专题31函数的概念及其表示（举一反三）（人教A版2019）

专题3.1函数的概念及其表示【八大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【题型1对函数概念的理解】 1【题型2求函数的定义域】 3【题型3求函数的值域】 5【题型4由函数的定义域或值域求参数】 6【题型5求函数值或由函数值求参】 7【题型6同一函数的判断】 9【题型7函数的表示法】 11【题型8分段函数】 13【知识点1函数的概念】1．函数的概念(1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，xA.(2)函数的四个特征：①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的.②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应.④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系.2．函数的三要素(1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．(2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域(range).(3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．【题型1对函数概念的理解】【例1】（2023·全国·高一假期作业）下列变量间为函数关系的是（）A．匀速行驶的客车在2小时内行驶的路程B．某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系C．一只60瓦的白炽灯在7小时内的耗电量与时间t的关系D．生活质量与人的身体状况间的关系【解题思路】根据定义知BD是依赖关系，A是常量，C是确定的函数关系，得到答案.【解答过程】对选项A：匀速行驶的客车在2小时内行驶的路程是常量，不满足；对选项B：某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系是依赖关系，不满足；对选项C：耗电量与时间t的关系是y=60t,0≤t≤7，是确定的函数关系；对选项D：生活质量与人的身体状况间的关系是依赖关系，不满足.故选：C.【变式11】（2023·全国·高三对口高考）集合A={x|0≤x≤2},B={x|0≤x≤1}下列表示从A到B的函数是（

）A．f:x→y,y=13xC．f:x→y,y=2x 【解题思路】根据题意，结合选项和函数的定义，逐项判定，即可求解.【解答过程】由集合A={x|0≤x≤2},B={x|0≤x≤1}，对于A中，若f:x→y,y=13x，则集合A中任意元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应，所以可构成集合A对于B中，若f:x→y,y=2x，则集合A中的元素2，在集合B中没有元素与之对应，所以不能构成集合A到B的函数，不符合题意；对于C中，若f:x→y,y=2x，则集合A中的元素2，在集合B中没有元素与之对应，所以不能构成集合A到对于D中，若f:x→y,y=x，则集合A中的元素2，在集合B中没有元素与之对应，所以不能构成集合A到B的函数，不符合题意；故选：A.【变式12】（2023秋·内蒙古赤峰·高一统考期末）下面图象中，不能表示函数的是（

）A． B．C． D．【解题思路】根据函数的概念结合条件分析即得.【解答过程】因为由函数的概念可知，一个自变量对应唯一的一个函数值，故ABD正确；选项C中，当x=0时有两个函数值与之对应，所以C错误.故选：C.【变式13】（2023秋·云南昆明·高一统考期末）已知集合A=x0≤x≤4，集合B=x0≤x≤2，下列图象能建立从集合A到集合A． B．C． D．【解题思路】存在点使一个x与两个y对应，A错误；当2<x≤4时，没有与之对应的y，B错误；y的范围超出了集合B的范围，C错误；选项D满足函数关系的条件，正确，得到答案.【解答过程】对选项A：存在点使一个x与两个y对应，不符合，排除；对选项B：当2<x≤4时，没有与之对应的y，不符合，排除；对选项C：y的范围超出了集合B的范围，不符合，排除；对选项D：满足函数关系的条件，正确.故选：D.【题型2求函数的定义域】【例2】（2023·湖南衡阳·高二校联考学业考试）函数y=1x−1+A．xx≥−2且x≠1 B．xx≥−2 C．xx<−2 D．【解题思路】根据函数定义域的求法求得正确答案.【解答过程】依题意，x−1≠0x+2≥0，解得x≥−2且x≠1所以函数y=1x−1+x+2的定义域为故选：A.【变式21】（2023春·重庆江津·高二校联考期末）已知函数f(x+1)的定义域是−2,3，则函数f(2x−1)的定义域（

）A．−1,4 B．−7,3 C．−3,7 D．0,【解题思路】根据抽象函数的定义域计算规则计算可得.【解答过程】因为函数f(x+1)的定义域是−2,3，所以−1≤x+1≤4，令−1≤2x−1≤4，解得0≤x≤52，所以函数f(2x−1)的定义域为故选：D.【变式22】（2023·全国·高一假期作业）若函数fx的定义域为0,4，则函数gx=fA．1,2 B．1,4 C．1,2 D．1,4【解题思路】根据题意可得出关于x的不等式组，由此可解得函数gx【解答过程】解：因为函数fx的定义域为0,4对于函数gx=fx+2+1即函数gx=fx+2故选：C.【变式23】（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）已知函数y=fx的定义域为−8,1，则函数gx=A．−92,−2∪−2,0 B．−8,−2∪【解题思路】根据抽象函数和具体函数的定义域可得出关于x的不等式组，由此可解得函数gx【解答过程】因为函数y=fx的定义域为−8,1，对于函数g则有−8≤2x+1≤1x+2≠0，解得−92因此，函数gx的定义域为−故选：A.【题型3求函数的值域】【例3】（2023·全国·高一假期作业）已知函数f(x)=|x|+1的定义域为{−1,0,1}，则其值域为（

