2024-2025学年高中数学第一章统计1.2.2分层抽样与系统抽样学案含解析北师大版必修3

PAGE2.2分层抽样与系统抽样考纲定位重难突破1.理解、驾驭分层抽样、系统抽样.2.会用分层抽样、系统抽样从总体中抽取样本.3.了解三种抽样方法的联系与区分.重点：两种抽样方法的步骤和运用范围.难点：1.三种抽样方法的选择.2.两种抽样方法的具体应用.授课提示：对应学生用书第05页[自主梳理]1．分层抽样将总体按其属性特征分成若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中依据所占比例随机抽取肯定的样本．这种抽样方法通常叫作分层抽样，有时也称为类型抽样．2．系统抽样系统抽样是将总体的个体进行编号，等距分组，在第一组中依据简洁随机抽样抽取第一个样本．然后按相同间隔(称为抽样距)抽取其他样本．这种抽样方法有时也叫等距抽样或机械抽样．[双基自测]1．某市为了了解职工家庭生活状况，先把职工按所从事的行业分为8类(每类家庭数不完全相同)，再对每个行业抽取的职工家庭进行调查，这种抽样方法是()A．简洁随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．不属于以上几类抽样解析：因为职工所从事的行业有明显差异，所以适合用分层抽样．答案：C2．某报告厅有50排座位，每排有60个座号，一次报告会坐满了听众，会后留下座位号为18，78，138，198，…的50位听众进行座谈，这种抽取样本的方法是()A．抽签法B．随机数表法C．系统抽样 D．有放回抽样解析：总体容量(3000)较大，抽取间隔相等，符合系统抽样的特点，是系统抽样．答案：C3．若总体中含有1645个个体，采纳系统抽样的方法从中抽取容量为35的样本，则编号后确定编号分为______段，分段间隔k＝______，每段有______个个体．解析：因为N＝1645，n＝35，则编号后确定编号分为35段，且k＝eq\f(N,n)＝eq\f(1645,35)＝47，则分段间隔k＝47，每段有47个个体．答案：354747授课提示：对应学生用书第06页探究一分层抽样[典例1]某政府机关现有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级机关为了了解政府机构改革看法，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，并写出具体实施过程．[解析]因为机构改革关系到各种人的不同利益，故采纳分层抽样方法为妥．(1)因为每个人的地位不一样，我们按类别分为3层．(2)计算总体的个数与样本容量的比：eq\f(100,20)＝5.(3)依据样本容量的比例随机抽取各层应抽取的样本．因为eq\f(100,20)＝5，所以eq\f(10,5)＝2，eq\f(70,5)＝14，eq\f(20,5)＝4.所以从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人．(4)因副处以上干部与工人人数较少，他们分别按1～10编号与1～20编号，然后采纳抽签法分别抽取2人和4人，对一般干部70人采纳00，01，02，…，69编号，然后用随机数法抽取14人．1．假如总体中的个体有差异时，就用分层抽样抽取样本．用分层抽样抽取样本时，要把性质、结构相同的个体，组成一层．2．在实际操作中，应先计算出抽样比k＝eq\f(样本容量,总体容量)，获得各层入样数的百分比，再按抽样比确定每层须要抽取的个体数：抽样比×该层个体数目＝eq\f(样本容量,总体容量)×该层个体数目．1．某电视台在因特网上就观众对某一节目的宠爱程度进行调查，参与调查的总人数为12000人，其中持各种看法的人数如下表所示：很宠爱宠爱一般不宠爱2435456739261072电视台为了进一步了解观众的具体想法和看法，准备从中再抽取60人进行更为具体的调查，应怎样进行抽样？解析：采纳分层抽样的方法，抽样比为eq\f(60,12000).“很宠爱”的有2435人，应抽取2435×eq\f(60,12000)≈12(人)；“宠爱”的有4567人，应抽取4567×eq\f(60,12000)≈23(人)；“一般”的有3926人，应抽取3926×eq\f(60,12000)≈20(人)；“不宠爱”的有1072人，应抽取1072×eq\f(60,12000)≈5(人)．