第一章空间向量与立体几何-综合检测（基础版）

空间向量与立体几何本卷满分150分，考试时间120分钟。单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意，，而为平面的一个法向量，所以点到平面的距离.故选：A2．在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：因为点，则其关于平面对称的点为.故选：A.3．如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】连接AG并延长交BC于N，连接ON，由G是的重心，可得，则则故选：D4．设、，向量，，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，则，解得，则，因为，则，解得，即，所以，，因此，.故选：D.5．如图已知正方体，点是对角线上的一点且，，则（

）A．当时，平面 B．当时，平面C．当为直角三角形时， D．当的面积最小时，【答案】D【解析】解：由题可知，如图令正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，因为，所以，所以，，，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以对于A：若平面，则，则，解得，故A错误；对于B：若平面，则，即，解得，故B错误；当为直角三角形时，有，即，解得或（舍去），故C错误；设到的距离为，则，当的面积最小时，，故正确．故选：．6．已知正三棱柱的所有棱长都为2，N为棱的中点，动点M满足，λ∈[0，1]，当M运动时，下列选项正确的是（

）A．当时，的周长最小B．当λ=0时，三棱锥的体积最大C．不存在λ使得AM⊥MND．设平面与平面所成的角为θ，存在两个不同的λ值，使得【答案】B【解析】当时，是的中点，,当时，，,

故当时的周长并不是最小的.故A错.当λ=0时，,只需要面积最大体积就最大，此时重合，故B对.当是中点时，平面,又平面，则，故C错.取中点为,则平面,以所在直线为轴，故建立如图所示空间直角坐标系，平面的法向量为,故设平面的法向量为所以

令，则，故，故D不对.故选：B7．如图，在三棱锥中，平面，是边长为的正三角形，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】解法一：设E为BC的中点，连接FE，如图，∵E是BC的中点，∴∥，,,;在中，由余弦定理可知∴异面直线BE与AF所成角的余弦值为，解法二：以A为坐标原点，AC，AM所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，易知，，，所以，，则，∴异面直线BE与AF所成角的余弦值为.故选：D8．已知四面体ABCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，则下列结论中，不一定成立的是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】：如图，作以为邻边的平行四边形，以为邻边的平行四边形，以为邻边的平行四边形，连接，因为两两互相垂直，所以平行四边形，，都为矩形，对于A，因为AB，AC，AD两两互相垂直，且AB，AC，AD相交于同一点，所以平面，所以因为平面，所以，所以，若，则，所以，所以，所以A正确，对于B，因为，，四边形为矩形，所以，即，所以B正确，对于C，因为平面，平面，所以，所以，所以，因为与不一定垂直，所以不一定等于零，所以C错误，对于D，因为AB，AC，AD两两互相垂直，且AB，AC，AD相交于同一点，所以平面，平面，平面，平面，平面，平面，所以，所以，所以D正确，故选：C多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知，，是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（

）A．若，，则B．若，，两两共面，则，，共面C．对于空间的任意一个向量，总存在实数，，，使得D．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底【答案】AD【解析】：，，是空间的三个单位向量，由，，则，故A正确；，，两两共面，但是，，不一定共面，，，可能两两垂直，故B错误；由空间向量基本定理，可知只有当，，不共面，才能作为基底，才能得到，故C错误；若是空间的一组基底，则，，不共面，可知也不共面，所以也是空间的一组基底，故D正确．故选：AD.10．已知空间中三点A（0，1，0），B（1，2，0），C（－1，3，1），则正确的有（

）A．与是共线向量B．平面ABC的一个法向量是（1，－1，3）C．与夹角的余弦值是D．与方向相同的单位向量是（1，1，0）【答案】BC【解析】对A，，，因为，显然与不共线，A错误；对B，设平面的法向量，则，令，得，B正确.对C，，，C正确；对D，方向相同的单位向量，即，D错误；故选：BC11．如图，在边长为2的正方体中，E，F，G分别为，，的中点，则（

）A．∥平面B．平面C．异面直线与所成角的余弦值为D．点B到平面的距离为【答案】CD【解析】以D为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，，，，，，，．对于选项A，B：设平面的法向量为，则，即，令，则，，得，所以与平面不平行，与平面不垂直，即A，B错误．对于选项C：，则异面直线与所成角的余弦值为，即C正确．对于选项D：又，所以点B到平面的距离为，即D正确．故选：CD.12．已知三棱锥的底面是正三角形，则下列各选项正确的是（

