2019-2020学年高考仿真模拟数学试卷含解析【加15套高考模拟卷】

福建省福州屏东中学2019-2020学年高考仿真模拟数学试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）

A.4万B.2%

4乃

C.3D，

2.执行如图所示的程序框图，则输出x的值为（）

A.-2B.---

3

j_

C.2D.3

3.如图所示，在斜三棱柱ABC-A4G中，^BAC=90°,BC^AC,则点C；在底面ABC上的射

影〃必在（）

A.直线AB上B.直线上c.直线AC上D.内部

4.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）

4

5.已知圆（无一2）2+产=1上的点到直线y=岳+/?的最短距离为6,则人的值为（）

A.-2或2B.2或4由一2C.-2或4力+2。.一2或？

6.已知AABC的三个内角A、B、C所对边长分别为a、b、c,向量,『（a+c,a—b）,，=（b,a—c）,若、

〃:，则NC=（）

nJIit2n

A.6B.3C.2D.T

7.某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为P=160-2无，生产x件

所需成本为C（元），其中C=500+30x元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是

（）

A.20<x<30B.20<X<45C>154X430D15<X<45

8,已知40,3）,若点P是抛物线f=8y上任意一点，点0是圆为2+（了-2）2=1上任意一点，则局~

的最小值为（）

A.4g—4B.2>/2-1c.2行一2D,4V2+I

9.“牟和方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全

相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上（图1）,好似两个扣合（牟合）在一起的

方形伞（方盖）.其直观图如（图2）所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，当其正视图与侧

视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（）

31的2

cbbd

A.mB.a，。c.'D.'

io.以尸0,4(〃>0)为焦点的抛物线c的准线与双曲线f—y2=2相交于M,N两点，若AMNF为

I2J

正三角形，则抛物线。的标准方程为()

A.y2-2A/6XB.y2=45/6x

Cx2=4s/6y0%2=2娓y

11.已知函数"x)=Asin(GT+e),(4>0,<y>0,|同eg的部分图象如图所示，则使

\2)

/(a+x)-/(a-X)=0成立的a的最小正值为()

12.设命题P：mx(,e(0,+8),3X°+x=-^-;命题中力上€(0,+8),a+：方+!中至少有一个不小于2,则下

u2016I)a

列命题为真命题的是()

A.pAq

B.「P)Aq

C.pA「q)

D.(rp)A(rq)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

.1'

<-->

13.已知数列伍"｝的前〃项和为S",且S"=2a“-1,则数列J的前6项和为.

14.已知向量。与b的夹角为30。，匕一4=2,则H+4的最大值为.

15.函数/（*）=lnx+2x在点（x（）"（Xo））处切线斜率为3,则〃/）值为.

16.已知定义在R上的偶函数"X）满足""+2）=/（%）,当工目0,1］时，/（x）=e,-1,则

/（2018）+/（-2019）=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图所示，AABC中，B=^-,BD=ABC（O<A<l）,AD=y/3BD=y/3,AC=y/^3.求

证：AABD是等腰三角形；求4的值以及A4BC的面积.

18.（12分）已知曲线E的极坐标方程为4（p2-4）sin20=（16-p2）cos20,以极轴为x轴的非负半轴，极

点O为坐标原点，建立平面直角坐标系.写出曲线E的直角坐标方程；若点P为曲线E上动点，点M为

行26

X=­A/2H--------1

<

y=

线段OP的中点，直线1的参数方程为I5（t为参数），求点M到直线1的距离的最大值.

19.（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAO为等边三角形，且平面PA。1.底面ABCO,

PM=APC且若二面角M-AB-D

的余弦值为7,求实数九的值.

20.（12分）在儿480中，内角A、8、C的对边分别为。、卜、c,且满足sir?A+sinAsin3-6sin28=0.

3

—cosC

求人的值；若4,求sin8的值.

21.（12分）2019年2月25日，第11届罗马尼亚数学大师赛（简称）于罗马尼亚首都布加勒斯特

闭幕，最终成绩揭晓，以色列选手排名第一，而中国队无一人获得金牌，最好成绩是获得银牌的第15名，

总成绩排名第6.而在分量极重的国际数学奥林匹克UMO）比赛中，过去拿冠军拿到手软的中国队，也

已经有连续4年没有拿到冠军了.人们不禁要问“中国奥数究竟怎么了？"，一时间关于各级教育主管部门是

否应该下达“禁奥令”成为社会热点.某重点高中培优班共50人，现就这50人“禁奥令”的态度进行问卷调

查，得到如下的列联表：

不应下“禁奥令”应下“禁奥令,，合计

男生5

女生10

合计50

若采用分层抽样的方法从50人中抽出10人进行重点调查，知道其中认为不应下“禁奥令”的同学共有6人.

