第13讲三角函数的应用（教师版）高一数学讲义（人教A版2019）

第13讲三角函数的应用目标导航目标导航课程标准课标解读掌握三角函数的图象与解析式之间的对应问题的处理方法.能结合实际生产与生活中与三角函数之间的密切关系，用三角函数这一数学模式解决与之相关的问题.能处理三角函数相关学科之间的问题，用三角函数这一重要工具解决与数学、物理学及其它学科与之相关联的问题.掌握数学建模的重要方法与步骤，并能严谨的应用数学知识解决问题.通过本节课的学习，要求掌握常见的三角函数应用问题的处理方法，了解并掌握数学建模的方法与步骤，能处理与三角函数相结合的数学问题、物理问题及与之相关的其它学科与生产、生活有密切联系的问题.知识精讲知识精讲知识点1．三角函数模型的简单应用三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测等方面发挥着十分重要的作用．教材中的例2对太阳光照以及潮汐问题的研究为我们展示了怎样运用模型化的思想建立三角函数模型的方法和过程．2．三角函数模型应用的步骤三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决．步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题．这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式．3．三角函数模型的拟合应用我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．【即学即练1】把函数y=sin的图象上所有点向右平移个单位长度，再将所得图象的横坐标变为原来的（纵坐标不变），所得图象的解析式是y=sin（ωx＋φ）（ω>0，|φ|<π），则（）A．ω=，φ=－ B．ω=2，φ=C．ω=2，φ=0 D．ω=2，φ= 【答案】C【解析】把函数y=sin的图象上所有点向右平移个单位长度得到函数y=sin=sinx的图象，再将所得图象的横坐标变为原来的（纵坐标不变），所得图象的解析式是y=sin2x，故ω=2，φ=0．【即学即练2】电流强度I（单位：安）随时间t（单位：秒）变化的函数I=Asin（ωt＋φ）的图象如图所示，则当t=秒时，电流强度是（）A．－5安 B．5安C．5安 D．10安【答案】A【解析】由题图可知A=10，=－，即T=，所以ω==100π，函数图象过点（0，5）且0<φ<，所以φ=，所以函数为I=10sin，当t=秒时，I=－5安．故选A．【即学即练3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin＋k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）A．5 B．6C．8 D．10【答案】C【解析】根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k=2，k=5，最大值为3＋k=8．【即学即练4】如图所示，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，－），角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为（）【答案】C【解析】因为P0（，－），所以∠P0Ox=－．因为角速度为1，所以按逆时针旋转时间t后，得∠POP0=t，所以∠POx=t－．由三角函数定义，知点P的纵坐标为2sin，因此d=2．令t=0，则d=2=．当t=时，d=0．故选C．【即学即练5】某弹簧振子做简谐振动，其位移函数为，其中表示振动的时间，表示振动的位移，当时，该振子刚好经过平衡位置（平衡位置即位移为0的位置）5次，则在该过程中该振子有（）次离平衡位置的距离最远．A．3 B．2 C．5 D．5或6【答案】D【分析】根据题意画出函数的草图，根据函数的图像，得出该振子离平衡位置的距离最远的次数.【详解】根据题意，画出草图，由图可知，时，该振子离平衡位置的距离最远的次数共5或6次，故选：D．【即学即练6】我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角的面度数为，则角的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用扇形面积公式，根据面度数定义，求角.【详解】由面度数的定义可知，即，.故选：B能力拓展能力拓展考法011．函数解析式与图象的对应问题（1）已知函数解析式判断函数图象，可结合函数的有关性质排除干扰项即可得到正确的选项.（2）函数图象与解析式的对应问题是高考考查的热点，解决此类问题的一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据.【典例1】．已知函数．（1）用“五点法”作出在长度为一个周期的闭区间上的简图；（2）请说明函数的图像可以由正弦函数的图像经过怎样的变换得到．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）先由函数解析式，按五个关键点列表，再描点连线，即可得出图像；（2）根据函数的平移变换以及伸缩变换的原则，即可得出结果.