第20讲求数列的通项公式（原卷版）

专题20求数列的通项公式方法总结：1、累加（累乘法）（1）累加法：如果递推公式形式为：，则可利用累加法求通项公式①等号右边为关于的表达式，且能够进行求和②的系数相同，且为作差的形式（2）累乘法：如果递推公式形式为：，则可利用累加法求通项公式2、构造辅助数列：通过对递推公式进行变形，变形为相邻项同构的特点，进而将相同的结构视为一个整体，即构造出辅助数列。通过求出辅助数列的通项公式，便可算出原数列的通项公式（1）形如的形式思路：观察到与有近似3倍的关系，所以考虑向等比数列方向构造，通过对与分别加上同一个常数，使之具备等比关系，考虑利用待定系数法求出（2）形如，此类问题可先处理，两边同时除以，得，进而构造成，设，从而变成，从而将问题进行转化（3）形如：，可以考虑两边同时除以，转化为的形式（4）形如，即中间项的系数与两边项的系数和互为相反数，则可根据两边项的系数对中间项进行拆分，构造为：的形式4、题目中出现关于的等式：一方面可通过特殊值法（令）求出首项，另一方面可考虑将等式转化为纯或纯的递推式，然后再求出的通项公式。5、构造相减：当所给递推公式无法直接进行变形，则可考虑根据递推公式的形式再构造出下一组相邻项的递推公式，通过两式相减可构造出新的递推公式，再尝试解决。6、先通过数列前几项找到数列特点，从而猜出通项公式，再利用数学归纳法证明典型例题：例1．（2022·江苏泰州·高三期末）已知数列的前项和为.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.例2．（2022·湖北武昌·高三期末）已知数列满足，，且对任意，都有．(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；(2)求使得不等式成立的最大正整数m．例3．（2022·四川攀枝花·二模（理））在①，②，③这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题．设首项为的数列的前项和为，且满足______（只需填序号）(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和项和．例4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且，数列是公差不为0的等差数列，且满足，是和的等比中项．(1)求数列和的通项公式；(2)求；(3)设数列的通项公式，求；例5．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高三期末）在正项等比数列中，，是与的等差中项，数列满足.(1)求数列和的通项公式；(2)求数列的前项和.例6．（2022·浙江省义乌中学高三期末）已知是首项为，公差不为的等差数列：成等比数列.数列满足.(1)求数列，的通项公式；(2)求证：.例7．（2022·河南平顶山·高三期末（文））已知为数列的前项和，且，，，.(1)求的通项公式；(2)将数列与的所有公共项按从小到大的顺序组成新数列，求的前10项的和.例8．（2022·山东青岛·高三期末）已知数列满足：.(1)求证：存在实数，使得；(2)求数列的通项公式.过关练习：一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）数列，，，，…，的通项公式可能是（

）A． B．C． D．2．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三期末（理））已知数列满足，且取最小值时为（

）A． B． C． D．3．（2022·安徽宣城·高三期末（文））已知数列的首项为1，又，其中点O在直线l外，其余三点A，B，C均在l上，那么数列的通项公式是（

）A． B． C． D．二、双空题4．（2022·广东·广州市协和中学高三阶段练习）龙曲线是由一条单位线段开始，按下面的规则画成的图形：将前一代的每一条折线段都作为这一代的等腰直角三角形的斜边，依次画出所有直角三角形的两段，使得所画的相邻两线段永远垂直（即所画的直角三角形在前一代曲线的左右两边交替出现）.例如第一代龙曲线（图1）是以为斜边画出等腰直角三角形的直角边、所得的折线图，图2、图3依次为第二代、第三代龙曲线（虚线即为前一代龙曲线）.、、为第一代龙曲线的顶点，设第代龙曲线的顶点数为，由图可知，，，则___________；数列的前项和___________.三、填空题5．（2022·黑龙江·哈九中高三开学考试（文））数列中，，且，记数列的前n项和为，则______.6．（2022·四川·成都七中高三开学考试（理））数列的前项和为，若，，，则的通项公式为______.7．（2022·安徽黄山·一模（理））已知数列满足，，则___________.8．（2022·湖北·高三开学考试）已知数列为的前项和，，则__________.9．（2022·湖南永州·二模）已知数列、满足，，，则___________.四、解答题10．（2022·安徽省宣城中学高三开学考试（文））设首项为2的数列的前项积为，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.11．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学高三阶段练习（文））已知数列的前项和为，，，，其中为常数.(1)证明：；(2)若为等差数列，求.12．（2022·山西运城·高三期末（理））已知数列的前项和，满足.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.13．（2022·福建三明·高三期末）定义为数列的“匀称值”，若数列的“匀称值”为.(1)求数列的通项公式；(2)设，的前项和为，求．14．（2022·广东五华·一模）设数列的前n项和为，满足，且．(1)求数列的通项公式；(2)设，求的前n项和．15．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知数列的前n项和为，且满足．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前n项和．16．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（文））已知函数的图象过点，且关于点对称.(1)求的解析式；(2)若，.①求数列的通项公式；②若，求数列的前项和.17．（2022·广东·高三阶段练习）已知等差数列的首项为2，且，，成等比数列.数列的前n项和为，且.(1)求与的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.18．（2022·广东韶关·一模）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并做出解答.设数列的前项和为，__________，数列是等差数列，.(1)求数列和的通项公式；(2)设，求数列的前项和.19．（2022·浙江·慈溪中学高三阶段练习）已知数列和，记，分别为和的前项和，为的前项积，且满足，，.(1)求数列和的通项公式；(2)设，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，求实数的取值范围.20．（2022·福建宁德·模拟预测）在下列条件：①数列的任意相邻两项均不相等，，且数列为常数列；②；③中，任选一个条件，补充在横线上，并回答下面问题．已知数列的前n项和为，__________，求数列的通项公式与前n项和．21．（2022·河南·高三开学考试（文））已知公差不为0的等差数列的前n项和为，．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．22．（2022·河南·温县第一高级中学高三开学考试（理））已知等比数列{an}满足条件a2+a4＝3（a1+a3），a2n＝3an2，n∈N*，数列{bn}满足b1＝1，bn﹣bn﹣1＝2n﹣1（n≥2，n∈N*）(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)若数列{cn}满足，n∈N*，求{cn}的前n项和Tn.23．（2022·四川眉山·高三阶段练习（理））设，有以下三个条件：①是2与的等差中项；②，；③为正项等比数列，，．在这三个条件中任选一个，补充在下列问题的横线上，再作答（如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分）．若数列的前n项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)若是以1为首项，1为公差的等差数列，求数列的前n项和．24．（2022·重庆市育才中学模拟预测）已知数列{}的前n项和为且满足=n.(1)求{}的通项公式；(2)证明：25．（2022·江苏宿迁·高三期末）已知数列满足.(1)设，求数列的通项公式；(2)设，求数列的前20项和.26．（2022·浙江上虞·高三期末）已知各项均为正数的数列满足：，前项和为，且，．(1)求数列的通项与前项和；(2)记，设为数列的前项和，求证．27．（2022·安徽阜阳·高三期末（理））已知数列是等比数列，其前n项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)若，令，求数列的前n项和.28．（2022·湖南常德·高三期末）已知数列的前n项和