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专题08排列与组合一、考情分析二、考点梳理【排列】1．排列的概念：从SKIPIF1<0个不同元素中，任取SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从SKIPIF1<0个不同元素中取出SKIPIF1<0个元素的一个排列说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同2．排列数的定义：从SKIPIF1<0个不同元素中，任取SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）个元素的所有排列的个数叫做从SKIPIF1<0个元素中取出SKIPIF1<0元素的排列数，用符号SKIPIF1<0表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从SKIPIF1<0个不同元素中，任取SKIPIF1<0个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从SKIPIF1<0个不同元素中，任取SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号SKIPIF1<0只表示排列数，而不表示具体的排列3．排列数公式及其推导：由SKIPIF1<0的意义：假定有排好顺序的2个空位，从SKIPIF1<0个元素SKIPIF1<0中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数SKIPIF1<0．由分步计数原理完成上述填空共有SKIPIF1<0种填法，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0由此，求SKIPIF1<0可以按依次填3个空位来考虑，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0以按依次填SKIPIF1<0个空位来考虑SKIPIF1<0，排列数公式：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）说明：（1）公式特征：第一个因数是SKIPIF1<0，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是SKIPIF1<0，共有SKIPIF1<0个因数；（2）全排列：当SKIPIF1<0时即SKIPIF1<0个不同元素全部取出的一个排列全排列数：SKIPIF1<0（叫做n的阶乘） 另外，我们规定0!=1.1组合的概念：一般地，从SKIPIF1<0个不同元素中取出SKIPIF1<0SKIPIF1<0个元素并成一组，叫做从SKIPIF1<0个不同元素中取出SKIPIF1<0个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同【组合】1．组合数公式的推导：（1）从4个不同元素SKIPIF1<0中取出3个元素的组合数SKIPIF1<0是多少呢？启发：由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数SKIPIF1<0可以求得，故我们可以考察一下SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的关系，如下：组合排列SKIPIF1<0由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数SKIPIF1<0，可以分如下两步：①考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有SKIPIF1<0个；②对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有SKIPIF1<0种方法．由分步计数原理得：SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0．2.推广：一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数SKIPIF1<0，可以分如下两步：①先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数SKIPIF1<0；②求每一个组合中m个元素全排列数SKIPIF1<0，根据分步计数原理得：SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0SKIPIF1<0．3.组合数的公式：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0规定:SKIPIF1<0.
三、题型突破重难点题型突破1简单的排列问题例1．（2022·全国·高二）某会议结束后，21个会议人员合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，A站在前排正中间位置，B，C两人也站在前排并与A相邻，如果对其他人所站位置不做要求，那么不同的站法共有（
）A．种 B．种 C．种 D．种【变式训练11】、（2021·全国·高二课时练习）甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________.（用数字作答）重难点题型突破2简单的组合问题例2．（2021·上海师大附中高二期中）从8名女生和4名男生中选出6名学生组成课外活动小组，则按性别分层抽样组成课外活动小组的概率为（
）A． B． C． D．【变式训练21】、8．（2021·广东·深圳市第七高级中学高三阶段练习）甲､乙､丙三人计划参加学校趣味运动会中的千人迎面接力､五人踏板､足球射门､篮球投篮四个比赛项目，由于时间关系，每个人只能随机选择参加一个项目，则甲､乙､丙三人中恰好两人参加同一个比赛项目的概率为（
）A． B． C． D．
重难点题型突破3注意缺少“至多”或“最少”例3．（2021·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）现有16张不同的卡片，其中红色，黄色，蓝色，绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且绿色卡片至多1张，则不同的取法种数为（
）A．484 B．472C．252 D．232【变式训练31】、（2022·重庆·模拟预测）将5名实习老师安排到高一年级的3个班实习，每班至少1人、至多2人，则不同的安排方法有（
）A．90种 B．120种 C．150种 D．180种重难点题型突破4特殊元素优先处理例4．（2021·天津市红桥区教师发展中心高二期末）共五人站成一排，如果必须站在的右边，那么不同的排法有___________种.【变式训练41】、（2022·江苏省天一中学高二期末）某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课，要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是___________．
【变式训练42】、（2021·全国·高二专题练习）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字且大于201345的正整数有（
）个.A．478 B．479 C．480 D．481重难点题型突破5相邻问题用捆绑与不相邻问题用插空例5．（2021·湖南师大附中高三阶段练习）某学校为高一年级排周一上午的课表，共5节课，需排语文､数学､英语､生物､地理各一节，要求语文､英语之间恰排1门其它学科，则不同的排法数是（
）A．18 B．26 C．36 D．48【变式训练51】、（2021·河南·南阳中学高三阶段练习（文））甲、乙、丙三人站成一排，则甲、乙不相邻的概率是（
）A． B． C． D．【变式训练52】、（2021·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理）），，，，五个人站成一排，则和分别站在的两边（可以相邻也可以不相邻）的概率为（
）A． B． C． D．
重难点题型突破6排列与组合中平均分问题例6．（2022·全国·高三专题练习（理））将4本不同的书本全部分给甲、乙、丙三位同学，每位同学都分到书的分法有（
）A．12种 B．24种 C．32种 D．36种【变式训练61】、（2021·浙江·高三开学考试）为庆祝中国共产党成立100周年，某志愿者协会开展“党史下乡”宣讲活动，准备派遣10名志愿者去三个乡村开展宣讲，每名志愿者只去一个乡村，每个乡村至少安排3个志愿者，则不同的安排方法共有________种．（用数字作答）重难点题型突破8涂色问题例7．（2019·浙江·）用四种颜色给下图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，若四种颜色全用上，则共有多少种不同的涂法（
）A．72 B．96 C．108 D．144
【变式训练71】、（2020·全国·（
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