新高考数学二轮复习 专题突破 专题1 第2讲　基本初等函数、函数与方程（含解析）

第2讲基本初等函数、函数与方程[考情分析]1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是常考题型，常以压轴题的形式出现.3.函数模型及应用是近几年高考的热点，通常考查指数函数、对数函数模型．考点一基本初等函数的图象与性质核心提炼指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两种函数图象的异同．例1(1)(2022·杭州模拟)已知lga＋lgb＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝的图象可能是()答案B解析∵lga＋lgb＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，∴ab＝1，∴a＝eq\f(1,b)，∴g(x)＝＝logax，∴函数f(x)＝ax与函数g(x)＝互为反函数，∴函数f(x)＝ax与g(x)＝的图象关于直线y＝x对称，且具有相同的单调性．(2)若ea＋πb≥e－b＋π－a，则下列结论一定成立的是()A．a＋b≤0 B．a－b>0C．a－b≤0 D．a＋b≥0答案D解析∵ea＋πb≥e－b＋π－a，∴ea－π－a≥e－b－πb，∴ea－π－a≥e－b－π－(－b)，①令f(x)＝ex－π－x，显然f(x)为R上的增函数，①式即为f(a)≥f(－b)，∴a≥－b，即a＋b≥0.规律方法(1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数a的影响，解决与指数函数、对数函数有关的问题时，首先要看底数a的取值范围．(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化．跟踪演练1(1)(2022·山东名校大联考)若a＝log32，b＝log52，c＝e0.2，则a，b，c的大小关系为()A．b<a<c B．c<a<bC．b<c<a D．a<b<c答案A解析由对数函数的单调性可知0＝log31<log32<log33＝1，即0<a<1，且eq\f(1,a)＝log23，又0＝log51<log52<log55＝1，即0<b<1且eq\f(1,b)＝log25，又log23<log25，即eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，所以a>b，又根据指数函数的单调性可得c＝e0.2>e0＝1，所以b<a<c.(2)(2022·邯郸模拟)不等式10x－6x－3x≥1的解集为________．答案[1，＋∞)解析由10x－6x－3x≥1，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))x≤1.令f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))x，因为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))x，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))x，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))x均在R上单调递减，则f(x)在R上单调递减，且f(1)＝1，所以f(x)≤f(1)，即x≥1.故不等式10x－6x－3x≥1的解集为[1，＋∞)．考点二函数的零点核心提炼判断函数零点个数的方法(1)利用函数零点存在定理判断．(2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出考向1函数零点个数的判断例2已知f(x)是定义在R上周期为2的偶函数，且当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，则函数g(x)＝f(x)－log5|x|的零点个数是()A．2B．4C．6D．8答案D解析当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，函数y＝f(x)的周期为2且为偶函数，其图象关于y轴对称，可作出函数f(x)的图象．函数y＝log5|x|的图象关于y轴对称，函数y＝g(x)的零点，即为两函数图象交点的横坐标，当x>5时，y＝log5|x|>1，此时两函数图象无交点，如图，又两函数的图象在x>0上有4个交点，由对称性知两函数的图象在x<0上也有4个交点，且它们关于y轴对称，可得函数g(x)＝f(x)－log5|x|的零点个数为8.考向2求参数的值或范围例3(2022·河北联考)函数f(x)＝ex和g(x)＝kx2的图象有三个不同交点，则k的取值范围是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e2,4)，＋∞))解析因为函数f(x)＝ex和g(x)＝kx2的图象有三个不同交点，所以方程ex＝kx2有三个不同的实数根，显然x＝0不是方程的实数根，所以方程eq\f(ex,x2)＝k(k>0)有三个不同的非零实数根，令h(x)＝eq\f(ex,x2)，则h′(x)＝eq\f(x－2ex,x3)，所以当x<0时，h′(x)>0，当0<x<2时，h′(x)<0，当x>2时，h′(x)>0，所以函数h(x)＝eq\f(ex,x2)在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减，因为当x趋近于－∞时，h(x)趋近于0，当x趋近于＋∞时，h(x)趋近于＋∞，当x趋近于0时，h(x)趋近于＋∞，所以函数h(x)的大致图象如图所示，h(2)＝eq\f(e2,4)，所以当方程eq\f(ex,x2)＝k(k>0)有三个不同的实数根时，k的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e2,4)，＋∞)).规律方法利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法跟踪演练2(1)(2022·合肥模拟)若f(x)为奇函数，且x0是y＝f(x)－2ex的一个零点，则－x0一定是下列哪个函数的零点()A．y＝f(－x)e－x－2 B．y＝f(x)ex＋2C．y＝f(x)ex－2 D．y＝f(－x)ex＋2答案B解析因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，又因为x0是y＝f(x)－2ex的一个零点，所以f(x0)＝2，把－x0分别代入四个选项，对于A，f(x0)－2＝2()2－2，不一定为0，故A不正确；对于B，f(－x0)＋2＝－f(x0)＋2＝－2·＋2＝0，所以－x0是函数y＝f(x)ex＋2的零点，故B正确；对于C，f(－x0)－2＝－2－2＝－4，故C不正确；对于D，f(x0)＋2＝2＋2＝4，故D不正确．(2)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x，x<0，,\r(x)，x≥0，))若关于x的方程f(x)＝a(x＋1)有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析作出函数f(x)的图象，又直线y＝a(x＋1)过定点P(－1,0)，如图，当直线y＝a(x＋1)与y＝eq\r(x)的图象有两个交点时满足题意，需满足a>0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝ax＋1，,y＝\r(x)，))得ax－eq\r(x)＋a＝0，令t＝eq\r(x)，则at2－t＋a＝0有两个正根，所以Δ＝1－4a2>0，解得－eq\f(1,2)<a<eq\f(1,2)，此时t1t2＝1>0，t1＋t2＝eq\f(1,a)>0，所以0<a<eq\f(1,2).考点三函数模型及其应用核心提炼解函数应用题的步骤(1)审题：缜密审题，准确理解题意，分清条件和结论，理清数量关系．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．(4)反馈：将得到的数学结论还原为实际问题的意义．例4(1)(2022·西安模拟)2022年4月16日，神舟十二号3名航天员告别了工作生活183天的中国空间站，安全返回地球．中国征服太空的关键是火箭技术，在理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量的公式Δv＝veln