【详解】解：（1）按五个关键点列表：00300简图如图所示．（2）先将函数图像上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到的图像；再将得到的图像向左平移个单位长度，得到的图像；最后将得到的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到的图像．【点睛】本题主要考查三角函数图像的画法，以及三角函数的伸缩变换与平移变换，熟记五点作图法，以及图像变换的法则即可，属于常考题型.【即学即练7】函数的图象是（）【答案】A【解析】是偶函数，∴可排除B、D；又当时，，故选A．【名师点睛】该题也可直接利用余弦函数的定义域得到，显然只有选项A满足题意，直接得到正确的选项.所以该类问题抓住函数的“特性”很重要．【即学即练8】函数y＝sin|x|的图象是（）【答案】B【解析】令f(x)＝sin|x|，x∈R，则f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)，∴函数f(x)＝sin|x|为偶函数，排除A；又当x＝时，y＝sin||＝sin＝1，排除D；当x＝时，y＝sin||＝sin＝－1，排除C，故选B．【名师点睛】解决函数图象与解析式对应问题的策略（1）解决此类问题的一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、图象的对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据．（2）利用图象确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，实质就是确定其中的参数A，ω，φ．其中A由最值确定；ω由周期确定，而周期由特殊点求得；φ由点在图象上求得，确定φ时，注意它的不唯一性，一般是求|φ|中最小的φ．考法02函数解析式的应用（1）已知实际问题的函数解析式解决相关问题，题目一般很容易，只需将具体的值代入计算即可.（2）三角函数模型中函数解析式的应用主要是对相关量物理意义的考查.【典例2】．如图，某海港一天从的水位高度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数．（1）求该函数的解析式；（2）若该海港在水位高度不低于时为轮船最佳进港时间，那么该海港在，轮船最佳进港时间总共多少小时？【答案】（1），；（2）．【分析】（1）由图可得，，，再由周期公式可求出，再把将，代入可求出的值，从而可求得函数的解析式；（2）由可求出结果【详解】（1）由图可知，，．∵，∴，解得，∴．将，代入上式，解得，，∵，∴，故该曲线的函数解析式为，．（2）由题意得，即，解得，，即，．∵，∴当时，即，∴该海港在的轮船最佳进港时间总共为．【即学即练9】如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，0<φ<π)，则该函数的表达式为________．【答案】y＝10sin(x＋)＋20【解析】由题意可知，函数的周期T＝2×(14－6)＝16，∴ω＝＝.又，∴，∴y＝10sin(x＋φ)＋20.∴20＝10sin(×10＋φ)＋20，∴sin(＋φ)＝0，∴＋φ＝kπ，k∈Z.又∵0<φ<π，∴φ＝，∴y＝10sin(x＋)＋20.考法03三角函数在物理学中的应用【典例3】下图是某简谐运动的图像.试根据图像回答下列问题：（1）写出这个简谐运动的振幅､周期与频率（2）从点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复运动？如果从点算起呢？（3）写出这个简谐运动的函数表达式.【答案】(1)振幅为2cm，周期为0.8s,频率为；(2)如果从O点算起，到曲线上D点，表示完成了一次往复运动；如果从A点算起，到曲线上E点，表示完成了一次往复运动；(3).【分析】(1)从图像中可以直接得到振幅、计算周期和频率；(2)从图像中可以看出；(3)设这个简诺动的函数解析式为从图像得到，即可得到解析式.【详解】(1)从图像中可以看出：这个简谐运动的振幅为2cm，周期为0.8s,频率为；(2)如果从O点算起，到曲线上D点，表示完成了一次往复运动；如果从A点算起，到曲线上E点，表示完成了一次往复运动；(3)设这个简谐运动的函数解析式为由图像可知：，又由，得：.所以所求简谐运动的函数解析式为.【典例4】弹簧挂着的小球做上下振动，它在时间t(s)内离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)由下面的函数关系式表示：.（1）求小球开始振动的位置；（2）求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置；（3）经过多长时间小球往返振动一次?（4）每秒内小球能往返振动多少次?【解析】（1）令t=0，得，所以开始振动的位置为(0，).（2）由题意知，当h=3时，，即最高点为;当h=−3时，t=，即最低点为.（3）≈3.14，即每经过约3.14s小球往返振动一次.（4），即每秒内小球往返振动约0.318次.【名师点睛】解决此类问题的关键在于明确各个参数的物理意义，易出现的问题是混淆彼此之间的对应关系导致错解.