专题8-1外接球-2023年高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练

专题81外接球目录TOC\o"13"\h\u【题型一】长方体外接球：三线垂直型 2【题型二】长方体特殊性质：对棱相等型 4【题型三】线面垂直型（直棱柱型） 6【题型四】三棱锥型外接球 9【题型五】四棱锥型外接球 11【题型六】圆锥外接球 15【题型七】圆柱外接球 17【题型八】圆台外接球 19【题型九】棱台外接球 20【题型十】面面垂直型 25【题型十一】二面角型外接球 28【题型十三】外接球和内切球 31二、真题再现 34三、模拟检测 40综述：一、解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.二、长方体补形法即将立体图形补成规则几何体，常见有以下几种：(1).有三条棱两两垂直——长方体；(2).有三条棱两两垂直且相等——正方体；(3).各棱长均相等的四面体——正方体；(4).有一侧棱垂直于底面的锥体——直棱柱；(5).三组对棱对应相等的四面体——长方体三、解决二面角型外接球，则可以参考外心垂线相交法【题型一】长方体外接球：三线垂直型【典例分析】三棱锥中，，，互相垂直，，是线段上一动点，若直线与平面所成角的正切的最大值是，则三棱锥的外接球表面积是A． B． C． D．【答案】B【详解】如图所示，过点作，连接，则为直线与平面所成最大角，设，则中，，所以，解得，此时可把该三棱锥补成一个长方体，所以长方体的对角线长等于球的直径，即，所以球的表面积为，故选B.【提分秘籍】基本规律正方体的棱长为a，球的半径为R，则： ①若球为正方体的外接球，则2R＝eq\r(3)a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③球与正方体的各棱相切，则2R＝eq\r(2)a.长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则外接球直径＝长方体对角线，即：2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).【变式演练】1.如图，在三棱锥的平面展开图中，，，三点共线，，，三点共线，，，，的面积为，则三棱锥的外接球表面积为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根据还原的直观图，分析可得三条线两两垂直，再利用补体计算求得外接球的表面积.【详解】首先根据平面展开图，还原三棱锥的直观图，由条件可知，所以设，因为，所以，，得，因为，，所以，即，同理，，根据条件三点共线，所以，所以三条线两两垂直，那么三棱锥的外接球的半径满足，得,所以三棱锥外接球的表面积.故选：B2.已知矩形，，，为的中点，现分别沿将，翻折，使点重合，记为点，则几何体的外接球表面积为A． B． C． D．【答案】C【分析】将平面矩形通过折叠得到三棱锥后找不变的量，如边长、角度等不变的量，可以得到两两垂直的棱，将其补全为长方体，则其对角线为外接球直径，从而计算出答案【详解】由题意翻折可得几何体中：,即三棱锥可以补成以PB,PC,PE为边的长方体，其对角线为外接球的直径：故外接球的表面积为：故选3.《九章算术》中记载，堑堵是指底面为直角三角形的直三棱柱，阳马是指底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥，如图，在堑堵中，，=3，当阳马的体积为8时，堑堵的外接球表面积的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，，由阳马的体积为8求得，把堑堵补形为长方体，求其对角线长的最小值，可得堑堵的外接球的半径的最小值，代入球的表面积公式得答案．【详解】解：根据题意，把堑堵补形为长方体，则长方体的对角线即为堑堵的外接球的直径，设，，则阳马体积，，把堑堵补形为长方体，则长方体的对角线长，当且仅当时上式取“”．即堑堵的外接球的半径的最小值为，堑堵的外接球的表面积的最小值为，故选：B．【题型二】长方体特殊性质：对棱相等型【典例分析】在三棱锥P－ABC中，PA＝BC＝5，，，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将棱锥补全为长方体，由长方体外接球直径与棱长关系求直径，进而求其表面积.【详解】三棱锥P－ABC中，PA＝BC＝5，，，构造长方体使得面对角线分别为5，，，则长方体体对角线长等于三棱锥外接球直径，如图所示，设长方体棱长分别为a，b，c，则，，，则，即，外接球表面积.故选：D【提分秘籍】基本规律对棱相等的正四面体：三棱锥对棱相等，【变式演练】1.如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】将三棱锥放到长方体中，设长方体的长、宽、高分别为，求出即得三棱锥外接球的半径，即得解.【详解】解：由题意，，，，将三棱锥放到长方体中，可得长方体的三条对角线分别为，2，，设长方体的长、宽、高分别为，则，，，解得，，．