eq\f(m0,m1)，其中Δv为火箭的速度增量，ve为喷流相对于火箭的速度，m0和m1分别代表发动机开启和关闭时火箭的质量，在未来，假设人类设计的某火箭ve达到5公里/秒，eq\f(m0,m1)从100提高到600，则速度增量Δv增加的百分比约为()(参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln5≈1.6)A．15%B．30%C．35%D．39%答案D解析由题意，当eq\f(m0,m1)＝100时，速度增量为Δv1＝5ln100；则当eq\f(m0,m1)＝600时，速度增量为Δv2＝5ln600＝5ln100＋5ln6，所以eq\f(Δv2－Δv1,Δv1)＝eq\f(5ln100＋5ln6－5ln100,5ln100)＝eq\f(ln6,ln100)＝eq\f(ln2＋ln3,2ln2＋ln5)≈39%.(2)(2022·福州模拟)深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L＝，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为0.45，则学习率衰减到0.05以下(不含0.05)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：lg3≈0.4771)()A．11B．22C．227D．481答案D解析由于L＝，所以L＝0.5×，依题意0.45＝0.5×⇒D＝eq\f(9,10)，则L＝0.5×，由L＝0.5×<0.05得<eq\f(1,10)，<lg

eq\f(1,10)，eq\f(G,22)lg

eq\f(9,10)<－1，G·(lg9－lg10)<－22，G·(lg10－lg9)>22，所以G>eq\f(22,lg10－lg9)，G>eq\f(22,1－2lg3)≈eq\f(22,1－2×0.4771)＝eq\f(22,0.0458)≈480.35，所以所需的训练迭代轮数至少为481轮．易错提醒构建函数模型解决实际问题的失分点(1)不能选择相应变量得到函数模型．(2)构建的函数模型有误．(3)忽视函数模型中变量的实际意义．跟踪演练3(1)(2022·荆州联考)“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学治污．某乡村一条污染河道的蓄水量为v立方米，每天的进出水量为k立方米．已知污染源以每天r个单位污染河水，某一时段t(单位：天)河水污染质量指数为m(t)(每立方米河水所含的污染物)满足m(t)＝eq\f(r,k)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m0－\f(r,k)))(m0为初始质量指数)，经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍．若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是(参考数据：ln10≈2.30)()A．1个月 B．3个月C．半年 D．1年答案C解析由题可知，m(t)＝＝0.1m0，∴＝0.1，∴－eq\f(1,80)t＝ln0.1≈－2.30，∴t≈184(天)，∴要使河水的污染水平下降到初始时的10%，结合选项知需要的时间大约是半年．(2)(2022·广东大联考)水果采摘后，如果不进行保鲜处理，其新鲜度会逐渐流失，某水果产地的技术人员采用一种新的保鲜技术后发现水果在采摘后的时间t(单位：小时)与失去的新鲜度y满足函数关系式：y＝为了保障水果在销售时的新鲜度不低于85%，从水果采摘到上市销售的时间间隔不能超过(参考数据：log23≈1.6)()A．20小时 B．25小时C．28小时 D．35小时答案C解析由题意可知当t<10时，失去的新鲜度小于10%，没有超过15%，当t≥10时，则有≤15%，即≤3，∴eq\f(20＋t,30)≤log23≈1.6，∴t≤48－20＝28.专题强化练一、选择题1．幂函数f(x)满足f(4)＝3f(2)，则f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))等于()A.eq\f(1,3)B.3C.－eq\f(1,3)D.－3答案A解析设幂函数f(x)＝xα，则4α＝3×2α，解得α＝log23，所以f(x)＝，所以f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝＝eq\f(1,3).2．(2022·泸州模拟)若logab>1，其中a>0且a≠1，b>1,则()A．0<a<1<b B．1<a<bC．1<b<a D．1<b<a2答案B解析当0<a<1时，y＝logax单调递减，由b>1，则logab<0，与logab>1矛盾，故a>1，由logab>1得logab>logaa，则b>a，故b>a>1.3．函数f(x)＝eq\f(sinx,\r(25－x2))的零点有()A．2个 B．3个C．5个 D．无数个答案B解析f(x)的定义域为(－5,5)，令f(x)＝0，得sinx＝0，∴x＝kπ，k∈Z，又x∈(－5,5)，∴x＝0或x＝±π，故f(x)有3个零点．4．朗伯比尔定律(Lambert－Beerlaw)是分光光度法的基本定律，是描述物质对某一波长光吸收的强弱与吸光物质的浓度及其液层厚度间的关系，其数学表达式为A＝lg