请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为对下“禁奥令”的态度与性别有关？请说明你

的理由；现从这10人中抽出2名男生、2名女生，记此4人中认为不应下“禁奥令”的人数为彳，求〈的分

布列和数学期望.

参考公式与数据：K?=---------"(小姐------

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

P(Kb勺)0.1000.0500.0100.001

k。2.7063.8416.63510.828

x+3)0

22.(10分)设P：实数x满足(x-3a)(x—a)<0,4：实数%满足.当时，若八夕为真,

求实数%的取值范围；当〃<°时，若〃是r的必要条件，求实数。的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1、B

2、A

3^A

4、A

5、D

6、B

7、B

8、A

9、A

10、c

11、c

12、B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

63

13、32

14、4+26

15、2

16、eT

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）见解析（2）2=-,亚

34

【解析】

试题分析：（1）在入48。中，由正弦定理得任■=———，进而得N8AO=X，从而得NAOB=工,

sinBsmZBAD66

即可证得；

(2)在AAC。中，由余弦定理：AC2=AD2+CD2-2AD1CDZADC,得CD=2,从而得4,

利用SMBC=gxABxBCxsinB求面积即可.

试题解析：

ADBD

（1）在"8。中，由正弦定理得

sinBsinZBAD

,/八4八BDxsinB1兀’…c2兀

则smABAD=---------=—,:./BAD——,4ADB=兀--------

AD263~6~~6

・•・AABD是等腰三角形;

兀

(2)由(1)知：Z.BAD-Z.BDA——,故AB=BD=1,

6

在AACQ中，由余弦定理：AC2=AD2+CD2-2AD1CDZADC

即13=3+。。2-2S算£)

整理得C£P+38—10=0,解得CD=-5(舍去)，CD=2,：.BC=BD+CD=3,故，=；；

3百

—xABxBCxsinB=—xlx3x

22~T丁

18、(1)x2+4y2=16；(2)可

【解析】

【分析】

（1）利用极坐标和直角坐标的互化公式求解;

(2)先求出点M的坐标，再利用点到直线的距离公式可求最值.

【详解】

(1)由4(p2-4)sin20=(16-p2)cos204p2sin20+p2cos20=16,利用互化公式可得/+4、)=16；

所以曲线E的直角坐标方程为：x2+4y2=16.

(2)直线I的普通方程为：x-2y+3V2=0.

设P(4cosa,2sina),则M(2cosa,sina)

71

,小士小”「412cosa-2sina+3夜I2>/2cos|a+|+3>/2572t—

点M到直线1的距离d=l___________________1=I4)S牛=M

75

6忑

【点睛】

本题主要考查极坐标和直角坐标的相互转化及利用参数方程求解最值问题，侧重考查了数学建模和数学运

算的核心素养.

19、(1)详见解析；(2)

【解析】

【分析】

(1)取AD的中点O,连OC,OP,可证P0_LA£>,可得PO_L平面ABCD,从而BALP0,再证明

ABL平面P4。，即可得证(2)分别以OCQDQP为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系O-肛z,计

算平面ABM和平面ABD的法向量，利用其夹角的余弦公式即可求出.

【详解】

(1)证明：取AD的中点O,连OC,OP

•••/PAD为等边三角形，且O是边AD的中点

APO1AD

•••平面PAD1底面ABCD,且它们的交线为AD

:.PO,平面A5CO

/.BA±P0

VBA±AD,BADryPO=O

：.AB±平面PAD

:.PD±AB

⑵分别以OCQDQP为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系O-xyz,

则4(0,T,0),8(1,尸(0,0,向,C(l,0,0)

•••PC=(1,0,-V3),OP=(0,0,>A).-.PM=2PC=(2,0,-732)

・・・OM=OP+PM=(40,6一g/l),即：—

设〃7=（%,〉,Z）,且〃?是平面ABM的一个法向量,

•••AB=(1,O,O),4"=卜,1,后-加)

x=0

4x+y+6(1-2)z=0

取〃？

而平面ABD的一个法向量为OP=（0,0,73）

0+0+6

:.cos(m,OP)=_V21

八,3(71-1)2

A——或%=—0<2<1

33

/.A=-

3

【点睛】

本题主要考查了线线垂直、线面垂直的判定与性质，二面角的求法，属于中档题.