）A．与平面所成角的最大值为B．与平面所成角的最小值为C．若平面平面，则二面角的最小值为D．若、都不小于，则二面角为锐二面角【答案】AC【解析】对于A选项，设点在平面内的射影点为，取的中点，连接、、、，设等边的边长为，则，平面，所以，直线与平面所成角为，平面，平面，则，为等边三角形，为的中点，则，，平面，平面，，所以，二面角的平面角为，，所以，，则，即当平面平面时，取得最大值，A对；对于B选项，由A选项可知，与平面所成角的最大值为，B错；对于C选项，取的中点，过点在平面内作，垂足为点，连接、，则，为等边三角形，为的中点，则，因为平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，，，平面，平面，，所以，二面角的平面角为，平面，平面，，因为，所以，，当且仅当时，等号成立，故当平面平面时，则二面角的最小值为，C对；对于D选项，过点在平面内作，垂足为点，过点在平面内作，垂足为点，则二面角的平面角为，设，，，，，，取，则，此时为钝角，即二面角为钝二面角，D错.故选：AC.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在空间直角坐标系Oxyz中，向量分别为异面直线方向向量，则异面直线所成角的余弦值为___________.【答案】【解析】因为，所以.因为异面直线所成角的范围为，所以异面直线所成角的余弦值为.故答案为：14．空间四边形中，，，，，，，则与所成角的余弦值等于___________．【答案】【解析】，，所以，，所以，.所以，与所成角的余弦值为.故答案为：.15．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点M在线段CC1上，且．点P在平面A1B1C1D1上，且AP⊥平面MBD1，则线段AP的长为________．【答案】##【解析】如图，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，则是靠近的线段的三等分点，，，，在平面上，设，则，由AP⊥平面MBD1，得，解得，所以，．故答案为：．16．一个正方体的平面展开图如图所示.在该正方体中，以下命题正确的是___________.（填序号）①；②平面；③与是异面直线且夹角为；④与平面所成的角为；⑤二面角的大小为.【答案】①②③⑤【解析】：由正方体的平面展开图可得正方体（其中与重合），如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，则，，，，，，，，，所以，，所以，所以，故①正确；，，所以，，即，，，平面，所以平面，即②正确；，显然与是异面直线，设与所成角为，则，因为，所以，故③正确；，平面的法向量可以为，设与平面所成的角为，所以，故④错误；，，设平面的法向量为，则，令，所以，设二面角为，显然二面角为锐二面角，则，所以，故⑤正确；故答案为：①②③⑤四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在平行六面体中，．求：(1)；(2)的长；(3)的长．【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)解：由向量的数量积的概念，可得.(2)解：因为，所以，即的长为.(3)解：以为，所以.18（12分）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点，是线段上一动点.(1)求证：平面平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为时，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)证明：因为，，则，平面，平面，，，、平面，平面，平面，因此，平面平面.(2)解：因为底面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、，设，，其中，易知平面的一个法向量为，由已知可得，解得，所以，为的中点，即，设平面的法向量为，，，则，取，可得，易知平面的一个法向量为，所以，，由图可知，二面角的平面角为钝角，故二面角的余弦值为.19（12分）在三棱台中，平面，，且，为的中点，是的中点.(1)证明：平面平面.(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)连接，设，则，，.因为平面，为的中点，所以平面.因为，所以.以为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，.因为，，，所以，，所以，.因为，所以平面.因为平面，所以平面平面.(2)由（1）知，，，.设平面的法向量为，则令，得.设平面的法向量为，则令，得.因为，且二面角为锐角，所以二面角的余弦值为20（12分）四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，侧面底面，，，是BC的中点，点在侧棱PC上.(1)若Q是PC的中点，求二面角的余弦值；(2)是否存在，使平面DEQ?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)；(2)时，平面.【解析】(1)解：取中点，连接，，．因为，所以．因为侧面底面，且平面底面，所以底面．可知，，，以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系．则，因为为中点，所以．所以，所以平面的法向量为．因为，设平面的法向量为，则，即．令，则，即．所以．由图可知，二面角为锐角，所以余弦值为．(2)解：设由（1）可知．设，，，则，又因为，所以，即．所以在平面中，，所以平面的法向量为，又因为平面，所以，即，解得．所以当时，即，平面21（12分）如图，在四棱锥中，底面，E､分别为棱的中点(1)作出平面与平面BFE的交线，并说明理由.(2)求一面角的余弦值.【答案】(1)答案见解析(2)【解析】(1)如图，取的中点，连接交于，连接，则平面平面以下为证明过程，则四边形为正方形，四边形为平行四边形，，又，故为平行四边形，.则，B､F､E､四点共面，平面，又平面为平面与平面的公共点，又为平面与平面的公共点平面平面(2)因为底面平面，所以，.由题意可知，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨令，则，所以，设平面的一个法向量为.由得：不妨令，得.故平面的一个法向量，，所以设平面的一个法向量为.由得令，得，所以.因为二面角为锐角，所以一面角的余弦值为22．（12分）如图，AB为圆柱底面的直径，是圆柱底面的内接正三角形，AP和DQ为圆柱的两条母线，若．(1)求证：平面PCQ⊥平面BDQ；(2)求BP与面ABQ所成角正弦值；(3)求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【解析】(1)因为AB为圆柱底面的直径，所以，因为DQ为圆柱的母线，故，又，