因此，采纳分层抽样的方法在“很宠爱”、“宠爱”、“一般”和“不宠爱”的人中分别抽取12人、23人、20人和5人．探究二系统抽样[典例2]某单位共有在岗职工624人，为了调查职工上班时从离开家到来到单位的平均用时，确定抽取10%的工人进行调查，如何采纳系统抽样完成这一抽样？[解析]第一步由题意知，应抽取在岗职工62人作为样本，即分成62组，由于eq\f(624,62)的商是10，余数是4，所以每组有10人，还剩4人．这时，抽样距是10；其次步用随机数法从这些职工中抽取4人，不进行调查；第三步将余下的在岗职工620人进行编号，编号分别为000，001，002，…，619；第四步在第一组000，001，002，…，009这10个编号中，随机选定一个起始编号．每间隔10抽取一个编号，共抽62个编号，这样就抽取了容量为62的一个样本．1．解决系统抽样问题的关键步骤：(1)分组的方法应依据抽取比例而定，即依据定义每组抽取一个样本．(2)起始编号的确定应用随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了．2．当总体容量不能被样本容量整除时，可以先从总体中随机剔除几个个体．但要留意的是剔除过程必需是随机的，也就是总体中的每个个体被剔除的机会均等，剔除几个个体后使总体中剩余的个体数能被样本容量整除．2．为了了解参与某种学问竞赛的1003名学生的成果，抽取一个容量为50的样本，选用什么抽样方法比较恰当？简述抽样过程．解析：相宜选用系统抽样，抽样过程如下：(1)随机地将这1003个个体编号为1，2，3，…，1003.(2)利用简洁随机抽样，先从总体中随机剔除3个个体，剩下的个体数1000能被样本容量50整除，然后将1000个个体重新编号为1，2，3，…，1000.(3)将总体按编号依次均分成50部分，每部分包含20个个体．(4)在编号为1，2，3，…，20的第一部分个体中，利用简洁随机抽样抽取一个号码，比如抽取的号码是18.(5)以18为起始号码，这样得到一个容量为50的样本：18，38，58，…，978，998.探究三三种抽样方法的综合应用[典例3]已知某工厂共有20个生产车间，并且每个生产车间内的工人已经按随机方式编好了序号，假定该厂每车间工人数都相同．为了考查工人对技术水平的娴熟程度，实行以下三种方式进行抽查：①从全厂20个车间中随意抽取一个车间，再从该车间中随意抽取20人，考查这20个工人的技术水平．②每个车间都抽取1人，共计20人，考查这20个工人的技术水平．③把工人按技术等级分成高级工、一级工、初级工三个级别，从中抽取100名工人进行调查(已知按技术等级分，该厂工人中高级工共150人，一级工共600人，初级工共250人)．依据上面的叙述，试回答下列问题：(1)上面三种抽取方式中，各自采纳何种抽取样本的方法？(2)试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤．[解析](1)上面三种抽取方式中，第一种方式采纳的是简洁随机抽样法；其次种方式采纳的是系统抽样法和简洁随机抽样法；第三种方式采纳的是分层抽样法和简洁随机抽样法．(2)第一种方式抽样的步骤如下：第一步，在这20个车间中用抽签法随意抽取一个车间．其次步，从这个车间中按编号用随机数法或抽签法抽取20名工人，考查其技术水平．其次种方式抽样的步骤如下：第一步，在第一个车间中，用简洁随机抽样法随意抽取某一工人，记其编号为x.其次步，在其余的19个车间中，选取编号为x的工人，共计20人．第三种方式抽样的步骤如下：第一步，分层，因为若按技术水同等级分，其中高级工共150人，一级工共600人，初级工共250人，所以在抽取样本中，应当把全体工人分成三个层次．其次步，确定各个层次抽取的人数，因为样本容量与总体的个数比为100∶1000＝1∶10，所以在每个层次抽取的个体数依次为eq\f(150,10)，eq\f(600,10)，eq\f(250,10)，即15，60，25.第三步，按层次分别抽取：在高级工中用简洁随机抽样法取15人；在一级工中用简洁随机抽样法抽取60人；在初级工中用简洁随机抽样法抽取25人．解决此类问题的关键是敏捷运用统计中的一些基本概念和基本方法，比照简洁随机抽样、系统抽样、分层抽样的概念得出抽样过程．三种抽样方法有各自的适用范围，在抽样时要分析实际状况，抓住总体的本质特点，敏捷选择合适的方法，有时要综合运用几种不同的抽样方法．