专题31函数及其表示（原卷版）

3.1函数及其表示回顾过去初中函数的定义：在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数.在初中，我们学过一些函数，如，，等，思考：（1）是函数吗?（2）与是同一个函数吗？1．函数的概念观察下面三个例子：（1）一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标.炮弹的射高为845m，且炮弹距离地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是：h＝130t5t2.这里时间t的变化范围是A＝{t|0≤t≤26}，炮弹距离地面的高度的取值范围是B＝{h|0≤h≤845}思考1：高度变量h与时间变量t之间的对应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？（2）近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题.下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况.这里时间t的变化范围A＝{t|1979≤t≤2001}；臭氧层空洞面积S的变化范围是B＝{s|0≤s≤26}思考2：时间变量t与臭氧层空洞面积S之间的对应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？这里表示函数关系的方式与上例有什么不同？（3）国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.下表是“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况.思考：如何利用（1）（2）描述第三个例子中变量之间的关系？共同特点：对于数集A中的每一个，按照某种对应关系，在数集B中都有唯一确定的值与其对应，记作：：.1.1函数的概念如果A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作，．其中，叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域；与的值相对应的的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．思考1：______．思考2：新的函数定义与函数的传统定义有什么异同点？思考3：（1）是函数吗?（2）与是同一个函数吗？思考4：函数吗?1.2函数的三要素函数是由三件事构成的一个整体：定义域；值域{；对应法则.【例1】以下关系式表示函数吗?为什么?(1)；(2)．练习1：下列可作为函数y=f(x)的图象的是（）【例2】已知函数，（1）求函数的定义域；（2）求，；（3）当时，求，的值特别注意：是常量，而是变量，只是中一个特殊值．练习1：已知函数试求，，，，．1.3对函数符号的理解与的含义是一样的，它们都表示是的函数，其中是自变量，是函数值，连接的纽带是法则，所以这个符号本身也说明函数是三要素构成的整体．函数符号表示是的函数，不是表示与的乘积；1.4相同函数当两个函数的定义域、对应法则全部相同（值域当然相同）时，称这两个函数相同．【例3】下列各函数中，哪一个函数与是同一个函数．(1)；(2)(3)；(4)．练习1：判断下列两个函数是否为同一个函数？为什么？（5）和1.5区间的概念设，是两个实数，而且,我们规定：（1）满足不等式的实数的集合叫做闭区间，表示为；（2）满足不等式的实数的集合叫做开区间，表示为；（3）满足不等式或的实数的集合叫做半开半闭区间，表示为或．这里的实数与都叫做相应区间的端点．实数集可以用区间表示为，“∞”读作“无穷大”满足的实数的集合表示为；满足的实数的集合表示为___________；满足的实数的集合表示为；满足的实数的集合表示为___________．【例4】用区间表示下列集合（1）（2）（3）（4）A组1．下列图形中，不可能作为函数y＝f(x)图象的是()2．已知函数f：A→B(A、B为非空数集)，定义域为M，值域为N，则A、B、M、N的关系是()A．M＝A，NB．M⊆A，N＝BC．M＝A，N⊆BD．M⊆A，N⊆B3．函数y＝f(x)的图象与直线x＝a的交点()A．必有一个B．一个或两个C．至多一个D．可能两个以上4．已知函数，若f(a)＝3，则a的值为()A.eq\r(3)B．－eq\r(3)C．±eq\r(3)D．以上均不对5．若f(x)的定义域为[－1,4]，则f(x2)的定义域为()A．[－1,2]B．[－2,2]C．[0,2]D．[－2,0]6．函数y＝eq\f(x,kx2＋kx＋1)的定义域为R，则实数k的取值范围为()A．k<0或k>4B．0≤k<4C．0<k<4D．k≥4或k≤0B组1．函数f(x)＝eq\f(x,x2＋1)，则f(eq\f(1,x))等于()A．f(x)B．－f(x)C.eq\f(1,fx)D.eq\f(1,f－x)2．已知f(x2－1)的定义域为[－eq\r(3)，eq\r(3)]，则f(x)的定义域为()A．[－2,2]B．[0,2]C．[－1,2]D．[－eq\r(3)，eq\r(3)]3．与y＝|x|为相等函数的是()A．y＝(eq\r(x))2B．y＝eq\r(x2)C．D．y＝eq\r(3,x3)4．函数y＝eq\f(2x＋1,x－3)的值域为()A．(－∞，eq\f(4,3))∪(eq\f(4,3)，＋∞)B．(－∞，2)∪(2，＋∞)C．RD．(－∞，eq\f(2,3))∪(eq\f(4,3)，＋∞)5．