20、(1)2；(2)

8

【解析】

【分析】

siri/A

（1）对sirA+sinAsinB-6sin28=0两边同除以sin^B，即可求得一二=2,结合正弦定理即可得解。

sinn

（2）由余弦定理及刍=2可得c=缶，再利用余弦定理即可求得COSB=X2,问题得解。

b8

【详解】

(1)因为sii/A+sinAsinB—6sin2B=0,sinBwO,

rsmAj+迦一6=0,得吗=2或*=-3(舍去),

所以

<sinBIsinBsinBsinn

sinA八

由正弦定理得-=——=2.

bsinn

^2>2_2

(2)由余弦定理得cosC=M*--3①

2ab4

a

将z2,即a2〃代入①，得5/—。2=3从，得c=@,

〃2222b2+4b2-b2572

由余弦定理得：cosB=2二——,即：cosB

2ac2x2bxy/2b-8

贝!lsinB=Jl-(cos6)

【点睛】

本题主要考查了正、余弦定理及同角三角函数基本关系，考查计算能力及方程思想，属于中档题。

21、（1）有99%的把握；（2）见解析.

【解析】

【分析】

n(ad-be?

（1）根据所给数据可补充列联表，利用公式K?求得K?，与邻界值比

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

较，即可得到结论；（2）J所有可能取值有1,2,3,4,结合组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机

变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得J的数学期望.

【详解】

（1）列联表补充如下:

不应下“禁奥令”应卜"禁奥令"------1

男生20525

女生101525

合计302050

50x(20xl5-10x5)225

所以K?的观测值，K2==*8.333>6.635,

30x20x25x253

所以有99%的把握认为是否应该下“禁奥令”与性别有关.

⑵由题意，可知在这10人中，男、女生各5人，其中男生有4人、女生有2人认为不应该下“禁奥令”，J

所有可能取值有1,2,3,4.

J42_.

P（"2）=

=蟹喘1005

C：C：C：+C；C；C；_40.6

P（"3）=P(4=4)=

100'ClCj-ioo'

所以4的分布列是

1~~3~

42406

诉_100100

12+2x42+3x40+4x6

所以E（J）=2.4(A)

100

【点睛】

本题主要考查古典概型概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题.求解数学期望问

题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机

变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算

关；（3）公式应用关.

22、(1)(―oo,—3)U(—2,4-00)；(2)(一2,—1).

【解析】

分析：（I）利用一元二次不等式和分式不等式的解法即可化简命题P、4,求命题P、4为真的并集，即

可得出答案.

（II）。是「夕的必要条件，可得命题F对应的集合为命题”对应的集合的子集，即可求出答案.

详解：解：（I）当。=1时，P：1<x<3,q：x<-3或x>-2.

因为pvq为真,所以p,4中至少有一个真命题.

所以l<x<3或x<-3或x>—2,

所以x<—3或x〉一2,

所以实数x的取值范围是（9,一3）5—2,位）.

（U）当。<0时，P：3a<x<a,

x+3

由——〉0得：q：x<-3或x〉—2,

x+2

所以-1夕：—3Wx4—29

因为〃是「夕的必要条件，

所以{x|-3<2}={x|3Qvxv〃},

3。<—3

所以c,解得一2<〃v—1,

a>-2

所以实数。的取值范围是（-2,-1）.

点睛：本题考查了一元二次不等式的解法、简单逻辑的判断方法和必要条件的应用，考查了推理能力与计

算能力，利用复合命题之间的关系是解题关键.2019-2020高考数学模拟试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.已知双曲线C:：•一方•=l(a>0,〃>0)的右焦点为F,P为双曲线C右支上一点，若三角形PFO为

等边三角形，则双曲线C的离心率为

叵

A.G+1B.2C.百D.2

2.已知函数〃x)=sinGx-cos<yx3>0),若集合A=｛xw[O,%)|/(x)=-l｝只含有3个元素，则实

数0的取值范围是()

[-,2-,2(2,—卜二

A.12」B\_2」c.I4」口.I2_

3.等比数列｛a»｝中，q=J,q=2,则%与线的等比中项是()

±11

A.±4B.4C.4D.4

4.已知AABC中，Bq=2,84-8C=-2.点P为BC边上的动点，则PC-(PA+P8+PC)的最小值

为()

_3_25

A.2B.4c.-2D.12

5.若=则cos2a等于()