三种抽样方法，关系亲密，对抽取样原来说，可谓异曲同工．3．为了考察某校的教学水平，对这个学校高三年级的部分学生的本年度考试成果进行考察．为了全面地反映实际状况，实行以下三种方式进行抽查(已知该校高三年级共有20个教学班，并且每个班内的学生已经按随机方式编好了学号，假定该校每班学生人数都相等)：①从全年级20个班中随意抽取一个班，再从该班随意抽取20名学生，考察他们的学习成果；②每个班都抽取1人，共计20人，考察这20名学生的成果；③把学生成果分成优秀、良好、一般三个级别．从其中共抽取100名学生进行考察．(已知该校高三学生共1000人，若按成果分，其中优秀生共150人，良好生共600人，一般生共250人)．依据上面的叙述，试回答下列问题：(1)上面三种抽取方式的总体、个体、样本分别是什么？每一种抽取方式抽取的样本中，样本容量分别是多少？(2)上面三种抽取方式各自采纳的是何种抽取样本的方法？(3)试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤．解析：(1)上面三种抽取方式中，总体都是高三全体学生本学年的考试成果，个体都是指高三年级每个学生本学年的考试成果．其中第一种抽取方式中样本为所抽取的20名学生本学年的考试成果，样本容量为20；其次种抽取方式中样本为所抽取的20名学生本学年的考试成果，样本容量为20；第三种抽取方式中样本为所抽取的100名学生本学年的考试成果，样本容量为100.(2)上面三种抽取方式中，第一种方式采纳的是简洁随机抽样；其次种方式采纳的是系统抽样和简洁随机抽样；第三种方式采纳的是分层抽样和系统抽样．(3)第一种方式抽样的步骤如下：第一步，在这20个班中用抽签法随意抽取1个班；其次步，从这个班中用简洁随机抽样法抽取20名学生，考察其考试成果．其次种方式抽样的步骤如下：第一步，在第1个班中，用简洁随机抽样法抽取某一学生(其学号为a)．其次步，在其余的19个班中，选取学号为a的学生，共计20人．第三种方式抽样的步骤如下：第一步，分层，因为若按成果分，其中优秀生共150人，良好生共600人，一般生共250人，所以在抽取样本时，应把全体学生分成三层．其次步，确定各层抽取的人数，因为样本容量与总体的个体数的比为100∶1000＝1∶10，所以在每层抽取的个体数依次为eq\f(150,10)，eq\f(600,10)，eq\f(250,10)，即15，60，25.第三步，按层次分别抽取，分别在优秀生、良好生、一般生中用系统抽样的方法各抽取15人、60人、25人．因选取抽样方法不当致误[典例]某校共有老师302名，其中老年老师30名，中年老师150名，青年老师122名．为调查他们对新课程改革的看法，从中抽取一个60人的样本．请写出抽样过程．[解析](1)把122名青年老师编号，利用随机数法剔除2个个体．(2)因为eq\f(60,300)＝eq\f(1,5)，30×eq\f(1,5)＝6，150×eq\f(1,5)＝30，120×eq\f(1,5)＝24，所以可将老年老师30名，中年老师150名，青年老师120名编号后，运用随机数法，分别从中抽取6，30，24个个体，合在一起即为要抽取的60人样本．[错因与防范]本题的一种错误会法是从总人数中，利用随机数法剔除2个个体，再将剩余的300名老师重新编号，分成60段．从每段抽一人，共抽取60人，以上抽样方法对该问题抽取的样本代表性不强，因3个层次的老师对新课程改革的看法是有较大差别的，因此应采纳分层抽样，又因为老师总人数和青年老师人数均不能被60整除，此时就需先从青年老师中剔除2个个体，再进行抽样．[随堂训练]对应学生用书第07页1．某社区有400个家庭，其中高等收入家庭120个，中等收入家庭180个，低等收入家庭100个．为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本，记作①.某校高一年级有13名排球运动员，要从中选出3人调查学习负担状况，记作②.那么，完成上述两项调查宜采纳的抽样方法分别是()A．①用简洁随机抽样，②用系统抽样B．①用分层抽样，②用简洁随机抽样C．①用系统抽样，②用分层抽样D．①用分层抽样，②用系统抽样解析：由于①中总体的个体数量较多，不同个体的差异较大，∴应采纳分层抽样方法；由于②中总体的个体数量较少，个体之间差异不大，∴应采纳简洁随机抽样，故选B.答案：B2．某厂