所以三棱锥外接球的半径．三棱锥外接球的体积．故选：C2.在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，构造面对角线长分别为4，5，的长方体，求出其体对角线长即可求解作答.【详解】三棱锥中，，，，构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，，则长方体的对角线长等于三棱锥外接球的直径，如图，设长方体的棱长分别为，，，则，，，则，因此三棱锥外接球的直径为，所以三棱锥外接球的表面积为．故选：A【题型三】线面垂直型（直棱柱型）【典例分析】若球О是直三棱柱的外接球，三棱柱的高和体积都是4，底面是直角三角形，则球О表面积的最小值是___________.【答案】【分析】由题意作图，可得外接球半径R满足，根据题意可得，由球的表面积公式可得，结合基本不等式即可得出结果.【详解】由题意得，在底面直角三角形中，设，，如图，设三棱柱的外接球的半径为R，则，又三棱柱的高和体积都为4，所以，得，所以三棱柱外接球的表面积为：(当且仅当时等号成立)，所以外接球的表面积的最小值为.故答案为：【提分秘籍】基本规律线面垂直型：存在一条棱垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外接圆半径是r，满足正弦定理）1.模板图形原理图1图22.计算公式【变式演练】1.在三棱锥中，平面，，则三棱锥的外接球体积的最小值为A． B． C． D．【答案】D【分析】设，由的面积为2，得，进而得到外接圆的半径和到平面的距离为，在利用球的性质，得到球的半径，即可求解.【详解】如图所示，设，由的面积为2，得，因为，外接圆的半径，因为平面，且，所以到平面的距离为，设球的半径为R，则，当且仅当时等号成立，所以三棱锥的外接球的体积的最小值为，故选D.2.直三棱柱ABC-A1B1C1外接球表面积为16π，AB=2，若ΔABC，矩形A．22 B．3 C．10 D．【答案】C【解析】【分析】设AB中点为M，ΔABC，矩形ABB1A1外接圆的圆心分别为O1,O2，球心为O，则由OO1⊥平面ABC与O2【详解】解：由外接球表面积为16π，可得外接球半径为2.设AB中点为M，ΔABC，矩形ABB1A1外接圆的圆心分别为O1,O2，球心为O，则由OO1∴r∴r1+r22故选C.3.已知球是三棱锥的外接球，，，点是的中点，且，则球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】证明平面，以为底面，为侧棱补成一个直三棱柱，则球是该三棱柱的外接球，计算半径得到答案.【详解】由，，得.由点是的中点及，易求得，又，所以，所以平面.以为底面，为侧棱补成一个直三棱柱，则球是该三棱柱的外接球，球心到底面的距离，由正弦定理得的外接圆半径，所以球的半径为，所以球的表面积为.故选：.【题型四】三棱锥型外接球【典例分析】在四面体中，三角形为等边三角形，边长为，，，，则四面体外接球表面积为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据几何体的棱长关系及线面关系确定出球心位置，然后解出半径，得出外接球表面积.【详解】如图所示，取的中点为,取中点为点，连接.因为,且点为的中点，则，又，，，则，因为//,所以，所以平面，则，又因为,中点为点,则，所以平面,所以球心位于上.设球心位点，半径为,则,由勾股定理得：，则，解得，故外接球的表面积为.故选：D.【提分秘籍】基本规律面面垂直型：1.正三棱锥对棱垂直。2.正三棱锥外接球球心可能在三棱锥内部，也可能不在。但一定在三棱锥定点向地面所做的垂线上3.计算公式和图形：4.正四面体，类比等边三角形外心和内心，可证：外心和内心重合，恰好位于高的四等分点处，【变式演练】1.已知正三棱锥的外接球的半径为，且满足则正三棱锥的体积为A． B． C． D．【答案】A【分析】根据判断出为等边三角形的中心，由此求得正三棱锥的底面积和高，进而求得正三棱锥的体积.【详解】由于三棱锥是正三棱锥，顶点在底面的射影是底面中心.由可知，为等边三角形的中心，由于正三棱锥的外接球的半径为，故由正弦定理得，且正三棱锥的高为球的半径，故正三棱锥的体积为.所以本小题选A.2.三棱锥P﹣ABC的底面ABC是等腰三角形，AC＝BC＝2，AB＝2，侧面PAB是等边三角形且与底面ABC垂直，则该三棱锥的外接球表面积为_____．【答案】【分析】求出的外接圆半径，的外接圆半径，求出外接球的半径，即可求出该三棱锥的外接球的表面积．【详解】由题意，设的外心为，的外心为，则的外接圆半径，在中，因为，由余弦定理可得，所以，所以的外接圆半径，在等边中，由，所以，所以，设球心为，球的半径为，则，又由面，面，则，所以该三棱锥的外接球的表面积为．故答案为：．3.一副三角板由一块有一个内角为的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，，，，.