3££

A.5B.2C.3D.-3

6.小华爱好玩飞镖，现有如图所示的两个边长都为2的正方形ABC。和。尸。/?构成的标靶图形，如果。

点正好是正方形A8C。的中心，而正方形。PQR可以绕点。旋转，则小华随机向标靶投飞镖射中阴影部

分的概率是()

7,《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的

容积共3升，下面3节的容积共4升，现自上而下取第1,3,9节，则这3节的容积之和为（）

nn1925

A.3升B.6升c.9升D.12升

8.已知复数z=-l+a（l+i）（i为虚数单位，a为实数）在复平面内对应的点位于第二象限，则复数z

的虚部可以是（）

_j_.j_.1

A.2B.2c.2D.2

9.如图，AB,CD是半径为1的圆O的两条直径，AE=3EO,则EC・E£）的值是（）

10.中国古代将物质属性分为“金、木、土、水、火”五种，其相互关系是“金克木，木克土，土克水，水

克火，火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列，则属性相克的两种物质不相邻的排法种数为（）

A.8B.10C.15D.20

11.已知集合4={*|。-1<%<。+2},8={x|3<x<5},则能使A28成立的实数a的取值范围是

（）

{a|3<a<4}{a|3<a<4}{a\3<a<4}0

12.如图，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积为（）

正住殿图恻底翅图

情初图

A.1BC.3D.4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图，已知OA=OB=OC,AB=2,ZABC=135>OAOB=2,则.

B

2222

—+-yy=l（o>b>0）—=l（m>0,n>0）pp

14.已知椭圆。一旷与双曲线，〃-n-具有相同的焦点々，%,且在

71

°N百?居=-2,2

第一象限交于点P,设椭圆和双曲线的离心率分别为'，,2,若3,则q+4的最小值为

2x-^+l>0

x+m<Q

y+2>0，表示的平面区域内存在点0（X。，为）,满足毛―2%=2

15.已知关于x,y的不等式组

则m的取值范围是•

16.已知G为凶BC的重心，点「、°分别在边A3,AC上，且存在实数f,使得尸G=rPQ.若

UUUULU11+1

AP=AABAQ=/JACT贝M.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图1,在边长为3的菱形ABC。中，已知AE=EC=1,且族，6c.将梯形形所沿

直线EF折起，使BE1平面COM，如图2,「，”分别是引工^^上的点.

若平面PAE平面CMf,求AM的长；是否存

BP

在点P,使直线。尸与平面PAE所成的角是45?若存在，求出8。的值；若不存在，请说明理由.

（…、旧-1

pcos（夕+—）=-----

18.（12分）已知在极坐标系中，直线/的极坐标方程为62,曲线°的极坐标方程为

2

p（l-cos^）-2Cos^=0>以极点为原点，极轴为无轴正半轴，建立平面直角坐标系.写出直线/和曲线0

的直角坐标方程；若直线/‘：了=百（》一2）与曲线°交于「，。两点，加（2,0）,求的值.

19.（12分）如图，在四棱锥尸―A5CO中，AB//CD,AB=\,CD=3,AP=2,£>P=2芯,

NPAD=60,AB_L平面PA。，点M在棱PC上.

求证：平面PAB，平面PCD.若直线PA//平面MBD,求此时三棱锥

P—MBD的体积.

12

f(x)=minx——x(mG/?,m>0)

20.(12分)已知函数.2.若机=2,求f0）在（1,/（1））处的切线方程;

若y=在［公述］上有零点，求加的取值范围.

c：《+A"〉o）尸［也用r

21.（12分）已知椭圆a-b-的焦距为2,点I1在椭圆C上.求椭圆C的标

准方程；若直线4交椭圆于两点A、B,且“&%）是线段AB的中点，直线4是线段AB的中垂线，证

明直线12过定点，并求出该定点坐标.

22.（10分）已知数列&｝的前n项和J满足店=6二+1（"'2,"GN）,且4=1求数列的通项公

,12

b”=（1T>_

式”"；记凡⑶川，7"为化/的前八项和，求使“〃成立的〃的最小值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1、A

2、D

3、A

4、D

5、A

6、D

7、B

8、D

9、B

10、B

n、c

12、B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.273

2+6

14、2.

