6.4.1 样本的数字特征课件高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

6.4.1

样本的数字特征【学习目标】

1.会求样本的众数、中位数、平均数、极差、方差和标准差.

2.理解样本的数字特征的意义和作用，会用样本的数字特征估计总体的数字特征，作出合理解释和决策．知识点

平均数、中位数、众数及极差、方差、标准差数字特征定义平均数指这组数据的平均值.一般地,个数据,,

,的平均数记为

,其计算公式为

___________________.中位数把一组数据按__________的顺序排列后,_______的那个数据为这组数据的中位数，它使数据被分成的两部分的数据量是一样的

从小到大“中间”数字特征定义众数一组数据中出现次数______的数据极差一组数据中________________的差称为这组数据的极差方差方差刻画的是数据偏离平均数的______程度.如果一组数据是,

,

,,这组数据的平均数记为,方差记为,则

______________________________________标准差方差的算术平方根为标准差.

_

_______________________最多最大值与最小值离散

续表【诊断分析】判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）（1）在两组数据中,平均数较大的一组方差较大.(

)

×[解析]

平均数与方差没有必然关系.（2）平均数反映数据的集中趋势,方差则反映数据偏离平均数的离散程度.(

)

√[解析]

根据平均数的定义与方差的定义可知正确.（3）一组数据的众数、中位数、平均数均是唯一的.(

)

×[解析]

众数可以不止一个，其余是唯一的.探究点一

数字特征的计算例1（1）

（多选题）甲、乙两名球员练习罚球，每人练习10组，每组罚球20个，命中个数如下所示：甲：20，19，17，18，18，16，17，15，20，20乙：18，19，13，18，19，20，20，20，17，16则下列结论正确的是(

)

ACDA.甲数据的极差比乙数据的极差小B.甲数据的中位数与乙数据的中位数相等C.甲数据的平均数与乙数据的平均数相等D.甲数据的方差是2.8

AB

［素养小结］样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”,其中众数和中位数容易计算，且不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息.平均数表达了数据更多的信息,但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响越大，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势.探究点二

数字特征的应用例2

个体户张某经营一家餐饮店，下面是该餐饮店所有工作人员某月的工资表．工作人员工资老板张某30

000元大厨老张4500元二厨小马3500元采购员小王4000元杂工李阿姨3200元服务生小明3200元会计小何4100元（1）计算所有工作人员该月的平均工资.

（2）由（1）计算出的平均工资能否反映该餐饮店打工人员这个月收入的一般水平？为什么？解：由（1）计算出的平均工资不能反映该餐饮店打工人员当月收入的一般水平，可以看出，除了老板张某外，其余人员的工资都低于平均工资，因为老板张某的工资特别高，所以他的工资对平均工资的影响较大，同时他也不是打工人员．（3）去掉老板张某的工资后，再计算平均工资，这能代表该餐饮店打工人员当月收入的一般水平吗？

（4）根据以上计算，结合统计的观点，你对（3）的结果有什么看法？解：从本题的计算可以看出，个别特殊值对平均数有很大的影响，因此在选择样本时，样本中尽量不含特殊数据．

（1）分别计算两组数据的平均数及标准差；

（2）根据计算结果判断哪台机床加工的零件质量更稳定.

［素养小结］（1）平均数、中位数与众数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量.但当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映这组数据的集中趋势.（2）方差、标准差描述了数据相对平均数的离散程度.标准差越大，数据越分散，稳定性就越差；标准差越小，数据越集中，稳定性就越好.

（1）估计样本的中位数（保留一位小数）；

（2）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成三类，不同类别的跑步爱好者的周跑量及购买的装备的价格如下表：周跑量小于

不小于且小于

不小于

类别休闲跑者核心跑者精英跑者装备价格（单位：元）250040004500根据以上数据，估计该市每名跑步爱好者购买装备平均需要花费多少元？

D

2.平均数与标准差（方差）这两个数字特征在实际问题中如何应用？平均数反映的是数据的平均水平，在实际应用中，平均数常被理解为平均水平，标准差反映的是数据的离散程度的大小，反映了各个样本数据在样本平均数周围的集中程度.标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数的周围越集中；反之，标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数的周围越分散.在实际应用中，标准差常被理解为稳定性，常常与平均数结合起来解决问题.例如：要从甲、乙两名射击运动员中选一名参加运动会，如果你是教练，你会制订怎样的选拔标准？制订怎样的选拔方案？选拔标准：要先考虑射击运动员射击的平均水平，即平均射击环数，再考虑射击运动员发挥的稳定性.当射击环数的平均数不相同时，选