eq\f(1,T)＝Kbc，其中A为吸光度，T为透光度，K为摩尔吸光系数，c为吸光物质的浓度，单位为mol/L，b为吸收层厚度，单位为cm.保持K，b不变，当吸光物质的浓度增加为原来的两倍时，透光度由原来的T变为()A．2T B．T2C.eq\f(1,2)T D．10T答案B解析由A＝lgeq\f(1,T)＝Kbc，得eq\f(1,T)＝10A，所以T＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))A，保持K，b不变，当吸光物质的浓度增加为原来的两倍时，透光度变为T′，则Kb·2c＝2A＝lgeq\f(1,T′)，所以eq\f(1,T′)＝102A，所以T′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))2A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))A))2＝T2，所以透光度由原来的T变为T2.5．(2022·十堰统考)已知a＝ln3，b＝30.5，c＝lg9，则()A．a>b>c B．c>a>bC．b>a>c D．b>c>a答案C解析因为0＝lg1<c＝lg9<lg10＝1，a＝ln3>lne＝1，所以a>c，又e3>2.53>32，所以>3，则eq\f(3,2)>ln3，则b＝30.5>eq\f(3,2)>ln3＝a.故b>a>c.6．方程f(x)＝f′(x)的实数根叫做函数f(x)的“新驻点”．如果函数g(x)＝lnx＋2的“新驻点”为a，那么a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))答案B解析由题意得，g′(x)＝eq\f(1,x)(x>0)，则lnx＋2＝eq\f(1,x)的根为g(x)的“新驻点”，设h(x)＝lnx－eq\f(1,x)＋2(x>0)，即h(x)的零点为g(x)的“新驻点”，∴h′(x)＝eq\f(1,x2)＋eq\f(1,x)>0，即h(x)在(0，＋∞)上单调递增，heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝lneq\f(1,2)<0，h(1)＝1>0，根据零点存在定理知，h(x)的零点在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))内，∴g(x)的“新驻点”的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，即a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).7．(2022·聊城模拟)“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为1.2mg/cm3，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过0.2mg/cm3，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为(参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)()A．6B．7C．8D．9答案C解析设该污染物排放前过滤的次数为n(n∈N*)，由题意得1.2×0.8n≤0.2，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))n≥6，两边取以10为底的对数可得lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))n≥lg6，即nlgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5×2,8)))≥lg2＋lg3，所以n≥eq\f(lg2＋lg3,1－3lg2)，因为lg2≈0.30，lg3≈0.48，所以eq\f(lg2＋lg3,1－3lg2)≈eq\f(0.30＋0.48,1－3×0.30)＝7.8，所以n≥7.8，又n∈N*，所以nmin＝8，即该污染物排放前需要过滤的次数至少为8次．8．(2022·茂名模拟)已知x，y，z均为大于0的实数，且2x＝3y＝log5z，则x，y，z大小关系正确的是()A．x>y>z B．x>z>yC．z>x>y D．z>y>x答案C解析因为x，y，z均为大于0的实数，所以令2x＝3y＝log5z＝t，则t>1，进而将问题转化为函数y＝2x，y＝3x，y＝log5x与直线y＝t(t>1)的交点的横坐标之间的关系，作出函数图象，如图，由图可知z>x>y.9．(2022·湛江模拟)已知当x∈(0，＋∞)时，函数f(x)＝kex的图象与函数g(x)＝eq\f(2x,2x＋1)的图象有且只有两个交点，则实数k的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(e),2e))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(e),e)，＋∞))答案A解析由题设，当x∈(0，＋∞)时，k＝eq\f(2x,ex2x＋1)，令h(x)＝eq\f(2x,ex2x＋1)，则h′(x)＝－eq\f(22x－1x＋1,ex2x＋12)，所以当0<x<eq\f(1,2)时，h′(x)>0，则h(x)单调递增；当x>eq\f(1,2)时，h′(x)<0，则h(x)单调递减．又h(x)>0，h(x)≤heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(\r(e),2e)，所以当0<k<eq\f(\r(e),2e)时，直线y＝k与y＝h(x)的图象有两个交点，即函数f(x)＝kex的图象与函数g(x)＝eq\f(2x,2x＋1)的图象有且只有两个交点．10．(2022·湖南联考)已如函数f(x)＝2x－eq\f(1,2x)＋lg

