第15讲比例的应用

第15讲比例的应用【学习目标】比例的应用是对比例的意义和性质的应用拓展，重点在于灵活的根据题意寻找比例关系，然后利用比例的意义和基本性质进行解题．其中，方程的思想尤为重要．比例的应用题实际上是分数应用题的另一种表达方式，而且熟练掌握比例的应用对于之后学习百分比的应用也有一定的帮助作用．【基础知识】一：根据比例的意义和性质1.根据比例的意义和性质解题根据，若已知其中三个量，则可以求解第四个量的值．如：．简单的比例问题，解题过程中，首先根据比例的意义寻找两个比值相等的比，组成比例，然后利用比例的性质，求解未知量．2.比例尺比例尺是表示图上一条线段的长度与地面相应线段的实际长度之比．即：比例尺=图上距离:实际距离．二：和差关系与比例分配1.已知两个量的数量比与数量和两个量A、B，数量之比为a:b，数量之和为x，则A的数量为，B的数量为．2.已知两个量的数量比与数量差两个量A、B，数量之比为a:b（），数量之差为x，则A的数量为，B的数量为．3.设k法若A:B=a:b，可设A=ak，B=bk，其中，那么：，．【考点剖析】考点一：根据比例的意义和性质例1．用比例的方法解答：（1）10元钱可以买6个橙子，现要买21个橙子，需要多少钱？（2）10元钱可以买6个橙子，现共有25元，能买多少个橙子？【难度】★【答案】（1）35元；（2）15个．【解析】（1）设买21个橙子，需要元．由题意可得，解得．（2）设有25元，能买个橙子．由题意可得，解得．答：要买21个橙子，需要35元；有25元，能买15个橙子．【总结】本题考查了正、反比例应用题，解答此题的关键是，先判断题中的两种相关的量成何比例，即两个量的乘积是定值则这两个量成反比例，两个量的比值是定值则这两个量成正比例，然后找准对应量，列式解答即可．例2．火车站的检票口5分钟通过205人，那么1230位乘客全部通过检票口需要______分钟．【难度】★【答案】30．【解析】设1230位乘客全部通过检票口需要分钟．由题意可得，解得．【总结】本题利用正、反比例的概念解决实际问题．例3．15本相同厚度的练习本叠起来，总高度为20厘米．如果将21本这样的练习本叠起来，那么总高度为多少？【难度】★【答案】28厘米．【解析】设总高度为厘米．由题意可得，解得．答：总高度为28厘米．【总结】本题利用正、反比例的概念解决实际问题．例4．小明读一本书，如果每天读30页，6天可以读完，若每天读20页，需要多少天才能读完？试说明读的天数之比与每天读的页数之比有怎样的关系．【难度】★【答案】9天；天数之比与页数之比成反比．【解析】设需要天才能读完．由题意可得，解得．天数之比与页数之比成反比．【总结】本题利用正、反比例的概念解决实际问题．例5．小明的身高是1.45米，他的影长是2米，在同一时间、同一地点测得一棵树影长4米，则这棵树实际高______米．【难度】★★【答案】．【解析】设这棵树实际高米，则，解得．答：这棵树实际高米．【总结】本题利用正、反比例的概念解决实际问题．例6．一幅地图的比例尺是1:1000000，图上6厘米表示实际距离______千米．实际距离150千米在图上要画______厘米．【难度】★★【答案】，．【解析】设图上6厘米表示实际距离厘米，则，解得厘米千米；设实际距离150千米在图上要画厘米，则，解得，∴6厘米表示实际距离60千米，实际距离150千米在图上要画15厘米．【总结】本题主要考查了比例尺的意义，注意图上距离与实际距离的单位要统一．例7．上海到北京的实际距离大约等于1100千米，在一幅地图上量得两地的距离为5.5厘米，则这幅地图的比例尺为____________．【难度】★★【答案】．【解析】1100千米=110000000厘米，∴比例尺为．【总结】本题主要考查了比例尺的意义，注意图上距离与实际距离的单位要统一．例8．某机床厂制造一批机床，3天生产了21台，结果再生产12天就完成了任务，则这批机床共有多少台？【难度】★★【答案】105台．【解析】设这批机床共有台，则，解得．答：这批机床共有105台．【总结】本题利用正、反比例的概念解决实际问题．例9．某工厂有一批煤，原计划每天烧12吨，可以烧50天，采取了节能措施后，每天比原计划节约，问这批煤可以烧多少天？【难度】★★【答案】天．【解析】节约后每天用煤（吨），设这批煤可以烧天，则，解得．答：这批煤可以烧天．【总结】本题利用正、反比例的概念解决实际问题．例10．飞机每小时飞行480千米，汽车每小时行驶90千米，飞机飞行小时的路程，汽车要行驶多少小时？试说明在路程相等的情况下，速度之比与时间之比的关系．【难度】★★【答案】24小时，在路程相等的情况下，速度之比与时间之比成反比．【解析】设汽车要行驶小时，则，解得．，，∴【总结】本题利用正、反比例的概念解决实际问题．例11．已知的三边之比为2:3:4，则相应三边上的高之比为____________．【难度】★★【答案】．