现将两块三角板拼接在一起，使得二面角为直二面角，则三棱锥的外接球表面积为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据球的性质可知球心在OM上，也在过M与平面ABC垂直的线上，故M即为球心.【详解】是等腰直角三角形，外接圆的圆心为的中点,取中点，连接，∥,,二面角为直二面角,且为交线,平面，过球心，①又为，且为斜边为的外接圆圆心，故球心在过的直线上，②由①②知，球心为，，，,，,故选：A【题型五】四棱锥型外接球【典例分析】已知四棱锥的底面是矩形，其中，，面面，，且直线与所成角的余弦值为，则四棱锥的外接球表面积为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求得外接球的半径，由此求得外接球的表面积.【详解】设交于，是的中点，是三角形的外心.由于面面，是它们的交线，，四边形是矩形，所以，所以平面，平面，，是直线与所成角，，，所以，所以三角形是等边三角形，设其外接圆半径为，则，设外接球球心为，则外接球半径.所以外接球的表面积为.故选：C【提分秘籍】基本规律四棱锥型：1.会存在外接球球心在棱锥内部或者棱锥外部的不同情况。2.满足或者3.特殊情况下，还可以转化为“线面垂直直棱柱模型”【变式演练】1.某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球表面积为A． B． C． D．【答案】C【分析】画出几何体的直观图，利用底面的外心和高的一半求得球的半径，由此求得球的表面积.【详解】画出几何体的直观图如下图所示，设球心为，底面等边三角形的外心为，由三视图可知，设球的半径为，则，故球的表面积为，故选C.2.所有棱长均为的正四棱锥外接球表面积为A． B． C． D．【答案】C【分析】正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，然后根据勾股定理解出球的半径，最后根据球的表面积公式求解即可.【详解】如图，设正四棱锥的底面中心为O，则在中，，所以，在中，，所以正四棱锥的各个顶点到它的底面中心的距离都为，所以正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，且球半径为，所以球的表面积，故选C.3.一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的外接球表面积为，则该几何体的体积为A． B． C． D．【答案】B【分析】先将几何体还原得四棱锥PABCD，做底面中心的垂线，通过列方程找到球心的位置，进而再求四棱锥的高，从而可得体积.【详解】由三视图可知该几何体为四棱锥PABCD，其中ABCD是边长为2的正方形，侧面PBC垂直于底面ABCD，为等腰三角形.设BC的中点为F，四边形ABCD的中心为点H，连接PF,FH，过点H作平面ABCD的垂线，则球心在该直线上，即为点O，过点O作于点E，连接OP.设四棱锥PABCD的外接球半径为R，由其表面积为，得，解得.设OH=x，则在直角三角形OHB中，有，解得.在直角三角形POE中，，所以，解得.（负值已舍去）所以PF=PE+EF=2.所以四棱锥PABCD的体积.故选B.【题型六】圆锥外接球【典例分析】圆锥（其中为顶点，为底面圆心）的侧面积与底面积的比是，则圆锥与它的外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为__________．【答案】【分析】设出圆锥底面半径和母线长，利用侧面积和底面积的比求得与的关系，由此求得圆锥的高，进而求得圆锥的体积.利用轴截面计算出圆锥外接球的半径，由此求得外接球的体积，进而求得圆锥与它的外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比.【详解】设圆锥底面圆的半径为，圆锥母线长为，则侧面积为，侧面积与底面积的比为，则母线，圆锥的高为，则圆锥的体积为，设外接球的球心为，半径为，截面图如图，则，，，在直角三角形中，由勾股定理得，即，展形整理得，则外接球的体积为，故所求体积比为.故填：【提分秘籍】基本规律圆锥外接球，可类比正三棱锥（任意正棱锥）求解【变式演练】1.已知一个圆锥的底面直径为，其母线与底面的夹角的余弦值为.圆锥内有一个内接正方体，该内接正方体的顶点都在圆锥的底面或侧面上，则这个正方体的外接球表面积为_________.【答案】【分析】根据题意画出正方体的对角截面,分析正方体的边长再计算外接球表面积即可.【详解】如图所示,作出圆锥的一个轴截面,其中为母线,为底面直径,,是正方体的棱长,是正方体的上、下底面的对角线,设正方体的棱长为,则,,又,.故高.依题意得,,即.故正方体的体对角线,即外接球的直径.故外接球表面积.故答案为：2..圆锥（其中为顶点，为底面圆心）的侧面积与底面积的比是，则圆锥与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知条件求得圆锥母线与底面圆半径r的关系，从而得到圆锥的高与r关系，计算圆锥体积，由截面图得到外接球的半径R与r间的关系，计算球的体积，作比即可得到答案.