）A．{1,2} B．[1,2] C．{0,1} D．[1,+【解题思路】根据定义域，代入解析式，求出值域.【解答过程】当x=±1时，f(x)=1+1=2，当x=0时，f(x)=1，故值域为{1,2}.故选：A.【变式31】（2023·全国·高三对口高考）函数fx=2−−A．−2,2 B．1,2 C．0,2 D．−【解题思路】求出函数的定义域，设t=−x2+4x=−(x−2)2【解答过程】由−x2+4x≥0得x设t=−x2+4x=−所以y=2−t∈[0,2]，即函数y=2−−故选：C.【变式32】（2023·全国·高三专题练习）下列函数中与函数y=x2值域相同的是（

A．y=x B．y=1x C．y=−x2【解题思路】先得出函数y=x2【解答过程】函数y=x2=x对于A，函数y=x的值域为R，故A错误；对于B，函数y=1x的值域为y对于C，函数y=−x2≤0对于D，y=x2−2x+1=故选：D.【变式33】（2023·全国·高三对口高考）已知函数f(x)的定义域为[1,9]，且当1≤x≤9时，f(x)=x+2，则y=[f(x)]2+f(A．[1,3] B．[1,9] C．[12,36] D．[12,204]【解题思路】首先由f(x)的定义域得出y=[f(x)]2+f(x2【解答过程】由f(x)的定义域为[1,9]，y=[f(x)]则1≤x2≤9所以y=(x+2)因为x∈[1,3]，所以函数y在x∈1,3当x=1,y=12，当x=3,y=36，故函数y的值域为12,36.故选：C．【题型4由函数的定义域或值域求参数】【例4】（2023·高一课时练习）已知函数f(x)=32−xax2+ax+2的定义域为A．0≤a≤2 B．0≤a<8C．0<a≤8 D．0<a<8【解题思路】根据题意得ax2+ax+2≠0在x∈R上恒成立，考虑a=0【解答过程】因为函数定义域为R，所以ax2+ax+2≠0当a=0时，ax当a≠0时，要满足Δ=a2综上：0≤a<8.故选：B.【变式41】（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=3x−1x+3(x≠−3)A．3 B．−3 C．13 D．【解题思路】易知f(x)的定义域为R,得到值域为R,当x≠3时，利用分离常数法求得函数值的取值范围，{y∈R|y≠3}，从而得到【解答过程】显然，fx=3x−1x+3(x≠−3)y=3x−1x+3=3−10x+3故选：A.【变式42】（2023·全国·高一专题练习）函数f(x)=x2−4x−6的定义域为[0,m]，值域为[−10,−6]A．[0，4] B．[4，6] C．[2，6] D．[2，4]【解题思路】因为函数fx=x2−4x−6【解答过程】函数fx且以直线x=2为对称轴的抛物线，故f0∵函数fx=x2−4x−6所以2≤m≤4，即m的取值范围是2,4,故选D.【变式43】（2022秋·安徽芜湖·高一校考期中）定义：称b−a为区间a,b的长度，若函数fx=ax2A．−4 B．−2 C．4或−2 D．与b,c的取值有关【解题思路】由值域结合题设条件确定定义域，从而得出a的值.【解答过程】函数fx的值域为0,4ac−b24a设ax2+bx+c≥0的解集为x因为|x2−所以a2=−4a，解得故选：A.【题型5求函数值或由函数值求参】【例5】（2023·重庆·高二统考学业考试）已知函数f(x)=x3−2x+3，那么f(2)A．3 B．5 C．7【解题思路】把x=2代入解析式即可求解.【解答过程】f(2)=2故选：C.【变式51】（2023·高一课时练习）下表给出了x与f(x)和g(x)的对应关系，根据表格可知f[g(1)]的值为（

）x1234x1234f(x)3142g(x)4321A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据表中数据即可先求g1=4，再求解【解答过程】由表中数据可知g1=4，所以故选：B.【变式52】（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期中）已知fx+1=2x−3，且fa=3，则A．4 B．3 C．2 D．1【解题思路】令x+1=a，解得x=a−1，再根据fa【解答过程】解：因为fx+1=2x−3，且令x+1=a，解得x=a−1，所以fa解得a=4，故选：A.【变式53】（2022·全国·高一专题练习）已知fx=ax5+1，且fA．−8 B．10 C．9 D．11【解题思路】先由f−2=10求出a【解答过程】因为fx=ax所以a⋅−25+1=10所以fx所以fx故选：A.【知识点2函数的相等】1．函数的相等同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数.2．区间的概念设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定：(1)满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；(2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)；(3)满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b].这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.【题型6同一函数的判断】【例6】（2023·全国·高一假期作业）下列函数中，是同一函数的是（