【解析】∵三边之比为2:3:4，∴设三边长分别为、、，三边上的高分别为、、，由题意得：，化简得，∴．【总结】本题主要考查了三角形的面积公式及设法的使用，关键是根据三角形的面积 的公式计算．例12．用6只鸡可以换5只鸭，用4只鸭可以换3只鹅，那么40只鸡可以换多少只鹅？【难度】★★【答案】25只．【解析】令鸡、鸭、鹅分别用、、表示，则由题意可知：，，∵，，∴，设40只鸡可以换只鹅，则，解得，答：40只鸡可以换25只鹅．【总结】本题考查了简单的等量代换问题，会运用连比的性质．例13．甲、乙两个服装厂，日生产西服的数量比是5:4，两个厂生产的西服单价的比是12:7，那么这两个厂的日产值的比是多少？【难度】★★【答案】．【解析】两个厂的日产值的比是．【总结】本题考查了比的应用，解决本题的关键是利用总价、数量和单价的关系求出产值的比．例14．甲、乙两个仓库原有钢材的重量之比为4:3，若从甲仓库拉走8吨钢材，那么甲、乙两个仓库的钢材的重量之比为2:3，求甲仓库原有钢材多少吨？【难度】★★【答案】16吨．【解析】设甲仓库原有钢材吨、乙仓库原有钢材吨．由题意得：，解得，（吨）∴甲仓库原有钢材吨．【总结】本题考查了比的应用．考点二：和差关系与比例分配例1．公园中柳树和杨树的共40棵，且棵数之比为5:3，那么柳树和杨树各有多少棵？【难度】★【答案】柳树25棵，杨树15棵．【解析】柳树的棵数为：（棵），杨树的棵数为：（棵）．答：柳树有25棵，杨树有15棵．【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题，两个量、，数量之比为，数量之和为，则的数量为，的数量为．例2．师徒两人加工一批零件，师傅和徒弟的工作效率之比为7:4，完成任务时，师傅比徒弟多加工了90个零件，求这批零件的总数．【难度】★【答案】330件．【解析】师傅加工零件个数为：（个），徒弟加工零件个数为：（个），（个）答：这批零件共330个．【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题，两个量、，数量之比为，（），数量之差为，则的数量为，的数量为．例3．（1）已知两个数的比是2:7，且和为81，则这两个数分别为______和______；（2）已知被减数与差的比是5:3，减数是120，被减数是____________．【难度】★【答案】（1）18，63；（2）300．【解析】（1），；（2）．【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题．例4．小智和小方平均每人有50颗糖，小智的糖的颗数与小方的糖的颗数之比为7:3，求小智比小方多多少颗糖？【难度】★【答案】40（颗）【解析】∵小智和小方平均每人有50颗糖，∴两人一共有颗糖，（颗）答：小智比小方多40颗糖．【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题．例5．将300个苹果按4:5:6的比例分给幼儿园的小班、中班和大班三个班，那么小班、中班和大班各分得多少个苹果？【难度】★【答案】80，100，120．【解析】小班：（个），中班：（个），大班：（个）．答：小班、中班和大班各分得80，100，120个苹果．【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题．例6．三个数的平均数为120，这三个数的比是3:5:7，它们分别是______、______、______．【难度】★★【答案】72、120、168．【解析】由题意知三个数的和为，，，，∴这三个数分别是72、120、168．【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题．例7．一个长方形的长和宽之比为5:3，周长为24，则这个长方形长是_____，宽是______，的面积为______．【难度】★★【答案】，，．【解析】长方形的长是：，长方形的宽是：，∴面积为．【总结】本题考查了按比例分配应用题，关键是灵活利用长方形的周长公式．例8．已知，且，求．【难度】★★【答案】16．【解析】设，，，代入得，解得，所以．【总结】本题考查了比例的性质，解题的关键是注意比例的性质及设法的运用，设法，若，可设，，其中，那么：，．例9．甲、乙两个班共种树若干棵，已知甲班种的棵数的等于乙班种的棵数的，且乙班比甲班多种树24棵，甲、乙两个班级各种树多少棵？【难度】★★【答案】甲班种树96棵，乙班种树120棵．【解析】甲班与乙班所种棵数比是：，甲班的棵数：（棵），乙班的棵数：（棵），答：甲班种树96棵，乙班种树120棵．【总结】本题考查了按比例分配应用题，关键是根据已知条件求出甲乙两班所种棵数比．例10．一项工程，甲、乙两队合做20天完成，已知甲、乙两队每天完成的工作量的比是4:5，问甲、乙两队单独完成这项工程各需几天？