【典例5】单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系式为s＝．（1）作出函数的图象．（2）当单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？（3）当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？（4）单摆来回摆动一次需多长时间？【解析】（1）利用“五点法”可作出其图象．（2）因为当t＝0时，s＝6sin＝3，所以此时离开平衡位置3cm．（3）离开平衡位置6cm．（4）因为T＝＝1，所以单摆来回摆动一次所需的时间为1s．【名师点睛】三角函数在物理中的应用三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法．考法04三角函数在平面几何中的应用【典例6】如图，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，那么折痕长度l取决于角的大小.探求l，之间的关系式，并导出用表示l的函数表达式.【答案】【分析】根据图形判断直角三角形，利用直角三角形求解，由，求解即可．【详解】解：由已知及对称性知，，，又，，又由得：【典例7】南开园自然环境清幽，栖居着多种鸟类，热爱动物的南鸢同学独爱其中形貌雅致的蓝膀香鹊，于是她计划与生物兴趣小组的同学一起在翔字楼前广场一角架设一台可转动镜头的相机，希望可以捕捉到这种可爱鸟儿的飘逸瞬间，南同学设计了以下草图，为简化模型，假设广场形状为正方形，边长为1，已知相机架设于A点处，其可捕捉到图象的角度为，即，其中分别在边上，记.（1）南鸢同学的数学老师很欣赏她的计划，并根据她的设计草图编制了此刻你正在思考的这道期中考试试题，设与相交于点，当时，请你求出：（i）线段的长为多少？（ii）线段的长为多少？（2）为节省能源，南鸢同学计划在广场上人员较多的时段关闭相机镜头的自动转动功能，为使相机能够捕捉到的面积(即四边形的面积，记为)最大，应取何值？的最大值为多少？【答案】（1）（i），（ii），（2）【分析】（1）如图建立平面直角坐标系，在中，直接求解，从而可得，求出直线的方程，再与直线的方程联立可求出点的坐标，再用两点间的距离公式可求出的长；（2）由于，，从而可求出的值，进而可表示出四边形的面积，再用三角函数的性质求出其最大值【详解】解：（1）如图建立平面直角坐标系，由于，，所以，由，得，所以,因为，，所以，在中，，则，所以，设直线为，则，解得，所以直线为，直线为，由，得，即，所以（2），，所以，所以，，当且仅当，即时取等号，所以当时，取得最大值，最大值为【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的应用，解题的关键是建立平面直角坐标系，求出直线、的方程，从而可求出点的坐标，进而可求出的长，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题考法05三角函数模型的应用三角函数应用模型的三种模式：一、给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题；二、给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数模型，再解决其他问题；三、搜集一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可以近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题.【典例8】已知某海滨浴场的海浪高度是时间t(h)的函数，记作y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据.t(h)03691215182124y(m)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b.（1）根据以上数据，求出函数y＝Acosωt＋b的最小正周期T、振幅A及函数表达式；（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8时到晚上20时之间，有多长时间可供冲浪者进行运动？【解析】（1）依题意，得T＝12，A＝＝0.5，b＝＝1，∴ω＝＝，故y＝cost＋1.（2）令y＝cost＋1>1，则2kπ－<t<2kπ＋(k∈Z)，∴12k－3<t<12k＋3(k∈Z)．又∵8<t<20，∴9<t<15，∴从9点到15点适合对冲浪爱好者开放，一共有6个小时．【名师点睛】解决此类问题的关键在于根据已知数据确定相应的数学模型，然后根据已知条件确定函数解析式中的各个参数，最后利用模型解决实际问题．【典例9】心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg为标准值．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin160πt，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：（1）求函数p(t)的周期；（2）求此人每分钟心跳的次数；（3）画出函数p(t)的草图；（4）求出此人的血压在血压计上的读数．