新高考数学二轮复习 专题突破 专题1 微重点1　函数的新定义问题（含解析）

微重点1函数的新定义问题函数的“新定义”问题，是近几年高考试题或模拟试题中出现的一种函数创新试题，一般是以“新定义型”函数的定义或性质为载体，考查函数的定义、性质、运算等，考查学生的创新能力和运用数学知识综合解决问题的能力．考点一特征函数考向1高斯函数例1(2022·长治模拟)已知函数f(x)＝x－[x]([x]表示不超过x的最大整数，例如[1.5]＝1，[－0.5]＝－1)，则以下关于f(x)的性质说法错误的是()A．f(x)是R上的增函数B．f(x)是周期函数C．f(x)是非奇非偶函数D．f(x)的值域是[0,1)答案A解析对于A，f(1)＝f(2)＝0，故A错误；对于B，因为f(x＋1)＝x＋1－[x＋1]＝x－[x]＝f(x)，所以f(x)是以1为周期的周期函数，故B正确；对于C，f(1.2)＝1.2－1＝0.2，f(－1.2)＝－1.2－(－2)＝0.8，f(1.2)≠±f(－1.2)，所以f(x)是非奇非偶函数，故C正确；对于D，根据[x]的定义可得x－1<[x]≤x，则0≤x－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x))<1，即f(x)的值域是[0,1)，故D正确．考向2狄利克雷函数例2德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，他是解析数论的创始人之一，以其名字命名的函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x为有理数，,0，x为无理数，))称为狄利克雷函数，则关于函数f(x)，下列说法正确的是()A．f(x)的定义域为{0,1}B．f(x)的值域为[0,1]C．∃x∈R，f(f(x))＝0D．任意一个非零有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立答案D解析因为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x为有理数，,0，x为无理数，))所以函数的定义域为R，值域为{0,1}，故A，B错误；因为f(x)＝0或f(x)＝1，且0与1均为有理数，所以f(f(x))＝f(0)＝1或f(f(x))＝f(1)＝1，故C错误；对于任意一个非零有理数T，若x为有理数，则x＋T也为有理数，则f(x＋T)＝f(x)＝1；若x为无理数，则x＋T也为无理数，则f(x＋T)＝f(x)＝0，综上可得，任意一个非零有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立，故D正确．考向3黎曼函数例3(2022·新乡模拟)黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在[0,1]上，其解析式如下：R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,p)，x＝\f(q,p)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p，q都是正整数，\f(q,p)是既约真分数))，,0，x＝0，1或[0，1]上的无理数.))若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x都有f(2＋x)＋f(2－x)＝0，当x∈[0,1]时，f(x)＝R(x)，则f(2022)＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2022,5)))＝________.答案－eq\f(1,5)解析∵f(2＋x)＋f(2－x)＝0，∴f(2＋x)＝－f(2－x)．又f(x)是奇函数，∴f(x＋2)＝f(x－2)，∴f(4＋x)＝f(x)，∴f(x)的一个周期为4.∵f(2＋x)＋f(2－x)＝0，∴令x＝0，可得f(2)＝0，∴f(2022)＝f(4×505＋2)＝f(2)＝0.f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2022,5)))＝－f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2022,5)))＝－f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4×101＋\f(2,5)))＝－f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))＝－Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))＝－eq\f(1,5)，∴f(2022)＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2022,5)))＝－eq\f(1,5).考向4欧拉函数例4(2022·重庆八中调研)若正整数m，n的公约数只有1，则称m，n互质．对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数，例如：φ(3)＝2，φ(7)＝6，φ(9)＝6，函数φ(n)以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数，则下列说法正确的是()A．φ(5)＝φ(10)B．φ(2n－1)＝1C．φ(32)＝15D．φ(2n＋2)>φ(2n)，n∈N*答案A解析因为φ(5)＝φ(10)＝4，故A正确；因为当n＝4时，φ(15)≠1，故B不正确；因为小于或等于32的正整数中与32互质的实数为1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31，共有16个，所以φ(32)＝16，故C不正确；因为当n＝2时，φ(4)＝φ(6)＝2，故D不正确．