【难度】★★【答案】甲单独完成这项工程需45天，乙单独完成这项工程需36天．【解析】甲、乙两队合做20天完成，可知甲、乙两队的工作效率和为，（天），（天）．答：甲单独完成这项工程需45天，乙单独完成这项工程需36天．【总结】本题考查了工程问题，根据工作效率、工作时间和工作量三者之间的关系是完成本题的关键．【过关检测】1.（青教院附中2019期中3）一辆汽车小时行驶30千米，行驶1千米需要多长时间，列式为()A.B.C.D.【答案】A；【解析】解：一辆汽车小时行驶30千米，行驶1千米需要多长时间，列式为，得，故答案选A.2.（2019进才北12月考3）在一幅地图上，量得A、B两地距离是7厘米,已知两地实际距离为350千米,则该地图的比例尺是（）A.1:50B.1:5000C.1:500000D.1:5000000【答案】D；【解析】解：根据题意，该地图的比例尺为：7厘米：350千米=7厘米：35000000厘米=1：5000000，故答案选D.3.（虹口区2019期末14）一幅地图比例尺是1︰6000000，上海到杭州地图上距离是3.5厘米，则上海到杭州的实际距离是千米．【答案】210；【解析】解：设上海到杭州的实际距离是x厘米，根据题意得，解得厘米，故千米.4.（川沙中学南校2019期末12）在一张比例尺为1：300000地图上量得A、B两地的距离是9厘米，那么A、B两地的实际距离是千米.【答案】27；【解析】解：设A、B两地实际距离是xcm，根据题意得，解得千米5，（卢湾中学2020期末12）在一张比例尺1:800000的地图上，量得上海浦东磁悬浮的线路长度为4厘米，那么它的实际长度是____________千米.【答案】32；【解析】解：设实际长度为x千米，则，解得x=32千米.6.（闵行区2020期末18）某校原有垃圾桶80个，其中老式垃圾桶和分类垃圾桶的比例是3：2，为了更好的落实“垃圾分类”，计划把老式垃圾桶更换成分类垃圾桶.另外再采购更换总数的25%作为备用，那么此次共需采购个分类垃圾桶.【答案】60;【解析】解：设更换的垃圾桶为x个，依题3：2=x:(80x)，解得x=48个，所以需要采购的分类垃圾桶为：48×（1+25%）=60个.7.（2019上南东12月考13）小A的身高是1.6米，他的影子长是2米.在同一地点测得一棵树影子长4米，这棵树高米.【答案】3.2;【解析】解：根据题意设树高h米，可得，解得h=3.2米.8.（哈尔滨松北2020期末18）如图，两个圆重叠部分的面积相当于大圆面积的，相当于小圆面积的，则大圆面积与小圆面积的比值为.【答案】4；【解析】解：设重叠部分的面积为s，则大圆面积为6s，小圆的面积为，故大圆与小圆的面积之比为：.9.（2019北蔡12月考18）两块同样重量的铜锌合金，第一块合金中铜与锌的质量之比是2:5,另一块合金中铜与锌的质量之比是1:3，现将两块合金合成一块，则新合金中铜与锌的质量之比为.【答案】；【解析】解：设每块铜锌合金的重量为m,则第一块合金中铜质量为，锌的质量为，第二块合金中铜质量为，锌的质量为，故两块合金合成一块，新合金中铜与锌的质量之比为：=.10（浦东南片十六校2020期末25）已知5公斤花生可榨油3公斤，问：（1）120公斤花生可以榨油多少公斤？（2）想得到60公斤油，需要花生多少公斤？【答案】（1）72公斤；（2）100公斤；【解析】解：（1）设120公斤花生可榨油x公斤，则，解得公斤；答：120公斤花生可以榨油72公斤（2）设需要花生y公斤，依题得，解得公斤.答：想得到60公斤油，需要花生100公斤.11．（2019大同初中12月考27）用解比例的方法求解：一位测量员把1.5米长的竹竿直立在地面上，测得竹竿的影长是1.2米，同时测得一根旗杆的影子是这竹竿的影长的6倍还多80厘米，求旗杆的长?【答案】10米；【解析】解：设旗杆的长度为x米，而旗杆的影子长为（6×1.2+0.8）米，则，解得x=10米.答：旗杆的长度为10米.12．（卢湾中学2020期末30）一只猎狗发现离它18米远的前方有一只狐狸在跑，它马上紧追，现在知道猎狗跑2步的路程狐狸要跑3步，而猎狗跑5步的时间狐狸可跑7步，问猎狗能追上狐狸吗？如果不能，请说明理由；如果可以，那么求出猎狗跑多少米追上狐狸？【答案】能，270米；【解析】解由题意得：猎狗与狐狸的速度比为：,即狐狸的速度是猎狗速度的；设猎狗追上狐狸时行了x米，则狐狸行了x米，可得方程：,，解得.答：猎狗跑270米追上狐狸.13．第一车坊工作间内第一小组与第二小组的工作人员的人数之比是5:3，第二车坊工作间突然遇上紧急事件，需要增加人员，即刻从第一小组和第二小组各调离2名到第二车坊工作间，这时如果从第一小组再调出4人到第二小组之后，第一小组人数与第二小组人数之比是1:2，问第一小组和第二小组原来各有多少人？【答案】10人；6人；【解析】解：设第一小组原来5x人，第二小组原来3x人，则，整理得，，解得，所以，，答：第一小组原来10人，第二