【解析】（1）由于ω＝160π，代入周期公式T＝，可得T＝＝(min)，所以函数p(t)的周期为min．（2）每分钟心跳的次数即为函数的频率f＝＝80(次)．（3）列表：t0p(t)11514011590115描点、连线并向左右扩展得到函数p(t)的简图如图所示：（4）由图可知此人的收缩压为140mmHg，舒张压为90mmHg．【名师点睛】解三角函数应用问题的基本步骤：【典例10】如图，在扇形OPQ中，半径OP=1，圆心角，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形.记，求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.【答案】时，矩形的面积，最大面积为【分析】由题意可得，，从而可得矩形的面积为，再由可得，由此可得时，取得最大值【详解】在中，，，在中，，所以，所以，设矩形的面积为，则，由，得，所以当，即时，，因此，当时，矩形的面积，最大面积为，【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的应用，解题的关键是将四边形的面积表示为，再利用三角函数的性质可求得其最大值，属于中档题分层提分分层提分题组A基础过关练1．简谐运动的相位与初相分别是（）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根据相位与初相的概念，直接求解即可.【详解】相位是；当时的相位为初相，即.故选：C2.在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动．已知它们在时间t（s）时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：s1＝5sin，s2＝5cos．则在时间t＝时，s1与s2的大小关系是（）A．s1＞s2 B．s1＜s2C．s1＝s2 D．不能确定【答案】C【分析】将t＝代入求值，可得s1＝s2【详解】当t＝时，s1＝5sin－5，s2＝5cos－5，∴s1＝s2故选：C3.月均温全称月平均气温，气象学术语，指一月所有日气温的平均气温．某城市一年中个月的月均温（单位：）与月份（单位：月）的关系可近似地用函数（）来表示，已知月份的月均温为，月份的月均温为，则月份的月均温为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意得出关于、的方程组，可得出函数解析式，在函数解析式中令可得结果.【详解】由题意可得，解得，所以，函数解析式为，在函数解析式中，令，可得.因此，月份的月均温为.故选：A.4.在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12h，低潮时水深为9m，高潮时水深为15m．每天潮涨潮落时，该港口水的深度y（m）关于时间t（h）的函数图象可以近似地看成函数y＝Asin(ωt＋φ)＋k(A＞0，ω＞0)的图象，其中0≤t≤24，且t＝3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是（）A．y＝3sint＋12 B．y＝－3sint＋12C．y＝3sint＋12 D．y＝3cost＋12【答案】A【分析】由两次高潮的时间间隔知，且得，又由最高水深和最低水深得，，将y＝15代入解析式解出φ，进而求出该函数的解析式．【详解】由相邻两次高潮的时间间隔为12h，知T＝12，且T＝12＝(ω＞0)，得ω＝，又由高潮时水深15m和低潮时水深9m，得A＝3，k＝12，由题意知当t＝3时，y＝15．故将t＝3，y＝15代入解析式y＝3sin＋12中，得3sin＋12＝15，得×3＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，解得φ＝2kπ(k∈Z)．所以该函数的解析式可以是y＝3sin＋12＝3sint＋12．5.在图中，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时．则物体对平衡位置的位移x（单位：cm）和时间t（单位：s）之间的函数关系式为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】设，根据振幅确定，根据周期确定，根据确定，即可得出结果.【详解】设位移关于时间的函数为，根据题中条件，可得，周期，故，由题意可知当时，取得最大值，故，则，所以.故选：D．【点睛】本题主要考查三角函数的应用，考查由三角函数的性质求参数，属于基础题型.6.若函数的图象向右平移个单位得到的图象对应的函数为，则下列说法正确的是（）A．的图象关于对称 B．在上有2个零点C．在区间上单调递减 D．在上的值域为【答案】B【分析】求出的解析式，并整理后，根据正弦函数性质判断．【详解】由题意，不是函数的最值，不是对称轴，A错；由，，，其中是上的零点，B正确；由得，，因此在是递减，在上递增，C错；时，，，D错．故选：B．【点睛】本题考查三角函数图象变换，考查三角函数的性质．掌握正弦函数性质是解题关键．7.某艺术展览馆在开馆时间段（9：00—16：00）的参观人数（单位：千）随时间（单位：时）的变化近似满足函数关系，且下午两点整参观人数为7千，则开馆中参观人数的最大值为（）A．