【详解】设圆锥底面圆的半径为r,圆锥母线长为l，则侧面积为，侧面积与底面积的比为,则母线l=2r,圆锥的高为h=,则圆锥的体积为,设外接球的球心为O,半径为R,截面图如图，则OB=OS=R,OD=hR=,BD=r,在直角三角形BOD中，由勾股定理得,即,展开整理得R=所以外接球的体积为,故所求体积比为故选A3.设一圆锥的外接球与内切球的球心位置相同，且外接球的半径为，则该圆锥的体积为A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意得圆锥的轴截面为正三角形,其外接圆半径为2,所以圆锥底面半径为,高为3,体积为,选B.【题型七】圆柱外接球【典例分析】已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球，球的表面积为，则该圆柱的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设外接球的半径为，圆柱底面圆的半径为，由球的表面积为，得，根据轴截面为正方形列方程解得，代圆柱的体积公式得解.【详解】设外接球的半径为，圆柱底面圆的半径为，因为圆柱的轴截面为正方形，所以圆柱的高，由球的表面积，得，又，得，所以圆柱的体积.故选：C.【提分秘籍】基本规律圆柱外接球，类比正棱柱外接球的求法求解。【变式演练】1.已知圆柱的侧面积为，其外接球的体积为V，则V的最小值为_____________．【答案】##【分析】设圆柱的底面半径与高，通过圆柱的侧面积求解关系式，表示出外接球的体积，利用基本不等式即可得到的最小值.【详解】设圆柱的底面半径为r，高为h，因为圆柱的侧面积为，所以，得，设圆柱外接球半径为R，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为1，所以外接球的体积V的最小值为．故答案为：.2.．如图，棱长均相等的直三棱柱的上、下底面均内接于圆柱的上、下底面，则圆柱的侧面积与其外接球的表面积之比为______．【答案】【分析】设三棱柱的棱长为，再求出圆柱的半径与其外接球的半径即可求解【详解】设三棱柱的棱长为，所以外接圆的半径，所以圆柱外接球的半径．故外接球的表面积为，圆柱的侧面积为，所以圆柱的侧面积与其外接球的表面积之比为．故答案为：3.如图，圆柱的底面半径为，高为，记圆柱的表面积为，圆柱外接球的表面积为，若，则的值为（

）A． B． C．或1 D．或1【答案】D【分析】根据已知条件，应用圆柱体、球体的表面积公式得到、关于、的表达式，再由求的值即可.【详解】∵圆柱的表面积，圆柱的外接球的半径为，∴其外接球的表面积，∴，即，∴，则或，故选：D．【题型八】圆台外接球【典例分析】圆台的上下底面半径和高的比为，母线长为，则圆台的外接球表面积为________．【答案】【分析】根据题意画出图形，结合图形求出圆台的上下底面半径，进一步求得圆台外接球的半径，则答案可求．【详解】解：设圆台的上底半径为，则下底半径是，高为，作轴截面如图所示：又母线长为，，解得．圆台的上底面半径是3，下底面半径是4，高是1，设圆台外接球的半径为，则，，又，联立解得．圆台的外接球表面积为．故答案为：【变式演练】1.已知圆台上底半径为1，下底半径为3，高为2，则此圆台的外接球的表面积为______．【答案】【分析】先画出圆台的轴截面，利用圆心到上底圆周上一点等于外接球半径，圆心到下底圆周上一点等于外接球半径，建立方程，解出外接球半径，求出外接球表面积.【详解】如图所示，设外接球半径为r，球心到上底的距离为h，则球心到下底的距离为则有，，解得，．所以外接球的表面积为．故答案为：2.已知圆台上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为，圆台的外接球的球心为O，且球心在圆台的轴上，满足，则圆台的外接球的表面积为____________．【答案】【分析】根据题意可得，，从而求出外接球半径，再利用球的表面积公式即可求解.【详解】，，且，得，解得，球O的表面积为．故答案为：3.已知圆台的母线长为2，母线与轴的夹角为60°，且上、下底面的面积之比为1：4，则该圆台外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出圆台的高及上下底面半径，设出外接球半径，由勾股定理解出半径，再由表面积公式求解即可.【详解】圆台上、下底面的面积之比为1：4，则半径比为1：2，设圆台上、下底面半径为，因母线与轴的夹角为60°，可得圆台高为1，则；设圆台外接球的半径为，球心到下底面的距离为，易得圆台两底面在球心同侧，则，且，解得，则该圆台外接球的表面积为.故选：C.【题型九】棱台外接球【典例分析】我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童，如图的刍童有外接球，且，点E到平面距离为4，则该刍童外接球的表面积为________．【答案】【分析】由已知得，球心在上下底面中心的连线上，该连线与上下底面垂直，球心必在该垂线上，然后根据，利用直角三角形与直角三角形，即可列出外接球半径的方程，求解即可.【详解】连接、交于点，连接、交于点，由球的几何性质可知，刍童外接球的球心必在线段上，如图，由题意可知，平面，平面，，设，在中，，在矩形中，，，，在中，，在矩形中，，，，设外接球半径，，解得，则，即该刍童的外接球半径为该刍童外接球的表面积为：，故答案为：.【提分秘籍】基本规律正棱台外接球，以棱轴截面为主。【变式演练】1.在正四棱台中，，则（