若集合A＝{x|y＝eq\r(x－1)}，B＝{y|y＝x2＋2}，则A∩B等于()A．[1，＋∞)B．(1，＋∞)C．[2，＋∞)D．(0，＋∞)6．设集合A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，点(x，y)在映射f：A→B的作用下对应的点是(x－y，x＋y)，则B中点(3,2)对应的A中点的坐标为____________．2．函数的表示法在初中我们已经接触过函数的三种表示法：解析法、图像法和列表法．2.1函数的表示法解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如函数概念中实例（1）图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系，如函数概念中实例（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如函数概念中实例（3）．【例1】某种笔记本每个5元，买（）个笔记本记为（元）.试用函数的三种表示法表示函数.解：这个函数的定义域是数集{1，2，3，4，5}．解析法表示：列表法表示：图象法表示：思考：三种方法表示函数各有什么特点？【例3】画出函数的图象.解：由绝对值的概念，我们有:，所以，函数的图象如图所示2.2分段函数所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数，对它应有以下两点基本认识：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．【例4】某市空调公共汽车的票价按下列规则制定：（1）5公里以内（含5公里），票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按5公里计算）．已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）有21个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数图象．练习1：已知，作出的图象；求、、、2.3复合函数两个函数，，且的值域与的定义域的交集非空，则通过确定了是的函数，这样的叫做的复合函数，叫做中间变量，叫做外层函数，叫做内层函数．对于复合函数的问题，一般按照“从内向外”的思路逐层处理．【例5】已知，（1）求，的值；（2）求，，的解析式（3），是否为同一个函数？说明：一般情况下，复合函数与都不是同一个函数．练习1：已知函数，（1）求，；（2）若，求．【例6】（1）已知的定义域为，求的定义域；（2）已知的定义域为，求的定义及的定义域．小结：（1）已知的定义域为，求的定义域；求法：由，知，解得的的取值范围即是的定义域．（2）已知的定义域为，求的定义域；求法：由，得的取值范围，即是的定义域．练习1：若函数f(x)的定义域是[0,1]，则函数f(2x)＋f(x＋eq\f(2,3))的定义域为________．2.4求函数的解析式【例7】已知一次函数满足，图像过点，求【例8】已知,求的解析式.练习1：已知,求的解析式.【例9】已知,求的解析式1．已知二次函数满足，，图像过原点，则=___________．2．若，则=_________________.3．已知函数f(eq\f(1－x,1＋x))＝x，求f(2)=________．4．若，则=_________________.5．若,则=_________________.6．设函数是定义在上的函数,且满足关系式，求的解析式.A组1．一个面积为100cm2的等腰梯形，上底长为xcm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示成x的函数为()A．y＝50x(x>0)B．y＝100x(x>0)C．y＝eq\f(50,x)(x>0)D．y＝eq\f(100,x)(x>0)2．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是()A．0B．1C．2D．33．如果，则当x≠0时，等于()A.eq\f(1,x)B.eq\f(1,x－1)C.eq\f(1,1－x)D.eq\f(1,x)－14．已知f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)等于()A．2x＋1B．2x－1C．2x－3D．2x＋75．若g(x)＝1－2x，f[g(x)]＝eq\f(1－x2,x2)，则f(eq\f(1,2))的值为()A．1B．15C．4D．30 B组1．一个弹簧不挂物体时长12cm，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例．如果挂上3kg物体后弹簧总长是13.5cm，则弹簧总长y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式为________________．2．已知函数y＝f(x)满足f(x)＝2f(eq\f(1,x))＋x，则f(x)的解析式为____________．3．已知f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，则f(x)的解析式为__________________．4．已知二次函数f(x)满足f(0)＝f(4)，且f(x)＝0的两根平方和为10，图象过(0,3)点，则f(x)的解析式为________________．5．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以