1万 B．9千 C．8千 D．7千【答案】B【分析】利用当时，，求出，由，利用正弦函数的性质即可求解.【详解】下午两点整即，当时，.即，∴，∵当时，，∴当时，取得最大值，且最大值为.故选：B【点睛】本题考查了三角函数的性质求解析式、三角函数的应用，考查了基本运算求解能力，属于基础题.8.如图所示为2018年某市某天中6h至14h的温度变化曲线，其近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，则该天8h的温度大约为（）A．16℃ B．15℃ C．14℃ D．13℃【答案】D【分析】由最大值和最小值及中间值求得，由周期求得，再由起点求得（注意图象起点是最低点）．得函数解析式，然后令代入即可得．【详解】由题意得A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20，∵2×(14－6)＝16，∴＝16，∴ω＝，∴y＝10＋20，将x＝6，y＝10代入得10sin＋20＝10，即sin＝－1，由于<φ<π，可得φ＝，∴y＝10sin＋20，x∈[6，14].当x＝8时，y＝10sin＋20＝20－5≈13，即该天8h的温度大约为13℃，故选:D.【点睛】本题考查的应用，解题关键是利用正弦函数的性质求出函数解析式．9.．已知函数，则下列判断错误的是（）A．的最小值为 B．点是的图象的一个对称中心C．的最小正周期为 D．在上单调递增【答案】B【分析】根据正弦函数的性质，逐项判断，即可得出结果.【详解】因为定义域为，所以，即最小值为，故A正确；因为，所以点不是的图象的一个对称中心，即B错；又其最小正周期为，即C正确；因为时，，所以函数在上单调递增，即D正确.故选：B.【点睛】本题主要考查正弦型函数性质的判定，属于基础题型.10.已知的最大值为，将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到的函数解析式为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意，的最大值为4且，列式可算出，，利用辅助角公式化简得，根据平移伸缩的性质即可得出变换后的解析式.【详解】解：由题可知，的最大值为4，则，，且，解之得，.故，将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到.故选：B.【点睛】本题考查三角函数的平移伸缩求解析式，涉及三角函数最值和辅助角公式的应用，考查计算能力.11.有一块矩形花圃如图所示，其中，，现引进了新品种需将其扩大成矩形区域，点，，，均落在矩形的边上（不包括顶点），则扩大后的花圃的最大面积为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】设，计算得到，计算得到答案.【详解】设，则，；，则，.当，即时，面积有最大值为.故选：【点睛】本题考查了四边形面积的最大值，引入变量是解题的关键.12.电流强度（安）随时间（秒）变化的函数的图像如图所示，则当秒时，电流强度是（）A．10安 B．5安C．安 D．5安【答案】D【分析】根据所给函数图像,即可求得函数的解析式,再代入即可求解.【详解】根据函数图像可知,,所以解得由周期公式代入可得所以函数将代入可得则由可知当时解得所以函数当时,代入可得故选:D【点睛】本题考查了根据部分函数图像求三角函数的解析式,注意代入最高点或最低点求的值即可,属于基础题.题组B能力提升练1.设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由图可得：函数图象过点，即可得到，结合是函数图象与轴负半轴的第一个交点即可得到，即可求得，再利用三角函数周期公式即可得解.【详解】由图可得：函数图象过点，将它代入函数可得：又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，所以，解得：所以函数的最小正周期为故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.2.若，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用两角和与差的三角的正弦，将，转化为，其中，，则有，然后求解、，求出的值，利用二倍角的正切公式可求得的值.【详解】因为，所以，即，，即，其中，，，，，，，，，．故选：A．【点睛】本题主要考查两角和与差的三角函数的正用和逆用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题．3.．函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是A．函数的图象可由的图象向左平移个单位得到B．函数的图象关于直线对称C．函数在区间上是单调递增的D．函数图象的对称中心为【答案】D【分析】根据题意求出解析式，利用正弦函数的对称性及单调性依次判断选项.【详解】由图象可知A＝2，f（0）＝1，∵f（0）＝2sinφ＝1，且，∴，∴f（x）＝2sin（ωx），∵f（）＝0且为单调递减时的零点，∴，k∈Z，∴，k∈Z，由图象知，∴ω，又∵ω＞0，∴ω＝2，∴f（x）＝2sin（2x），∵函数f（x）的图象可由y＝Asinωx的图象向左平移个单位得，∴A错，令2x，k∈Z，对称轴为x，则B错，令2x,则x，则C错，令2xkπ，k∈Z，则x＝，则D对，故选：D．