61平面向量的概念精讲（原卷版）

6.1平面向量的概念(精讲）6.1.1向量的实际背景与概念6.1.2向量的几何表示6.1.3相等向量与共线向量目录一、必备知识分层透析二、重点题型分类研究题型1：向量的有关概念题型2：向量的几何表示角度1：向量的模角度2：零向量与单位向量题型3：相等向量与共线向量角度1：相等向量角度2：平行向量（共线向量）一、必备知识分层透析知识点1：向量的概念（1）向量在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量.①我们所学的向量是自由向量,即只有大小和方向,而无特定的位置,这样的向量可以作任意平移.②向量与向量之间不能比较大小.（2）数量只有大小没有方向的量称为数量,如年龄、身高、长度、面积体积、质量等（3）向量与数量的区别①向量与数量的区别:向量有方向,而数量没有方向；数量与数量之间可以比较大小,而向量与向量之间不能比较大小②向量与矢量:数学中的向量是从物理中的矢量(如位移、力、加速度、速度等)中抽象出来的,但在这里我们仅考虑它的大小及方向；而物理中的这些量,既同时具备大小和方向这两个属性,还具有其他属性(如“力”就是由大小方向、作用点所决定的).知识点2：向量的几何表示(1)有向线段具有方向的线段叫做有向线段①有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,其方向是由起点指向终点.以为起点、为终点的有向线段记作(如图所示),线段的长度也叫做有向线段的长度,记作.表示有向线段时,起点一定要写在终点的前面,上面标上箭头.②有向线段的三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向、长度,它的终点就唯一确定了.（2）向量的表示①几何表示:向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.②字母表示:向量可以用字母,,,…表示（3）向量的模向量的大小称为向量的长度(或称模),记作.（4）两种特殊的向量零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作.单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量①若用有向线段表示零向量,则其终点与起点重合.②要注意0与的区别与联系:0是一个实数,是一个向量,且有；书写时表示零向量,一定不能漏掉0上的箭头.③单位向量有无数个,它们大小相等,但方向不一定相同.④在平面内,将表示所有单位向量的有向线段的起点平移到同一点,则它们的终点构成一个半径为1的圆.知识点3：相等向量与共线向量(1)平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量与平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有.(2)相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量与相等,记作.两个向量相等必须具备的条件是长度相等,方向相同因为向量完全由它的方向和模确定,故任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.（3）共线向量任一组平行向量都可以平移到同一条直线上,因此,平行向量也叫做共线.共线向量所在直线平行或重合,如果两个向量所在的直线平行或重合,则这两个向量是共线向量.二、重点题型分类研究题型1：向量的有关概念典型例题例题1．（2022·高一课时练习）下列四个命题正确的是（

）A．两个单位向量一定相等 B．若与不共线，则与都是非零向量C．共线的单位向量必相等 D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同例题2．（2022·全国·高一专题练习）下列命题中，正确的是A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则例题3．（2022·全国·高一假期作业）有下列命题：①两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同；②若，则；③若，则四边形是平行四边形；④若，，则；⑤若，，则；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中，假命题的个数

A． B． C． D．同类题型演练1．（2022·高一课时练习）下列命题中，正确的个数是（

）①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；③若，满足且与同向，则；④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；⑤若∥∥，则∥．A．0个 B．1个C．2个 D．3个2．（2022·全国·高一专题练习）下列说法正确的个数为（

）①面积、压强、速度、位移这些物理量都是向量②零向量没有方向③向量的模一定是正数

④非零向量的单位向量是唯一的A．0 B．1 C．2 D．33．（2022·全国·高三专题练习）下列说法：①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；②若向量，满足，且与同向，则；③若两个非零向量与满足，则，为相反向量；④的充要条件是A与C重合，B与D重合.其中错误的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4题型2：向量的几何表示角度1：向量的模典型例题例题1．（2022·高一课时练习）下列说法正确的是（

）A．向量与向量的长度相等B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C．零向量没有方向D．向量的模是一个正实数例题2．（2022·江苏·高一专题练习）已知在边长为2的菱形中．．则________.例题3．（2022·全国·高一专题练习）若在一个边长为5的正三角形中，一个向量所对应的有向线段为（其中在边上运动），则向量的模的最小值为_________.同类题型演练1．（2022·全国·高一专题练习）如果一架飞机向东飞行200km，再向南飞行300km，记飞机飞行的路程为s，位移为，那么（）A． B．C． D．与不能比大小2．（2022·高一课时练习）已知在边长为2的菱形中，，则A．1 B． C．2 D．3．（2022·高一课时练习）已知圆O的周长是，是圆O的直径，C是圆周上一点，于点D，则___________.角度2：零向量与单位向量典型例题例题1．（2022秋·湖北鄂州·高一校联考期中）下列关于零向量的说法正确的是（

）A．零向量没有大小 B．零向量没有方向C．两个反方向向量之和为零向量 D．零向量与任何向量都共线例题2．（2022·高一课时练习）下列说法正确的是（

）A．向量就是有向线段 B．单位向量都是相等向量C．若，则 D．零向量与任意向量平行例题3．（2022秋·新疆巴音郭楞·高一校考阶段练习）下列说法正确的是（

）A．单位向量均相等 B．单位向量C．零向量与任意向量平行 D．若向量，满足，则同类题型演练1．（2022秋·广东东莞·高一校联考期中）下列说法错误的是（

）A．若，则 B．零向量与任一向量平行C．零向量是没有方向的 D．若两个相等的向量起点相同，则终点必相同2．（多选）（2022春·广东佛山·高二佛山市南海区南海执信中学校考开学考试）下面关于向量的说法正确的是（

）A．单位向量：模为的向量B．零向量：模为的向量C．平行共线向量：方向相同或相反的向量D．相等向量：模相等，方向相同的向量题型3：相等向量与共线向量角度1：相等向量典型例题例题1．（2022春·广东揭阳·高二惠来县第一中学校考期中）如图，在四棱柱的上底面中，，则下列向量相等的是（

）A．与 B．与C．与 D．例题2．（2022·全国·高三专题练习）“”是“”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件例题3．（多选）（2022·高一课时练习）下列说法中错误的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则与可能共线 D．若，则一定不与共线例题4．（2022春·广东佛山·高二佛山市南海区南海执信中学校考开学考试）如图，为正方形的两条对角线的交点，四边形和四边形都是正方形，在图中所示的向量中.(1)分别写出与、相等的向量；(2)写出与共线的向量；(3)写出与的模相等的向量；(4)写出与的夹角为的向量；(5)向量与是否相等？同类题型演练1．（多选）（2022秋·浙江嘉兴·高一校考期中）若非零向量，，下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则2．（多选）（2022秋·山东菏泽·高一统考期中）设点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．与共线3．（2022·高一课时练习）如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点.(1)写出与向量共线的向量；(2)求证：.4．（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形中，，分别为边、的中点，如图．(1)写出与向量共线的向量；(2)求证：．角度2：平行向量（共线向量）典型例题例题1．（2022春·河南·高三校联考阶段练习）已知为平面上四点，则“向量”是“直线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件例题2．（2022秋·上海杨浦·高一复旦附中校考期中）①加速度是向量；②若且，则；③若，则直线与直线平行．上面说法中正确的有（