16、3

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17个...V5BP4-2V2

17>⑴AM=——(2)---=--------

3803

【解析】

【分析】

(1)先平面PAE与平面CORE有公共点£,得平面PAE与平面COPE相交，设交线为EQ,根据平

面PAE平面CMF得到EQCF,设EQcOE=Q,再得到EQ=CE,同理的得到AQMF,

AMQF

根据不•=宗即可求出结果；

ADQD

(2)以点尸为原点，分别以尸E,FD,FA所在直线为x,%z轴建立空间直角坐标系，设BP=&BD，

用义表示出平面的法向量，根据直线与平面PAE所成的角是45，即可求出结果.

【详解】

解：(1)证明：因为平面PAE与平面COFE有公共点E,

所以平面PAE与平面COfE相交，设交线为EQ,若平面PAE平面CMP,

因为平面CDFEc平面CMF=b,则EQCF.

设EQcOF=Q,又因为EQCE,所以FQ=CE,

同理，由平面PAE平面CME,

因为平面PAEc平面ADQ=AQ,平面CMFn平面ADQ=MF,

所以AQMF.

AMQF1「

所以=77=后=彳•因为，AF=1,DF=2,所以4)=6，

ADQD3

所以AM=75

3

(2)在图2中，以点尸为原点，分别以/E,FD,以所在直线为x，〉'，z轴建立空间直角坐标系,

如下图所示.

易得EF=2&，则网2立,0,0）,又A（0,0』），6（20,0,2）,£>（0,2,0）,

所以£0=（0,2,0）,AE=（272,0,-1）,60=卜2后,2,—2）,AB=（2>/2,0,1）

设BP=2BD，贝ij8尸=（一2血42%—2九）

则AP=A6+8尸=仅夜一2722,2/1,1-22）

设平面PAE的法向量为〃=（x,y,z）,由它与AE，AP均垂直可得

2亚x-z=0

（2V2-2V22）x+22y+（l-22）z=0

令X=l,可得Z=2及，y=3立-巫,

4

(2J1、

所以〃=1,3>/2--------,2>/2.

[Z)

若存在点P,使。方与平面PAE所成的角是45,

2（30—胃

贝〈〃,FD}=J：■，解得；4±2夜

U|cos,=4I=因为;le[0,l],

，

7

所以人士逑，即世=上谑

3BD3

【点睛】

本题主要考查面面平行的性质，以及已知线面角求其它值的问题，需要熟记面面平行的性质定理以及空间

向量的方法求线面角等，属于常考题型.

,112

18、(1)V=2x；(2).

)9

【解析】

【分析】

(1)利用极坐标与直角坐标互化公式即可求解；(2)写出r的参数方程，代入曲线c,利用韦达定理及

参数t的意义即可求解

【详解】

(1)因为直线1：pcos(0+,1=；I故GpcosO-psin®-g+l=O，

即直线I的直角坐标方程：V3x-y-^3+l=O；

因为曲线C：p(l-cos20)-2cosO=O,则曲线。直角坐标方程：y2=2x.

x-2+—t

2

(2)设直线「参数方程为\(t为参数)

将其代入曲线C的直角坐标系方程得3t2-4t-16=0,

164

设P,Q对应的参数分别为it?,则t&=一51ft?

22222

I+|MQ|=|tt|+|t2|=(t,+12)-2t,t2=9.

【点睛】

本题考查极坐标与直角坐标互化，直线参数方程，直线与抛物线的位置关系，弦长公式，准确计算是关键,

是基础题.

19、(1)见证明；(2)/小。=立

r-MDU2

【解析】

【分析】

⑴先利用正弦定理以及三角形内角和定理证明DP±AP，结合AB1DP,可得DP1平面PAB,由此能

证明平面PA8L平面PC。；(H)连结AC与8。交于点N,连结MN，可证明

131

MBN~ACDN,PM=/C,由=一彳丫〜%。二々％.“。，由此能求

出三棱推P-M8O的体积.

【详解】

(I)因为AB_L平面PAD,

所以ABJ_DP,

又因为DP=26，AP=2,NPAD=6()。,

PDPA

rfa___________=_________可__得sinNPD4=一，所以NPDA=30。,

sinZPAD~sinZPDA2

所以NAPD=90°,即DP_LAP,

因为ABcAP=A,所以DP_L平面PAB,

因为OPu平面PC。，所以平面PABJ_平面PCD

(fl)连结AC,与BD交于点N,连结MN,因为PA//平面MBD,

MN为平面PAC与平面MBD的交线，所以PA//MN,

丁，，MCNC

所以——=——

MPNA

在四边形ABCD中，因为AB〃CD,所以A4BN〜ACDN,

所以.=且=屋3,如

PM=-PC.