）A．该棱台的体积为，该棱台外接球的表面积为B．该棱台的体积为，该棱台外接球的表面积为C．该棱台的体积为，该棱台外接球的表面积为D．该棱台的体积为，该棱台外接球的表面积为【答案】B【分析】根据正棱台中的直角梯形（或直角三角形）求得棱台的高，外接球的半径，从而计算棱台体积、球表面积．【详解】如图，正四棱台中，、分别是上、下底面对角线交点，即上、下底面中心，是正四棱台的高．，，在直角梯形中，，棱台的体积为，由对称性外接球球心在直线上，设球半径为，连接，，，若在线段上（如图1），由得，因为，，所以方程无实数解，因此在的延长线上（如图2），即在平面下方，因此有，解得，所以球表面积为．故选：B．图1图22.在正四棱台中，，，则该棱台外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设所求外接球球心为，则在上下底面中心的连线上，利用勾股定理可求得，设，在和中，利用勾股定理可构造方程组求得，代入球的表面积公式即可求得结果.【详解】由题意知：四边形均为正方形，为上下底面的中心，设正四棱台的外接球球心为，外接球半径为，则直线；，，，又，，当位于线段上时，设，则，解得：（舍）；当位于线段的延长线上时，设，则，解得：；该棱台的外接球表面积.故选：D.3.如图，三棱台ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，BC＝6，A1B1＝A1C1＝4，AA1＝5，平面BCC1B1⊥平面ABC，则该三棱台外接球的体积为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据面面垂直的性质，结合球的几何性质、球体积进行求解即可.【详解】设的中点分别为，连接，如下图所示：显然，因为平面BCC1B1⊥平面ABC，平面BCC1B1⊥平面ABC，所以平面ABC，显然该三棱台外接球的球心在直线上，设球心为因为AB⊥AC，BC＝6，A1B1＝A1C1＝，所以，因此，当在线段上时，如下图所示：设，由勾股定理可知：，所以球的体积为：，当不在线段上时，如下图所示：，由勾股定理可知：，方程组无实数解，故选：A【题型十】面面垂直型【典例分析】.如图，在中，，，是的角平分线，沿将折起到的位置，使得平面平面.若，则三棱锥外接球的表面积是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题中的条件求出的三边，再求外接圆的半径，最后通过构造直角三角形求出外接球的半径即可.【详解】过点作，连接.设，则，，.在中，由余弦定理可得.因为平面平面，所以平面，所以，则，从而.在中，由余弦定理可得.因为是的角平分线，所以，.因为，且，所以.设外接圆的圆心为，半径为，则，点到直线的距离.设三棱锥外接球的球心为，半径为，则，即，解得，故三棱锥外接球的表面积是.故选：A【提分秘籍】基本规律面面垂直型基本图形一般情况下，俩面是特殊三角形。垂面型，隐藏很深的线面垂直型，【变式演练】1.在三棱锥中，，平面平面ABC，，，则三棱锥外接球的半径为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】设三棱锥外接球的球心为O，AC的中点为M，则由已知条件可得O为的外心，球半径R为外接圆半径,从而可求得结果【详解】设三棱锥外接球的球心为O，AC的中点为M，则平面ABC，而平面平面ABC，故O为的外心，球半径R为外接圆半径,则，故．故选:B．2.在三棱锥中，，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】如图，取BC的中点E，连接AE，DE，过作，垂足为，根据面面垂直的性质可知四边形为矩形，利用勾股定理求出，列出关于外接球半径R的方程，求出，结合球的表面积公式计算即可.【详解】由题意得，如图，取BC的中点E，连接AE，DE，则外接圆圆心在DE上，且，解得，设三棱锥外接球球心为O，连接，，过作，垂足为，由平面平面，得，故四边形为矩形，因为，所以，且，所以，设三棱锥外接球半径为R，有，又，所以，解得，所以三棱锥外接球的表面积为.故选：D.3..如图所示，在三棱锥ABCD中，平面ACD⊥平面BCD，△ACD是以CD为斜边的等腰直角三角形，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（