【点睛】本题考查三角函数图象及其性质，考查了正弦函数的对称性及单调性，属于中档题．4.(多选题)如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（）A．该质点的运动周期为0.7sB．该质点的振幅为5C．该质点在0.1s和0.5s时运动速度为零D．该质点的运动周期为0.8s【答案】BCD【分析】由题图求得质点的振动周期可判定A错，D正确；由该质点的振幅，可判定B正确；由简谐运动的特点，可判定C正确．【详解】由题图可知，质点的振动周期为2×(0.7－0.3)＝0.8s，所以A错，D正确；该质点的振幅为5，所以B正确；由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即在0.3s和0.7s时运动速度最大，在0.1s和0.5s时运动速度为零，故C正确．综上，BCD正确．故选：BCD.5.（多选）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转；且旋转一周用时60s．经过后，水斗旋转到P点，设P的坐标为，其纵坐标满足．则下列结论正确的是（）A．，，B．当时，点P到x轴的距离的最大值为6C．当时，函数是减函数D．当时，【答案】ABD【分析】对于A，由，可得．由周期求．由，求，即可判断；对于B，根据解析式，即可求得点P到x轴的距离最大值；对于C，由正弦函数的单调性，即可判断；对于D，根据解析式即可判断.【详解】对于A，由点，可得．由旋转一周用时，可得，则．由点，可得，则，故A正确；对于B，由A知，当时，，所以当时，点P到x轴的距离最大，为6，故B正确．对于C，当时，，由正弦函数的单调性，可知函数在上不单调，故C错误．对于D，当时，水斗从点A旋转了三分之一周期，则，所以，故D正确．故选：ABD6.如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(0<φ<π)，则下列说法正确的是（）A．该函数的周期是16B．该函数图象的一条对称轴是直线x＝14C．该函数的解析式是y＝10sin＋20(6≤x≤14)D．这一天的函数关系式也适用于第二天【答案】AB【分析】根据图象得出该函数的周期，可判断A选项的正误；根据图象可知该函数在取得最大值，可判断B选项的正误；结合图象求出该函数的解析式，可判断C选项的正误；第二天的函数关系与第一天的情况不一定一样，所以，可判断D选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A选项，由图象可知，该函数的最小正周期为，A选项正确；对于B选项，该函数在取得最大值，所以，该函数图象的一条对称轴是直线，B选项正确；对于C选项，由图象可得，解得，，图象经过点，，.，，则，，所以，函数解析式为，C选项错误；这一天的函数关系式不一定适用于第二天，要具体情况具体分析，所以，D选项错误.故选：AB【点睛】解题关键，根据函数关系图，进行数形结合的分析即可.7.（多选题）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为，则下列结论正确的是（）A．函数的图象关于直线对称B．函数的图象关于点对称C．函数在上单调递减D．函数在上恰有4个极值点【答案】AD【分析】先根据图象变换得，再根据余弦函数性质研究对称性、单调性以及极值点，即可作出选择.【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后得因为，所以函数的图象关于直线对称，即A正确；因为，所以函数的图象不关于点对称，即B错误；因为，所以函数单调递增，即C错误；因为，所以当时函数取得极值，即函数在上恰有4个极值点，D正确；故选：AD【点睛】本题考查三角函数图象变换、余弦函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.8.（多选题）已知函数，则下列判断正确的是（）A．的周期为B．为偶函数C．的图象关于直线对称D．的值域为E.的图象关于点对称【答案】BCD【分析】，根据三角函数的性质判断即可得解.【详解】，∴为偶函数，周期为，故A错误，B正确；令，得，当时，，故C正确；∵，∴的值域为，故D正确；∵，∴E错误.综上，BCD正确.故选：BCD.【点睛】本题考查三角恒等变换公式，考查三角函数的图象与性质，属于高考常考题型.9.下表中给出了在24小时内人的体温的变化(从夜间零点开始计时)．时间(x)024681012温度(y)36.836.736.636.736.837.037.2时间(x)141618202224温度(y)37.337.437.337.237.036.8选用一个三角函数模型来近似地描述这些数据，则该模型为_________【答案】，【分析】设时的体温为，然后求出，，，的值即可；【详解】解：设时的体温为，则，，，由，即，即，解得，不妨取，故可用，来近似地描述这些数据；故答案为：，10.如图，学校有一块矩形绿地，且，现准备在矩形空地中规划一个三角形区域开挖池塘，其中分别在边上，若则面积的最小值为___________.