专题02不等关系-2024年数学高频考点重点题型（原卷版）

专题02不等关系核心体系不等关系与不等式实数的性质二、关键能力通过对不等关系学习，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式对于刻画不等关系的意义和价值；从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构并且用数学知识与方法构建模型解决问题，培养学生的数学抽象及数学建模能力。三、教学建议加强不等式基础知识的复习．不等式的基础知识是进行推理和解不等式的理论依据，要弄清不等式性质的条件与结论，但在在教学中不要对这些性质的证明作过多的纠缠，只需要这些性质的合理性上举例说明即可；同时也可以类比等式的基本性质，对一些不等式的推断作一些分析验证，通过类比，使学生认识不等式与等式性质之间的相同点与不同点．四、高频考点1．两个实数比较大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0⇔a>b,a－b＝0⇔a＝b,a－b<0⇔a<b))(a，b∈R)(2)作商法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1⇔a>b,\f(a,b)＝1⇔a＝b,\f(a,b)<1⇔a<b))(a∈R，b>0)2．不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性a>b⇔b<a⇔传递性a>b，b>c⇒a>c⇒可加性a>b⇔a＋c>b＋c⇔可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))⇒ac>bc注意c的符号eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))⇒ac<bc同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))⇒a＋c>b＋d⇒同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))⇒ac>bd⇒可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)a，b同为正数可开方性a>b>0⇒eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)a，b同为正数五、重点题型题型一、创建不等关系例11．国家原计划以2400元/吨的价格收购某种农副产品m吨，按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为减少农民负担，制定积极收购政策，根据市场规律，税率降低x个百分点(x>0)，收购量增加2x个百分点，为使得税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%，求x的取值范围．例12．（2019·全国高考）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm训练题组1．（多选题）已知糖水中含有糖()，若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式中一定成立的有（）A． B．C． D．2．元旦将近，调查鲜花市场价格得知：购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用额小于22元；设购买2只玫瑰花所需费用为元，购买3只康乃馨所需费用为元，则的大小关系是．A．B．C．D．的大小关系不确定3．长沙市为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名教师组成的队伍下乡支教，记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“（1）有中学高级教师；（2）中学教师不多于小学教师；（3）小学高级教师少于中学中级教师；（4）小学中级教师少于小学高级教师；（5）支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；（6）无论是否把我计算在内，以上条件都成立．”由队长的叙述可以推测出他的学段及职称分别是____．4．调查某地居民每年到商场购物次数与商场面积、到商场距离的关系，得到关系式（为常数）.如图，某投资者计划在与商场相距10km的新区新建商场，且商场的面积与商场的面积之比为.记“每年居民到商场购物的次数”、“每年居民到商场购物的次数”分别为，，称满足的区域叫做商场相对于的“更强吸引区域”.（1）已知与相距15km，且.当时，居住在点处的居民是否在商场相对于的“更强吸引区域”内？请说明理由；（2）若要使与商场相距2km以内的区域（含边界）均为商场相对于的“更强吸引区域”，求的取值范围.题型二、比较大小例21．已知a＞c，b＞d，则下列结论正确的是（）A．ab＞cd B．a－b＞c－dC．ab＋cd＞ad＋bc D．例22．（多选题）已知且，则下列结论中一定成立的是（）A． B． C． D．训练题组1.如果那么下列说法正确的是（）A． B． C． D．2．（多选题）若，则下列不等式恒成立的是（）A． B．C． D．3．（多选题）已知两个不为零的实数，满足，则下列说法中正确的有（）A． B． C． D．4．（多选题）下列命题为真命题的是（）A．若，则 B．若，则C．若，且，则 D．若，则5．（多选题）已知，且，则下列不等式一定成立的有（）A． B．C． D．题型三、作差法作商法比较大小例31．多选题（2023·新高考Ⅰ卷）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离声压级燃油汽车10混合动力汽车10电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（