）A．40π B．20π C．32π D．80π【答案】A【分析】设中点为，连接，过点作，进而根据已知条件证明三棱锥的外接球的球心在上，再设外接球的半径为，球心为，中点为，连接，再根据几何关系得，进而代入数据计算即可得答案【详解】设中点为，连接，因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以，，过点作，因为平面平面，平面平面所以平面，平面，所以三棱锥的外接球的球心在上，设外接球的半径为，则由得，由得，又因为，所以为等腰直角三角形，设球心为，中点为，连接，则，所以，即，解得，所以三棱锥的外接球的表面积为.故选：A【题型十一】二面角型外接球【典例分析】在菱形中，，将沿折起到的位置，若二面角的大小为，三棱锥的外接球球心为，的中点为，则A．1 B．2 C． D．【答案】B【详解】因为在菱形中，的中点为,所以,则,所以为二面角的平面角,,由于,所以为等边三角形,若外接圆的圆心为,则平面,在等边中,,可以证明,所以,又,所以,在中,,选B.【提分秘籍】基本规律二面角型，多是可以借助外心垂线相交法来计算解决。1.等边或者直角：（1）等边三角形中心（外心）做面垂线，必过球心；2.直角三角形斜边中点（外心）做面垂线，必过球心；3.许多情况下，外心垂线夹角与二面角相等或者互补。【变式演练】1.如图，在三棱锥中，，二面角的正弦值是，则三棱锥外接球的表面积是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二面角S﹣AC﹣B的余弦值求得，由此判断出，且两两垂直，由此将三棱锥补形成正方体，利用正方体的外接球半径，求得外接球的表面积.【详解】设是的中点，连接，由于，所以，所以是二面角的平面角，所以.在三角形中，，在三角形中，，在三角形中，由余弦定理得：，所以，由于，所以两两垂直.由此将三棱锥补形成正方体如下图所示，正方体的边长为2，则体对角线长为.设正方体外接球的半径为，则，所以外接球的表面积为，故选：.2..已知菱形ABCD的边长为2，且，沿BD把折起，得到三棱锥，且二面角的平面角为60°，则三棱锥的外接球的表面积为（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】取的中点H，连接,由此确定三棱锥外接球球心的位置，进而求得外接球半径，即可求得答案.【详解】取的中点H，连接，因为ABCD为菱形，所以,故为二面角的平面角，则，由题意可知为正三角形，则外接球球心位于过的中心且和它们所在面垂直的直线上，故分别取的重心为，过点，分别作两个平面的垂线，交于点O，点O即为三棱椎的外接球的球心，由题意可知，球心到面和面的距离相等，即,连接，则,菱形ABCD的边长为2，，即三棱锥的外接球的半径，则其外接球的表面积为，故选：B．3.已知在菱形中，，把沿折起到位置，若二面角大小为，则四面体的外接球体积是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先找截面圆的圆心，过圆心作截面的垂线，球心在垂线上，找到球心再利用勾股定理即可得到答案.【详解】设的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，过这两点分别作平面、平面的垂线，交于点O，则O就是外接球的球心；取中点E，连接，因为，，所以，因为和是正三角形，所以，由得，所以由，即球半径为，所以球体积为．故选：C.【题型十三】外接球和内切球【典例分析】已知正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，内有一个体积为的球，若的最大值为，则此三棱柱外接球表面积的最小值为______.【答案】【分析】求出正三棱柱底面内切圆、外接圆的半径，对和分类讨论，即可求出此三棱柱外接球表面积的最小值.【详解】解：因为正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，则底面三角形的内切圆的半径，外接圆的半径三棱柱内的球的体积的最大值为，此时球的半径，当，即时，三棱柱的内的球的半径，取得最大值，因为，所以不可能为；当，即时，三棱柱的内的球的半径，取得最大值解得，又，所以，设正三棱柱外接球的半径为，则正三棱柱外接球表面积.当时，取得最小值。故答案为：【提分秘籍】基本规律内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等，正多面体的内切球和外接球的球心重合，正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合.其中锥体与内切球的关系：(V为几何体的体积，S为多面体的表面积，r为内切球的半径)【变式演练】1.在三棱锥中，，二面角、、的大小均为，设三棱锥的外接球球心为，直线交平面于点，则三棱锥的内切球半径为_______________，__________【答案】【分析】作平面，垂足为，则由已知是内心，由直角三角形的性质求得内切圆半径从而可得，由此用体积法求得内切球半径，过斜边中点作平面的垂线，则外接球球心在此垂线上，只是要确定在平面的哪一侧，可分类讨论，同时由垂直得平行，从而得共线，求出外接球半径，求得后可得结论．【详解】如图，作平面，垂足为，过作于，连接，由平面，平面，得，同理，又，所以平面，而平面，所以，所以为二面角的平面角，所以，所以，又面角、、的大小均为，所以到三边距离相等，点到的距离也相等，所以是的内心，因为，所以，，所以，从而，，，，，，，所以三棱锥的全面积为，设内切球半径为，则，所以．