15平面上的距离-2022-2023学年高二数学讲与练(2019选择性)（原卷版）

1.5平面上的距离一、点到点的距离1、距离公式：平面内两点，间的距离公式为：.【注意】公式中和位置没有先后之分，也可以表示为：2、三种特殊距离：（1）原点到任意一点的距离为；（2）当平行于轴时，；（3）当平行于轴时，.3、中点坐标公式：若，，则线段的中点的坐标公式为：，.二、点到直线的距离1、定义：点到直线的垂线段的长度.2、距离公式：点到直线的距离.【注意】（1）直线方程应用一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式.（2）点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的最短距离；（3）带你到直线的距离公式适用于任何情况，其中点在直线上时，它到直线的距离为0.三、平行线间的距离1、距离公式：两条平行直线，，它们之间的距离为：【注意】在使用公式时，两直线方程中和的系数对应相等。2、两平行线间的距离另外一种解法：转化为点到直线的距离，在任一条直线上任取一点（一般取直线上的特殊点），此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离。四、点关于点的对称问题1、实质：该点是两对称点连线段的中点2、方法：利用中点坐标公式平面内点关于对称点坐标为，平面内点，关于点对称五、直线关于点的对称问题1、实质：两直线平行2、法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程）法二：利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等）六、点关于直线的对称问题1、实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线2、（1）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点，则（2）当直线斜率不存在时：点关于的对称点为七、直线关于直线的对称问题1、当与l相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题；2、当与l平行时：对称直线与已知直线平行.题型一点到点的距离求解【例1】已知点，，那么A，B两点之间的距离等于（）A．8B．6C．3D．0【变式11】已知直线：与直线：的交点为，则点与点间的距离为（）A．B．C．D．【变式12】已知点，求证：是等腰三角形．【变式13】已知直线过定点，直线过定点，与相交于点，则（）A．10B．13C．16D．20题型二由两点距离公式求最值【例2】设的最小值为_______.【变式21】求函数的最小值为___________.【变式22】求函数的最小值．【变式23】若不等式对于任意的实数恒成立，则的最大值是________，此时________．题型三点到直线的距离求解【例3】在平面直角坐标系中，原点到直线的距离等于（）A．1B．C．D．3【变式31】点(1，2)到直线的距离为___．【变式32】已知直线，，且，点到直线的距离（）A．B．C．D．【变式33】点到直线的距离等于4，则实数m___________.【变式34】点P为直线上任意一个动点，则P到点的距离的最小值为_______.题型四平行线间的距离求解【例4】直线：与：之间的距离为（）A．B．C．D．【变式41】已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（）A．4B．C．D．【变式42】到直线的距离为且与此直线平行的直线方程是____．【变式43】若平面内两条平行线：：间的距离为，则实数_____.【变式44】已知直线（）与直线互相平行，且它们之间的距离是，则______.题型五中点问题【例5】已知点，则线段AB的中点坐标为________.【变式51】已知点（0，2）是点（－2，b）与点（2，4）的对称中心，则b=___________.【变式52】已知两点，，求点A关于点P的对称点B的坐标．【变式53】已知的顶点为，则边上的中线长为____．题型六直线关于点对称【例6】直线关于点对称的直线方程为（）A．B．C．D．【变式61】直线关于点对称的直线方程（）A．B．C．D．【变式62】已知直线与关于原点对称，若的方程是，则的方程是（）A．B．C．D．【变式63】直线恒过定点，则直线关于点对称的直线方程为_________．题型七点关于直线对称【例7】点关于直线的对称点的坐标为（）A．B．C．D．【变式71】已知点关于直线的对称点为点，则点的坐标为（）A．B．C．D．【变式72】已知入射光线经过点，被直线反射，反射光线经过点，求反射光线所在直线的方程．【变式73】已知直线l：，一条光线经直线的定点T射入，先后被x轴、x+y=0反射回T点，求光线在这个过程中走过的路程.题型八直线关于直线对称【例8】与直线关于轴对称的直线方程为（）A．B．C．D．【变式81】直线关于对称直线，直线的方程是（）A．B．C．D．【变式82】两直线，则直线关于直线对称的直线方程为（）A．B．C．D．【变式83】求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（）A．x＋2y－3＝0B．x＋2y＋3＝0C．x＋2y－2＝0D．x＋2y＋2＝0【变式84】若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线关于直线对称的直线方程为（）A．B．C．D．题型九将军饮马问题【例9】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（）．A．5B．C．45D．【变式91】已知点､，点P在x轴上，则的最小值为