NAAB1MP4

因为AB_L平面PAD,所以AB_LAD,且平面APDJL平面ABCD,

在平面PAD中，作PO_LAD,则POJ_平面ABCD,

因为Vp-MBD=Vp-BCl)—'

、31

所以Vp_MBD=^P-BCD~WVp-BCD=^P-BCD

因为CD=3.所以=-x^x3x4xV3=2>/3,

所以V»MBD=当

【点睛】

本题主要考查面面垂直的判定定理，以及锥体的体积公式，割补法的应用，属于中档题.解答空间几何体

中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确

运用有关的定理，找出足够的条件进行推理.

20、(1)2x-2y-3=0(2)[e—]

92

【解析】

【分析】

(D对函数进行求导，由尸(1)=1得切线的斜率，再由/(l)=-g,利用点斜式得到切线方程.

(2)利用导数对m分类讨论说明/(x)的单调性及极值，结合零点存在定理分别列出不等式，可求解m

的范围.

【详解】

12

(1)m=2时，/(1)=--,/'(x)=-x,

，X

=1.故所求切线方程为y+；=x-l,即2x—2y-3=().

(2)依题意r(x)="-x=，(赤+x)(标

XX

f(y[e}>0/

①当0<m<e时，/'(x)«0,/(x)在［&,e］上单调递减，依题意，<，解得e<m<—

〃e)402

故此时/"=e.

/(V^)<0m<e

②当m2e?时，f(x)>0,/(x)在上单调递增，依题意，.，即《e1

J(e)20m>——

2

此不等式无解.(注：亦可由得出/(力>(),此时函数y=/(x)无零点)

③当时，若五)，/'(x)>0,/(x)单调递增,

z

XE(五,e],/(x)<0,/(x)单调递减,

由m>e时，/(五)=f>0.

故只需/(e)W0,即机一;e?KO,又eV^，

2

故此时e<m<—

2

综上，所求的范围为e,—.

2

【点睛】

本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数研究函数的零点、单调性、极值与最值问题，涉及零点存在

定理的应用，属于中档题.

22

21、(1)土+匕=1；(2)见解析

43

【解析】

【分析】

(1)由题意布列关于a,b的方程组，即可得到椭圆。的标准方程;

/3

(2)设直线4的方程为联立方程，由韦达定理可得A=-11.又4上3故直线的

方程为y-y0=?(x—l),即y=?(4x—l),从而得证.

【详解】

26,

---1----=1

(1)由题意得，］a246,解得/=4，〃=3,

〃=1

•••椭圆C的标准方程为三+匕=1.

43

33

(2)由题意得点M在椭圆内部，则-万<>0<5.

当直线《不垂直x轴时，设直线4的方程为y—%=后(％—1)，

'22

土+匕=1

联立，43,整理得

了_%=心-1)

(3+4k2)x2+(8佻-8二)x+4K-8@()+4y；-12=0.

设4(玉,乂)，B(x,,_y2),则用+/=一§!”，

D十^rK

“为线段A8的中点，，注三=1,即-沏。-8K=2,解得左

又直线4的斜率为争，

•••直线4的方程为1一%=孕(一1)，即y=4(4x-l),

・・•直线，2过定点(；，o)；

当直线4垂直于X轴时，直线4为X轴，经过点

综上所述，直线6过定点

【点睛】

本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、

直线斜率公式、韦达定理的合理运用.

22、(1)=2n-l；(2)”的最小值为5.

【解析】

【分析】

(1)先由底=J$:+l(〃22,〃eN),可知数列｛后｝为等差数列，进而求出S“的表达式，再由

4=5“-Si求出％的通项公式；(2)利用裂项相消求和法先求出北，进而可以求出满足题意的

【详解】

(1)由已知其一用'=1,.•.数列｛点｝为等差数列，且店一册'=1,8=1.•事=n,即

2

Sn—n,当“22时，a”=S“-S“_]=I一(〃-1)~=2〃-1,

又q=1也满足上式，=271-1;

11(11A

⑵由⑴知'2=(21)7+1)=5［罚一石)

T”,11111、1(,1An

〃2(3352n-\2n+lJ2(2n+lJ2n+l

2/7

由％N—有〃224〃+2，有(〃—2)>6,所以〃25,

n

的最小值为5.

【点睛】

裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，然后把数列的每一项都按照这种方法拆成两项的差，以达到在

求和的时候正负相抵消的目的，使