设是中点，则是外心，所以平面，所以，则共线，在直角中，以为轴建立平面直角坐标系，由，，∴，设三棱锥外接球半径为，即，若在图1位置所示，由直角梯形和直角得（*），解得与（*）式不合，图2若如图2位置所示，则，解得，此时，∴，∴．故答案为：；．2.一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是、、、，则该四面体的内切球与外接球体积之比为______【答案】##【分析】作出坐标系和四面体，得到四面体和正方体的关系，利用正方体的外接球和正方体的关系求出外接球的半径，再利用分割法得到正四面体的体积，进而求出其内切球的半径，最后利用球的体积公式进行求解.【详解】点、、、恰为棱长为的正方体的四个点，该四点构成了一个棱长为的正四面体（如图所示）.设该正四面体的内切球和外接球半径分别为、，体积分别为、，则该正四面体的外接球也是正方体的外接球，则，即.由图可得该四面体的体积为：，又，所以，解得，则，.故答案为：.3.已知正方体的棱长为，球是正方体的内切球，是球的直径，点是正方体表面上的一个动点，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可得：，，由空间向量的线性运算和数量积运算计算，再由正方体的性质求得的范围即可求解.【详解】因为球是棱长为的正方体的内切球，是球的直径，所以，，，因为，又因为点是正方体表面上的一个动点，所以当为正方体顶点时，有最大值为；当为内切球与正方体的切点时，有最小值为，即，，所以，故选：B.1．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．故选：A．2．（2022·全国·高考真题（文））已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】方法一：先证明当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.【详解】[方法一]：【最优解】基本不等式设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，设四边形ABCD对角线夹角为，则（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为又设四棱锥的高为，则，当且仅当即时等号成立.故选：C[方法二]：统一变量＋基本不等式由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，(当且仅当，即时，等号成立)所以该四棱锥的体积最大时，其高.故选：C．[方法三]：利用导数求最值由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，，令，，设，则，，，单调递增，，，单调递减，所以当时，最大，此时．故选：C.【整体点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解；方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值；方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法．3．（2021·天津·高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点，设圆锥和圆锥的高之比为，即，设球的半径为，则，可得，所以，，所以，，，，则，所以，，又因为，所以，，所以，，，因此，这两个圆锥的体积之和为.故选：B.4．（2020·天津·高考真题）若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即，所以，这个球的表面积为.故选：C.【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.5．（2020·全国·高考真题（理））已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知可得等边的外接圆半径，进而求出其边长，得出的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.【详解】设圆半径为，球的半径为，依题意，得，为等边三角形，由正弦定理可得，，根据球的截面性质平面，，球的表面积.故选：A【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.6．（2020·全国·高考真题（理））已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】根据球的表面积和的面积可求得球的半径和外接圆半径，由球的性质可知所求距离.【详解】设球的半径为，则，解得：.设外接圆半径为，边长为，是面积为的等边三角形，，解得：，，球心到平面的距离.