规律方法以某些特殊函数为背景考查函数的基本概念及应用时，关键是理解函数的实质，与熟悉的函数类比，通过赋特殊值或数形结合解决．跟踪演练1(1)(2022·东北师大附中模拟)已知符号函数sgnx＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则()A．sgn[f(x)]>0B．f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2021,2)))＝1C．sgn[f(2k＋1)]＝1(k∈Z)D．sgn[f(k)]＝|sgnk|(k∈Z)答案C解析对于A选项，sgn[f(0)]＝sgn0＝0，A错；对于B选项，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2021,2)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1010＋\f(1,2)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,2)，B错；对于C选项，对任意的k∈Z，f(2k＋1)＝f(1)＝1，则sgn[f(2k＋1)]＝sgn1＝1，C对；对于D选项，取k＝2，则sgn[f(2)]＝sgn[f(0)]＝sgn0＝0，而|sgn2|＝1，D错．(2)(2022·滁州模拟)双曲函数是一类与三角函数类似的函数，在物理学众多领域中有着广泛的实际应用．最基本的双曲函数是双曲正弦函数sinhx＝eq\f(ex－e－x,2)和双曲余弦函数coshx＝eq\f(ex＋e－x,2).令f(x)＝sinhxcoshx，得到下面的结论：①f(x)为偶函数；②f(x)为奇函数；③f(x)在(0，＋∞)上单调递增；④f(x)在(0，＋∞)上单调递减．其中正确的是()A．①③ B．②③C．①④ D．②④答案B解析由已知可得f(x)＝sinhxcoshx＝eq\f(e2x－e－2x,4)，所以f(－x)＝－eq\f(e2x－e－2x,4)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，所以①错误，②正确；因为y＝e2x在(0，＋∞)上单调递增，y＝e－2x在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝eq\f(e2x－e－2x,4)在(0，＋∞)上单调递增，所以③正确，④错误．考点二“新定义”函数的性质、运算法则等例5(1)(2022·德州质检)定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f(x)＝x3；②f(x)＝2x；③f(x)＝|x|；④f(x)＝ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的为()A．①② B．③④C．①③ D．②④答案C解析设等比数列{an}的公比为q.对于①，eq\f(fan＋1,fan)＝eq\f(a\o\al(3,n＋1),a\o\al(3,n))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an＋1,an)))3＝q3，故f(x)＝x3是“保等比数列函数”；对于②，eq\f(fan＋1,fan)＝SKIPIF1<0≠常数，故f(x)＝2x不是“保等比数列函数”；对于③，eq\f(fan＋1,fan)＝eq\f(|an＋1|,|an|)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(an＋1,an)))＝|q|，故f(x)＝|x|是“保等比数列函数”；对于④，eq\f(fan＋1,fan)＝eq\f(ln|an＋1|,ln|an|)＝eq\f(ln|an·q|,ln|an|)＝eq\f(ln|an|＋ln|q|,ln|an|)＝1＋eq\f(ln|q|,ln|an|)≠常数，故f(x)＝ln|x|不是“保等比数列函数”．(2)函数y＝g(x)在区间[a，b]上连续，对[a，b]上任意两点x1与x2，有geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))<eq\f(gx1＋gx2,2)时，我们称函数g(x)在[a，b]上“严格上凹”，称函数g(x)在[a，b]上为“凹函数”，若用导数的知识可以简单地解释为原函数的导函数的导函数(二阶导函数)在给定区间内恒为正，即g″(x)>0.则下列函数中在所给定义域上“严格上凹”的是()A．f(x)＝log2x(x>0)B．f(x)＝eq\f(2,ex)＋xC．f(x)＝－x3＋2xD．f(x)＝sinx－x2(0<x<π)答案B对于A，f(x)＝log2x(x>0)，则f″(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,xln2)))′＝－eq\f(1,ln2)·eq\f(1,x2)<0在(0，＋∞)上恒成立，不符合题意，故选项A错误；对于B，f(x)＝eq\f(2,ex)＋x，则f″(x)＝eq\f(2,ex)>0恒成立，符合题意，故选项B正确；对于C，f(x)＝－x3＋2x，则f″(x)＝(－3x2＋2)′＝－6x，当x>0时，f′(x)<0，不符合题意，故选项C错误；对于D，f(x)＝sinx－x2(0<x<π)，则f″(x)＝(cosx－2x)′＝－sinx－2<0在(0，π)上恒成立，不符合题意，故选项D错误．规律方法利用函数的凹凸性可以考查函数值增减的快慢，即考查导函数的几何意义．进一步可以利用二阶导数来新定义凹凸函数：二阶导数在给定区间上恒为正值，则说明函数是凹函数，否则函数不是凹函数.跟踪演练2(1)定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0为函数f(x)的“新不动点”，给出下列函数：①g(x)＝eq\f(1,2)x2；②g(x)＝－ex－2x；③g(x)＝lnx；④g(x)＝sinx＋2cosx.其中只有1个“新不动点”的函数是________．