）．A． B．C． D．例32．若，则（）A． B．C． D．训练题组1．甲、乙两人同时从寝室出发去教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同(步行速度与跑步速度不相等)，则()A．两人同时到教室 B．谁先到教室不确定C．甲先到教室 D．乙先到教室2．（多选题）设实数、、满足，，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．3．设，，则，的大小关系为_________.4．已知a，b为正实数．求证：＋≥a＋b.题型四、不等式与充分必要条件例41．已知p：q：，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件例42．“”的一个充分条件是（）A．或 B．且 C．且 D．或训练题组1．设且，则是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要2．设，，则是成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件题型五、不等式与命题推理例51.已知a，b∈R，给出下面三个论断：①a＞b；②＜；③a＜0且b＜0．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________．训练题组1．已知三个不等式：①；②；③.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数是A． B． C． D．2．给出下列五个论断：①；②；③；④；⑤.以其中的两个论断作为条件，一个论断作为结论，写出一个正确的命题：___________.3．已知α，β是实数，给出三个论断：①|α＋β|＝|α|＋|β|；②|α＋β|>5；③|α|>，|β|>.以其中的两个论断为条件，另一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题是________.4．已知均为大于0的实数,给出下列五个论断:①,②,③,④,⑤.以其中的两个论断为条件,余下的论断中选择一个为结论,请你写出一个正确的命题___________.5．已知下列三个不等式：①；②；③，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成几个正确命题？题型六、已知不等关系求目标范围最值例6．已知角满足，，则的取值范围是__________．训练题组1．（2019·全国）已知，则的取值范围为_______.2．（2020·全国）设x，y为实数，满足，，则的最小值是______.3．已知，则的范围是______________.4．已知Sn是等差数列{an}的前n项的和，若S2≥4，S4≤16，则a5的最大值是_____．达标测试一、单项选择题1．若a，b∈R，且a>|b|，则()A．a<－b B．a>bC．a2<b2 D.eq\f(1,a)>eq\f(1,b)2．若a<b<0，则下列不等式一定成立的是()A.eq\f(1,a－b)>eq\f(1,b) B．a2<abC.eq\f(|b|,|a|)<eq\f(|b|＋1,|a|＋1) D．an>bn3．设M＝eq\f(3x＋3y,2)，N＝(eq\r(3))x＋y，P＝(其中0<x<y)，则M，N，P的大小顺序是()A．P<N<M B．N<P<MC．P<M<N D．M<N<P4．若α，β满足－eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)，则2α－β的取值范围是()A．－π<2α－β<0 B．－π<2α－β<πC．－eq\f(3π,2)<2α－β<eq\f(π,2) D．0<2α－β<π5.若a＞b＞0，则下列不等式中一定成立的是()A.a＋eq\f(1,b)＞b＋eq\f(1,a) B.eq\f(b,a)＞eq\f(b＋1,a＋1)C.a－eq\f(1,b)＞b－eq\f(1,a) D.eq\f(2a＋b,a＋2b)＞eq\f(a,b)6.已知a＝eq\f(1,4)log23，b＝eq\f(1,2)，c＝eq\f(1,2)log53，则()A.c＜a＜b B.a＜b＜cC.b＜c＜a D.b＜a＜c7.设a＞b＞0，x＝eq\r(a＋b)－eq\r(a)，y＝eq\r(a)－eq\r(a－b)，则x，y的大小关系为()A.x＞y B.x＜yC.x＝y D.x，y的大小关系不定8.(2021·南京、盐城二模)在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长.当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散.广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数.假设某种传染病的基本传染数为R0,1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N人中有V个人接种过疫苗eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(V,N)称为接种率))，那么1个感染者新的传染人数为eq\f(R0,N)(N－V)．已知新冠病毒在某地的基本传染数R0＝2.5，为了使1个感染者传染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为()A.40% B.50%C.60% D.70%二、多项选择题9．已知a，b∈(0,1)，若a>b，则下列所给命题中错误的为()A．B．C．(1＋b)b>(1＋a)aD．(1－b)b>(1－a)a10.下列不等式中，推理正确的是()A.若x>y>z，则|xy|>|yz|B.若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则ab>b2C.若a2x>a2y，则x>yD.若a>b>0，c>0，则a－c>b－c11.已知a，b，c满足c<a<b，且ac<0，则下列各式中成立的是()A.ac(a－c)>0B.c(b－a)<0C.cb2<ab2D.ab>ac12.已知下列四个条件：①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0，能推出eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)成立的有()A.①B.②C.③D.④三、填空题13．给出下列三个不等式：①；②；③.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成________个真命题.14.已知12<a<60，15<b<36，则a－b的取值范围是________，eq\f(a,b)的取值范围是________.15.若6<a<10，eq\f(a,2)≤b≤2a，c＝a＋b，则c的取值范围是16.某生活用品价格起伏较大，每两周的价格均不相同，假设第一周、第二周价格分别为a元/斤、b元/斤，甲和乙购买方式不同：甲每周买3斤该用品，乙每周买10元钱的该用品，则________的购买方式更优惠(两次平均价格低视为更优惠).(填