【答案】【分析】设，分别求得，再根据，转化为，利用三角函数的性质求解.【详解】设，由题意得：，则，，，，，，，当即时取得最小值，最小值为故答案为：C培优拔尖练1.已知函数+1.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的递增区间.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用余弦的二倍角公式化简函数，再函数的周期公式求得其最小正周期；（2）原问题等价为求的递减区间，由余弦函数的性质，整体代入可求得函数单调递增区间.【详解】解：（1）+1+1，则函数最小正周期；（2）要求函数的递增区间，等价为求的递减区间，由2kπ≤2x﹣≤2kπ+π，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，所以函数单调递增区间为：[kπ+，kπ+]，k∈Z.2.如图，它表示电流，在一个周期内的图象．（1）试根据图象写出的解析式；（2）在任意一段秒的时间内，电流既能取得最大值，又能取得最小值吗？【答案】（1）；（2）不能.【分析】(1)由图可知振幅、周期、零点，进而可得解析式；(2)用与周期比较即可.【详解】（1）由题图知，，∴，所以，又是该函数图象的零点，∴结合图形可得：，即，符合，∴．（2）不能．因为由（1）有，所以不可能．3.心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg为标准值．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin160πt，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：（1）求函数p(t)的周期；（2）求此人每分钟心跳的次数；（3）画出函数p(t)的草图；（4）求出此人的血压在血压计上的读数．【答案】（1）min；（2）80(次)；（3）作图见解析；（4）90mmHg．【分析】（1）由已知可求ω＝160π，利用正弦函数的周期公式即可求解；（2）函数的频率f＝即可求解；（3）根据函数解析式利用五点作图法即可画出函数的草图；（4）由題意根据函数的图象即可得解.【详解】[解]（1）由于ω＝160π，代入周期公式，可得(min)，所以函数p(t)的周期为min．（2）每分钟心跳的次数即为函数的频率f＝＝80(次)．（3）列表：t0p(t)11514011590115描点、连线并向左右扩展得到函数p(t)的简图如图所示：(4)由图可知此人的收缩压为140mmHg，舒张压为90mmHg．4.如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆逆时针匀速爬行，已知圆的半径为8m，圆的圆心O距离地面的高度为10m，蚂蚁每12min爬行一圈，若蚂蚁的起始位置在最低点处．（1）将蚂蚁距离地面的高度表示为时间的函数；（2）在蚂蚁绕圆爬行的一圈内，有多长时间蚂蚁距离地面不低于14m?【答案】（1）（2）【分析】（1）设在时蚂蚁到达点P，表示出以Ox为始边，OP为终边的角，利用三角函数表示出P点的纵坐标为即可；（2）由（1）知．利用三角函数解不等式即可.（1）设在时蚂蚁到达点P，则以Ox为始边，OP为终边的角为，故P点的纵坐标为，则，所以所求函数关系式为；（2）由（1）知．令，可得，所以，解得，又，所以．即在蚂蚁绕圆爬行的一圈内，有蚂蚁距离地面不低于．5.弹簧振子的振动是简谐振动．某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间t（单位：s）与位移y（单位：mm）之间的对应数据记录如下表：t0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.60y20.017.310010.117.220.017.210.3010．117.320.0（1）试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式；（2）画出该函数在的图象；（3）在这次全振动过程中，求位移为10mm时t的取值集合．【答案】（1）（2）图象见解析（3）【分析】（1）设函数解析式为，，根据表格数据得出，，的值，即可得出这个振子的位移关于时间的函数解析式；（2）由五点作图法作图即可；（3）解方程，即可得出的取值集合.（1）设函数解析式为，，由表格可知：，，则，即．由函数图象过点，得，即，可取．则这个振子的位移关于时间的函数解析式为；（2）列表：t00.150.30.450.60y20020020由表格数据知，，的图象如图所示．；（3）由题意得，即，则或，所以或．又，所以或0.4．所以在这次全振动过程中，位移为时t的取值集合为．6.一半径为4m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时．（1）将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；（2）点P第一次到达最高点要多长时间？（3）在点P每转动一圈过程中，有多长时间点P距水面的高度不小于(2＋2)m？【答案】（1）z＝4sin＋2；（2）5s；（3）2.5s.【分析】（1）设角φ是