(填序号)答案②③解析对于①，g(x)＝eq\f(1,2)x2，则g′(x)＝x，令eq\f(1,2)x2＝x，得x＝0或x＝2，故函数g(x)有2个“新不动点”，不符合题意；对于②，g(x)＝－ex－2x，则g′(x)＝－ex－2，令－ex－2x＝－ex－2，得x＝1，故函数g(x)只有1个“新不动点”，符合题意；对于③，g(x)＝lnx，则g′(x)＝eq\f(1,x)，令h(x)＝lnx－eq\f(1,x)(x>0)，则h′(x)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,x2)＝eq\f(x＋1,x2)>0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增，又h(1)＝－1<0，h(e)＝1－eq\f(1,e)>0，所以h(x)在(0，＋∞)上存在唯一零点x0，且x0∈(1，e)，即lnx＝eq\f(1,x)有唯一实数根，故函数g(x)只有1个“新不动点”，符合题意；对于④，g(x)＝sinx＋2cosx，则g′(x)＝cosx－2sinx，令sinx＋2cosx＝cosx－2sinx，得3sinx＝－cosx，即tanx＝－eq\f(1,3)，因为函数y＝tanx的周期为π，所以tanx＝－eq\f(1,3)的根有无数个，故函数g(x)有无数个“新不动点”，不符合题意．(2)在实数集R上定义一种运算“★”，对于任意给定的a，b∈R，a★b为唯一确定的实数，且具有下列三条性质：(ⅰ)a★b＝b★a；(ⅱ)a★0＝a；(ⅲ)(a★b)★c＝c★(ab)＋(a★c)＋(c★b)－2c.若函数f(x)＝x★eq\f(1,x)，则下列说法正确的是________．(填序号)①函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值为3；②函数f(x)为奇函数；③函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；④函数f(x)不是周期函数．答案①③④解析对于新运算“★”的性质(ⅲ)，令c＝0，则(a★b)★0＝0★(ab)＋(a★0)＋(0★b)＝ab＋a＋b，即a★b＝ab＋a＋b.∴f(x)＝x★eq\f(1,x)＝1＋x＋eq\f(1,x)，当x>0时，f(x)＝1＋x＋eq\f(1,x)≥1＋2eq\r(x·\f(1,x))＝3，当且仅当x＝eq\f(1,x)，即x＝1时取等号，∴函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值为3，故①正确；函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f(1)＝1＋1＋1＝3，f(－1)＝1－1－1＝－1，∴f(－1)≠－f(1)，且f(－1)≠f(1)，∴函数f(x)为非奇非偶函数，故②错误；f′(x)＝1－eq\f(1,x2)＝eq\f(x2－1,x2)，令f′(x)>0，则x<－1或x>1，所以函数f(x)＝1＋x＋eq\f(1,x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，故③正确；由③知，函数f(x)＝1＋x＋eq\f(1,x)不是周期函数，故④正确．专题强化练1．(2022·眉山模拟)四参数方程的拟合函数表达式为y＝eq\f(a－d,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,c)))b)＋d(x>0)，常用于竞争系统和免疫检测，它的图象是一条递增(或递减)的类似指数或对数的曲线，或双曲线(如y＝x－1)，还可以是一条S形曲线，当a＝4，b＝－1，c＝1，d＝1时，该拟合函数图象是()A．类似递增的双曲线B．类似递增的对数曲线C．类似递减的指数曲线D．一条S形曲线答案A解析依题意可得拟合函数为y＝eq\f(3,1＋x－1)＋1(x>0)，即y＝eq\f(3x,1＋x)＋1＝eq\f(3x＋1－3,x＋1)＋1＝－eq\f(3,x＋1)＋4(x>0)，由y＝－eq\f(3,x)(x>1)向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到y＝－eq\f(3,x＋1)＋4(x>0)，因为y＝－eq\f(3,x)在(1，＋∞)上单调递增，所以拟合函数图象是类似递增的双曲线．2．若函数f(x)对∀a，b∈R，同时满足：(1)当a＋b＝0时，有f(a)＋f(b)＝0；(2)当a＋b>0时，有f(a)＋f(b)>0，则称f(x)为Ω函数．下列函数中是Ω函数的为()A．f(x)＝x3＋1B．f(x)＝x|x|C．f(x)＝ex＋e－xD．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，x＝0，,－\f(1,x)，x≠0))答案B解析由条件(1)可知，对∀a∈R，都有f(a)＋f(－a)＝0，故f(x)是奇函数，由条件(2)可知，当a>－b时，f(a)>－f(b)＝f(－b)，故f(x)是增函数，对于A，f(x)＝x3＋1是增函数，但不是奇函数，故A不符合；对于B，f(x)＝x|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x≥0，,－x2，x<0，))是奇函数也是增函数，故B符合；对于C，f(x)＝ex＋e－x，是奇函数，但不是增函数，故C不符合；3．设f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，f″(x)是函数y＝f′(x)的导函数，若方程f″(x)＝0有实数解x＝x0，则称(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．经研究发现所有的三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)都有“拐点”，且该“拐点”也是函数y＝f(x)的图象的对称中心．