满足，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．30．（2023·四川攀枝花·攀枝花七中校考模拟预测）在中，，点D在线段上，点E在线段上，且满足，，交于点F，则（

）A． B． C． D．31．（2022·四川眉山·统考一模）已知椭圆的左焦点为，离心率为，直线与C交于点M，N，且，．当取最小值时，椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．32．（2022·吉林·东北师大附中校考模拟预测）在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的最小值是（

）A． B． C．6 D．8二、多选题33．（2022秋·安徽合肥·高三统考期末）在中，已知，，则（

）A． B．C． D．34．（2023·福建·统考一模）平面向量满足，对任意的实数t，恒成立，则（

）A．与的夹角为 B．为定值C．的最小值为 D．在上的投影向量为35．（2023春·广东揭阳·高三校考开学考试）已知O为坐标原点，点，，，则（

）A． B．C． D．36．（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）在中，，，，且，则（

）A．B．C．D．，，，使得三、填空题37．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知向量满足，请写出一个符合题意的向量的坐标______.38．（2023·全国·高三专题练习）在中，，点Q满足，则的最大值为___________.39．（2023·陕西商洛·校考三模）已知平面向量，，，其中为单位向量，若，则的取值范围是__________.40．（2023·全国·模拟预测）已知，，是平面向量，满足，，，则向量在向量上的投影的数量的最小值是______.41．（2023·陕西渭南·统考一模）将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，，…，，若，则____________