eq\f(x＋3,3－x)，则()A．f(1)＋f(－1)<0B．f(－2)＋f(2)>0C．f(1)－f(－2)<0D．f(－1)＋f(2)>0答案D解析因为f(－x)＝2－x－eq\f(1,2－x)＋lg

eq\f(－x＋3,3＋x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2x)＋lg

\f(x＋3,3－x)))＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝0，故A，B错误；又因为f(x)＝2x－eq\f(1,2x)＋lg

eq\f(x＋3,3－x)＝2x－eq\f(1,2x)＋lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(6,x－3)))，且eq\f(x＋3,3－x)>0，即(x＋3)(3－x)>0，解得－3<x<3，根据单调性的结论可知f(x)在(－3,3)上单调递增，所以当x∈(0,3)时，f(x)>0，当x∈(－3,0)时，f(x)<0，所以f(1)－f(－2)＝f(1)＋f(2)>0，C错误；f(－1)＋f(2)＝f(2)－f(1)>0，D正确．11．(2022·昆明模拟)已知55<94，134<95，设a＝log52，b＝log95，c＝log139，则()A．a<b<c B．b<a<cC．b<c<a D．c<a<b答案A解析由已知得a，b，c∈(0,1)，∵eq\f(a,b)＝eq\f(log52,log95)＝log52·log59<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(log52＋log59,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(log518,2)))2<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(log525,2)))2＝1，∴a<b，∵55<94，∴5<4log59，即b＝log95＝eq\f(1,log59)<eq\f(4,5)，∵134<95，∴4<5log139，即c＝log139>eq\f(4,5)，∴b<c，综上，a<b<c.12．设x1，x2分别是函数f(x)＝x－a－x和g(x)＝xlogax－1的零点(其中a>1)，则x1＋4x2的取值范围为()A．(4，＋∞) B．[4，＋∞)C．(5，＋∞) D．[5，＋∞)答案C解析令f(x)＝0，得x1＝，即eq\f(1,x1)＝，所以x1是y＝eq\f(1,x)与y＝ax(a>1)图象的交点的横坐标，且显然0<x1<1.令g(x)＝0，得x2logax2－1＝0，即logax2＝eq\f(1,x2)，所以x2是y＝eq\f(1,x)与y＝logax(a>1)图象的交点的横坐标，因为y＝ax与y＝logax关于y＝x对称，所以交点也关于y＝x对称，所以有x1＝eq\f(1,x2)，所以x1＋4x2＝x1＋eq\f(4,x1)，令y＝x＋eq\f(4,x)，易知y＝x＋eq\f(4,x)在(0,1)上单调递减，所以x1＋4x2>1＋eq\f(4,1)＝5.二、填空题13．(2022·成都模拟)已知两个条件：①a，b∈R，f(a＋b)＝f(a)·f(b)；②f(x)在(0，＋∞)上单调递减．请写出一个同时满足以上两个条件的函数____________．答案f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x(答案不唯一)解析由题意知，是指数函数里的减函数，故可以是f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\v