若函数f(x)＝x3－3x2，则f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2022)))＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2022)))＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2022)))＋…＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4042,2022)))＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4043,2022)))等于()A．－8086 B．－8082C．8084 D．8088答案A解析因为函数f(x)＝x3－3x2，则f′(x)＝3x2－6x，f″(x)＝6x－6，令f″(x)＝0，解得x＝1，且f(1)＝－2，由题意可知，f(x)的拐点为(1，－2)，故f(x)的对称中心为(1，－2)，所以f(2－x)＋f(x)＝－4，所以f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2022)))＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2022)))＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2022)))＋…＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4042,2022)))＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4043,2022)))＝－4×eq\f(4043,2)＝－8086.4．已知函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调函数；②存在区间[a，b]，使f(x)在[a，b]上的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(k,b)，\f(k,a)))，那么就称函数f(x)为“D上的k类成功函数”．已知函数f(x)＝3－x2是“(0，＋∞)上的k类成功函数”，则实数k的取值范围为()A．(0,2] B．[0,2]C．(0,2) D．(－2,2)答案C解析由题意知函数f(x)＝3－x2是“(0，＋∞)上的k类成功函数”，则f(x)在[a，b]上的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(k,b)，\f(k,a))).由f(x)在(0，＋∞)上单调递减，得k>0，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fa＝\f(k,a)，,fb＝\f(k,b)，))即方程f(x)＝eq\f(k,x)在(0，＋∞)上必有两个不相等的实数根，即3x－x3＝k在(0，＋∞)上必有两个不相等的实数根．设g(x)＝3x－x3，则原问题可转化为直线y＝k与函数g(x)的图象在(0，＋∞)上有两个不同的交点．因为g′(x)＝3－3x2，当x∈(0,1)时，g′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，其图象如图所示，所以在(0，＋∞)上，g(x)max＝g(1)＝2.又g(0)＝g(eq\r(3))＝0，所以0<k<2.5．(2022·成都质检)设函数y＝f(x)在R上有定义，对于任一给定的正数p，定义函数fp(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，fx≤p，,p，fx>p，))则称函数fp(x)为f(x)的“p界函数”．若给定函数f(x)＝x2－2x－1，p＝2，则下列结论错误的是()A．fp(f(0))＝f(fp(0))B．fp(f(1))＝f(fp(1))C．fp(fp(2))＝f(f(2))D．fp(fp(3))＝f(f(3))答案B解析因为f(x)＝x2－2x－1，p＝2，所以f2(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－1，－1≤x≤3，,2，x<－1或x>3，))对于A，fp(f(0))＝f2(－1)＝2，f(fp(0))＝f(－1)＝1＋2－1＝2，所以A正确；对于B，fp(f(1))＝f2(－2)＝2，f(fp(1))＝f(－2)＝4＋4－1＝7，所以B错误；对于C，fp(fp(2))＝f2(－1)＝2，f(f(2))＝f(－1)＝2，所以C正确；对于D，fp(fp(3))＝f2(2)＝－1，f(f(3))＝f(2)＝－1，所以D正确．6．(2022·重庆市育才中学模拟)在函数f(x)上存在A，B两点，使eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，则称f(x)为“正交函数”．下列四个函数中不是“正交函数”的为()A．f(x)＝x－2 B．f(x)＝cosx＋1C．f(x)＝lnx D．f(x)＝2x－2答案C解析由题意，要使f(x)为“正交函数”，则f(x)的图象与y＝±x在相邻的象限上有交点即可，对于A，f(x)＝x－2与y＝±x的图象如图所示，符合题意；对于B，f(x)＝cosx＋1与y＝±x的图象如图所示，符合题意；对于C，f(x)＝lnx与y＝±x的图象如图所示，只有一个交点，不符合题意；对于D，f(x)＝2x－2与y＝±x的图象如图所示，符合题意．7．(2022·武汉质检)某学生在研究函数f(x)＝x3－x时，发现该函数的两条性质：①是奇函数；②单调性是先增后减再增．该学生继续深入研究后发现将该函数乘一个函数g(x)后得到一个新函数h(x)＝g(x)f(x)，此时h(x)除具备上述两条性质之外，还具备另一条性质：③h′(0)＝0.写出一个符合条件的函数解析式g(x)＝______________.答案x