专练10新高考数学小题大做-2022年高考数学总复习高频考点必刷1200题

专练10新高考数学小题大做一、单选题1．（2021年天津高考数学试题）设集合，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据交集并集的定义即可求出.【详解】，，.故选：C.2．（2021年浙江省高考数学试题）已知，，(i为虚数单位)，则（）A． B．1 C． D．3【答案】C【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数的值.【详解】，利用复数相等的充分必要条件可得：.故选：C.3．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由正弦函数的有界性确定命题的真假性，由指数函数的知识确定命题的真假性，由此确定正确选项.【详解】由于，所以命题为真命题；由于在上为增函数，，所以，所以命题为真命题；所以为真命题，、、为假命题.故选：A．4．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.【详解】由题意可得，对于A，不是奇函数；对于B，是奇函数；对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.5．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）若，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】，，，，解得，，.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.6．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（）A．346 B．373 C．446 D．473【答案】B【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得，进而得到答案．【详解】过作，过作，故，由题，易知为等腰直角三角形，所以．所以．因为，所以在中，由正弦定理得：，而，所以所以．故选：B．【点睛】本题关键点在于如何正确将的长度通过作辅助线的方式转化为．7．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立【答案】B【分析】根据独立事件概率关系逐一判断【详解】，故选：B【点睛】判断事件是否独立，先计算对应概率，再判断是否成立8．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设，，．则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.【详解】,所以;下面比较与的大小关系.记,则,，由于所以当0<x<2时，,即,,所以在上单调递增，所以,即,即;令,则,,由于，在x>0时,,所以,即函数在[0,+∞)上单调递减，所以,即,即b<c;综上，,故选：B.【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.二、多选题9．（2021·重庆市第七中学校高三月考）在疫情防护知识竞赛中，对某校的2000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是（）A．考生竞赛成绩的众数为75分 B．不及格的考生人数为500C．考生竞赛成绩的平均数为72.5分 D．考生竞赛成绩的中位数为75分【答案】AC【分析】根据频率分布直方图，逐项分析判断即可得解.【详解】对A，如图，根据题意得分为75分的频率最大，故频数最大，所以为众数正确；对B，由低于60分的人数为，故B错误；对C，平均数为，故C正确；对D，低于70分的频率为，所以中位数在70分处取得，故D错误.故选：AC10．（2021·福建上杭·高三月考）设x>0，y>0，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）=3x+3﹣x的最小值为2B．不等式恒成立C．函数的最小值D．若，则x+2y的最小值是【答案】BD【分析】利用基本不等式求解最小值，判断命题的真假即可.【详解】解：函数f（x）=3x+3﹣x≥2，当且仅当x=0时，取等号，所以表达式没有最小值，所以A不正确；不等式≥4=4，当且仅当x=y=1时取等号，所以命题是真命题，所以B正确.函数=≤，所以当x=1时，函数取得最大值，所以C不正确；若，则x+2y=（x+1+2y+2）（+）﹣3=≥2，当且仅当y=3﹣2，x=4时，表达式的最小值是，所以D正确.故选：BD.11．（2021·重庆·高三月考）若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义城上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有（）A． B．C． D．【答案】BD【分析】由已知得“理想函数”既是奇函数，又是减函数，由此判断所给四个函数的奇偶性和单调性．【详解】对于，对于定义域内的任意，恒有，即，所以是奇函数；对于，对于定义域内的任意，，当时，恒有，在定义域内是减函数；对于A：，，，故不是奇函数，所以不是“理想函数”；对于B：是奇函数，且是减函数，所以是“理想函数”；对于C：是奇函数，并且在上是增函数，所以不是“理想函数”；对于D：所以是奇函数；根据二次函数的单调性，在，都是减函数，且在处连续，所以在上是减函数，所以是“理想函数”．故选：BD12．（2021·广东广雅中学高三月考）已知正方体的棱长为2，动点在正方形内，则（）A．若，则三棱锥的的外接球表面积为B．若平面，则不可能垂直C．若平面，则点的位置唯一D．若点为中点，则三棱锥的体积是三棱锥体积的一半【答案】CD【分析】根据题意，建立空间直角坐标系并得出各点坐标，设，其中，由，可知，设三棱锥的的外接球的球心为，根据球心到球上各点距离相等以及空间两点间的距离公式，可求出球心的坐标，再利用球的表面积公式进行计算即可判断A选项；利用空间向量求法向量的方法求出平面的法向量，有条件得出，利用向量的数量积运算得出，进而求出，可知当时，从而可判断B选项；根据平面，得出，再利用向量的数量积运算即可求出和的值，即可判断C选项；利用三棱锥体积公式和等体积法分别求出和，结合条件即可判断D选项.【详解】解：如图，建立空间直角坐标系：则，由于动点在正方形内，可设，其中，对于A选项，由于，则为的中点，此时，设三棱锥的的外接球的球心为，则，即，解得：，所以，则三棱锥的的外接球的半径为，所以三棱锥的的外接球表面积为，故A不正确；对于B选项，设平面的法向量为，，，则，令，得，故，而，若平面，则，则，即，所以，此时，而，所以，当时，，此时，则，故B不正确；对于C选项，若平面，则，由于，，则，解得：或（舍去），此时，即点的位置唯一，使得平面，故C正确；对于D选项，点为中点，由正方体可知平面，三棱锥的体积为：，由于在正方形内，则到平面为，三棱锥体积为：，而，所以，所以三棱锥的体积是三棱锥体积的一半，故D正确.故选：CD.三、填空题13．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知向量，若，则__________．【答案】【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．【详解】因为，所以由可得，，解得．故答案为：．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，，注意与平面向量平行的坐标表示区分．14．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）曲线在点处的切线方程为__________．【答案】【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．【详解】由题，当时，，故点在曲线上．求导得：，所以．故切线方程为．故答案为：．15．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．【答案】【分析】结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，，化简即可得解.【详解】由题意，，则，所以点和点，,所以，所以，所以，同理,所以.故答案为：【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件，消去一个变量后，运算即可得解.四、双空题16．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折次，那么______.【答案】5【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得，再根据错位相减法得结果.【详解】（1）由对折2次共可以得到，，三种规格的图形，所以对着三次的结果有：，共4种不同规格（单位；故对折4次可得到如下规格：，，，，，共5种不同规格；（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比