故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.7．（2019·全国·高考真题（理））已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为A． B． C． D．【答案】D【分析】先证得平面，再求得，从而得为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.【详解】解法一:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，，又，分别为、中点，，，又，平面，平面，，为正方体一部分，，即，故选D．解法二:设，分别为中点，，且，为边长为2的等边三角形，又中余弦定理，作于，，为中点，，，，，又，两两垂直，，，，故选D.【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．8．（·湖南·高考真题（文））一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】试题分析：由三视图可知，这是一个三棱柱，内切球在正视图的投影是正视图的内切圆，设其半径为，根据三角形面积公式有.考点：几何体的内切球.9．（全国·高考真题（文））正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】正四棱锥PABCD的外接球的球心在它的高上，记为O，PO=AO=R，，=4R，在Rt△中，，由勾股定理得，∴球的表面积，故选A.考点：球的体积和表面积10．（福建·高考真题（理））顶点在同一球面上的正四棱柱中，，则两点间的球面距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】正四棱柱的八个顶点都在同一球面上，则正四棱柱的对角线长为球的直径，中点为球心，利用勾股定理得,进而得到两点间的球面距离.【详解】因为正四棱柱的八个顶点都在同一球面上，所以正四棱柱的对角线长为球的直径，中点为球心，即，又因为，，，所以，所以两点间的球面距离，故选：B.1.已知三棱锥，，、两两垂直，，，，则三棱锥的外接球表面积为A． B． C． D．【答案】D【分析】若三棱锥从一个顶点出发的三条棱互相垂直，则该三棱锥的外接球与以这三条棱为邻边的长方体的外接球相同.【详解】因为三棱锥中，，、两两垂直，所以其外接球半径满足，.故三棱锥的外接球表面积为.故选：D.2.已知在四面体中，，则四面体的外接球表面积为______.【答案】【分析】把四面体补成为一个长方体，利用长方体求出外接球的半径，即可求出外接球表面积.【详解】对于四面体中，因为，所以可以把四面体还原为一个长方体，如图：设从同一个顶点出发的三条边长分别为x、y、z，则有：，解得：点A、B、C、D均为长、宽、高分别为，，的长方体的顶点，且四面体的外接球即为该长方体的外接球，于是长方体的体对角线即为外接球的直径，不妨设外接球的半径为，∴，∴外接球的表面积为.故答案为：.3.三棱锥中，平面，，的面积为3，则三棱锥的外接球体积的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用因为的面积为3，所以，正弦定理，得出外接圆半径，以及勾股定理表示出外接球半径，再用基本不等式求出半径的最小值，从而得出体积的最小值.【详解】设，因为的面积为3，所以，，利用正弦定理得，所以三角形ABC外接圆半径为，平面，所以球心O到平面ABC的距离为，设球O的半径为R，则，当且仅当时，等号成立，故三棱锥的外接球体积的最小值为.故选：C4.边长为6的两个等边，所在的平面互相垂直，则四面体的外接球表面积为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，确定外接球球心为过等边三角形中心与，且与所在平面垂直的两条直线的交点，则为外接球半径，在可知，则，，在中，，再根据球的表面积公式，求解即可.【详解】如图所示：为过中心且垂直平面的直线，为过中心且垂直平面的直线，与相交于点.由球的性质知：四面体的外接球球心为点.取的中点为，则，，三点共线，，，三点共线，，所以，因为为的中心，所以.因为，所以.又因为，所以.即外接球表面积为.故选：B5..在四棱锥中，若，四棱锥外接球表面积为__________.【答案】【分析】根据题意，四棱锥的外接球与三棱锥的外接球为同一个，三棱锥为正四面体，进而构造正方体，利用正方体求解即可.【详解】因为，∠所以，即四边形四点共圆，四棱锥的外接球与三棱锥的外接球为同一个，又，，所以三棱锥为正四面体，如图，构造棱长为1的正方体，正四面体的外接球即为正方体的外接球，易求得外接球半径，所以外接球表面积.故答案为：6.设圆锥的顶点为，为圆锥底面圆的直径，点为圆上的一点（异于、），若，三棱锥的外接球表面积为，则圆锥的体积为___________.【答案】或【分析】计算出三棱锥的外接球的半径，利用勾股定理可求得圆锥的高，进而可求得该圆锥的体积.【详解】设圆锥的外接球球心为，则在直