）A．y=(x−1)0B．y=x与y=C．y=x与D．y=x2【解题思路】根据函数的定义判断.【解答过程】选项A中，函数y=(x−1)0的定义域是{x|x≠1}，函数y=1的定义域是选项B中，函数y=x的定义域是R，函数y=x2x选项C中，两个函数定义域都是R，对应法则也相同，是同一函数；选项D中，两者对应法则不相同，前者对应自变量直接平方，后者对应自变量减去1后的平方，不是同一函数．故选：C．【变式61】（2023秋·云南昆明·高一统考期末）下列函数中与函数y＝x表示同一个函数的是（）A．y＝|x| B．y=x2x C．y=【解题思路】利用函数概念，分析函数的三要素是否相同即可求解.【解答过程】对于选项A,值域与函数y=x不同，所以不是同一个函数，故排除A；对于选项B，函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故排除B；对于选项C，函数定义域不同，所以不是同一个函数，故排除C；对于选项D，因为函数y=3x3=x与函数故选：D.【变式62】（2023秋·高一单元测试）下列各组函数中，表示同一函数的是（

）A．fx=x+1与gx=xC．fx=1，gx=x【解题思路】由相同函数有相同定义域及相同解析式判断各选项即可.【解答过程】相同函数有相同定义域及相同解析式.对于选项A：fx=x+1的定义域为R，gx对于选项B：函数fx=x⋅xx与函数又fx对于选项C：fx的定义域为R，gx的定义域为对于选项D：fx=x2的定义域为R，故选：B.【变式63】（2023春·湖南衡阳·高一校考开学考试）下列各组函数表示同一个函数的是（

）A．y=xx与y=1 B．y=C．y=x2−1x−1与y=x+1 【解题思路】分别分析每个选项中函数的定义域和对应关系式是否相同即可.【解答过程】选项A函数y=xx的定义域为x|x≠0，而y=1的定义域为故A错误；选项B函数y=x3+xx2+1的定义域为且，y=x选项C函数y=x2−1x−1的定义域为x|x≠1，而故C错误；选项D函数y=x2−2x+1的定义域为R，而y=x−1但是y=x故选：B.【知识点3函数的表示法】1．函数的表示法函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.(1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；(3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.2．抽象函数与复合函数(1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数．(2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数.【题型7函数的表示法】【例7】（2023·全国·高一假期作业）已知函数f(x),g(x)的对应关系如下表，则f[g(1)]=（

）x−10123f2130−2g32−1−20A．0 B．2 C．−2 D．1【解题思路】根据复合函数求值的方法分步求解即可．【解答过程】解：g(1)=−1，∴fg故选：B．【变式71】（2023·全国·高三专题练习）某校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当班人数除以10的余数大于6时，再增选一名代表，则各班推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x的最大整数，如[π]=3，[4]=4）可表示为（

）A．y=[x+210] B．y=[x+310]【解题思路】令班级人数的个位数字为n，则x=10m+n（m∈N），结合题意讨论n写出对应y值，由取整函数的定义写出函数关系式.【解答过程】设班级人数的个位数字为n，令x=10m+n，（m∈N），当0≤n≤6时，y=m，当7≤n≤9时，y=m+1，综上，函数关系式为y=[x+3故选：B.【变式72】（2023春·宁夏银川·高三校考阶段练习）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点E由点A沿线段AB向点B移动，过点E作AB的垂线l，设AE=x，记位于直线l左侧的图形的面积为y，那么y与x的函数关系的图象大致是（

）A． B．C． D．【解题思路】根据三角形面积公式，结合锐角三角函数定义进行求解即可.【解答过程】当0≤x≤1时，y=1当1<x≤2时，y=1综上所述：y与x的函数关系的图象大致是选项D，故选：D.【变式73】（2023·全国·高三对口高考）如图中的图象所表示的函数的解析式为（）A．y=B．y=C．y=D．y=1−|x−1|(0≤x≤2)【解题思路】分段求解：分别把0≤x≤1及1≤x≤2时的解析式求出即可．【解答过程】当0≤x≤1时，设f（x）=kx，由图象过点（1，32），得k=32，所以此时f（x）=当1≤x≤2时，设f（x）=mx+n，由图象过点（1，32），（2，0），得{32=m+n所以此时f（x）=-32x+3．函数表达式可转化为：y＝3故选B.【题型8分段函数】【例8】（2023·全国·高一专题练习）已知f(x)=−x,x≤0x2,x>0，则A．−3 B．3 C．−9 D．9【解题思路