专题04第七章随机变量及其分布（专题过关）（原卷版）

专题04：第七章随机变量及其分布专题过关题型一：条件概率与全概率公式1．（2022·安徽·六安一中高二期中）长时间玩可能影响视力，据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩超过，这些人的近视率约为．现从每天玩不超过的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（

）A． B． C． D．2．（2022·河北·高二期中）甲、乙、丙三人报考，，三所大学，每人限报一所，设事件为“三人报考的大学均不相同”，事件为“甲报考的大学与其他两人均不相同”，则概率（

）A． B． C． D．题型二：随机变量与分布列1．（2022·陕西·渭南市华州区咸林中学高二期中（理））袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个球，下列选项中可以用随机变量表示的是（

）．A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球C．取到白球的个数 D．取到球的个数2．（2022·安徽·合肥市第九中学高二期中）若离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则（

）A． B． C． D．3．（2022·广东·深圳市高级中学高二期中）某市卫生防疫部门为了控制某种病毒的传染，提供了批号分别为的四批疫苗，供全市所辖的三个区市民注射，每个区均能从中任选一个批号的疫苗接种．(1)求三个区市民接种的疫苗批号中恰好有两个区相同的概率；(2)记三个区选择的疫苗批号的中位数为，求的分布列．题型三：随机变量的期望和方差1．（2021·浙江·乐清市知临中学高二期末）设随机变量的分布列为下表所示，且，则（

）A．0.2 B． C．0.3 D．2．（多选）（2022·湖北·十堰市教育科学研究院高三期末）有一组样本甲的数据，由这组数据得到新样本乙的数据，其中为正实数．下列说法正确的是（

）A．样本甲的期望一定小于样本乙的期望B．样本甲的方差一定大于样本乙的方差C．若m为样本甲的中位数，则样本乙的中位数为D．若m为样本甲的平均数，则样本乙的平均数为3．（2022·北京八中高二期末）随机变量X的取值为0，1，2，若，，则_________．4．（2022·河南三门峡·高二期末（理））甲、乙两人玩如下游戏：两人分别拿出一枚硬币同时扣在桌子上(硬币的正反面自己决定，两人互不影响)，然后把手拿开，如果都是正面，则乙给甲3元，如果都是反面，则乙给甲1元，如果一正一反则甲给乙2元．如此进行下去，把频率当做概率．(1)若甲出正面的频率0.7，乙出正面的频率为0.5，甲、乙各出硬币一次，求甲的收益X的分布列及数学期望；(2)这个游戏多次进行下去，乙能否通过调整自已出正面的频率，使得无论甲出正面还是反面，自己都不会输？如果能，求出乙不输时出正面的频率的范围，如果不能，说明理由．【答案】(1)分布列见解析；期望为元；(2)乙只要调整出正面的频率p满足，无论甲出正面还是反面，自己都不会输.题型四：超几何分布1．（2021·北京·中关村中学高二期末）盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为（

）A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的C．恰有2个是好的 D．至多有2个是坏的2．（2017·湖北黄冈·高二期末（理））数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是______________3．（2021·黑龙江·大庆一中高二期末（理））2020年初，面对突如其来的新冠肺炎疫情，某省体育局适时推出线上万人健步走活动，全省14万人参赛，掀起了一场前所未有的“健步走热潮”，该省今年将继续举办线上万人健步走活动，希望带动更多的人参与到全民健身中来，以更加强健的体魄、更加优异的成绩，向中国共产党百年华诞献礼.为了解群众参与健步走活动的情况，随机从参与活动的某支队伍中抽取了60人，将他们的年龄分成7段：[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图.(1)以各组的区间中点值代表各组取值的平均水平，求这60人年龄的平均数，并求中位数的估计值；(2)若从样本中年龄在[50，70)的居民中任取3人，这3人中年龄不低于60岁的人数为X，求X的分布列及数学期望.题型五：二项分布1．（2022·安徽省亳州市第一中学高二期末）已知随机变量X服从二项分布X~B(4，)，（

）A． B． C． D．2（多选）．（2021·山东聊城·高二期末）某单位举行建党100周年党史知识竞赛，在必答题环节共设置了5道题，每道题答对得20分，答错倒扣10分每道题都必须回答，但相互不影响.设某选手每道题答对的概率均为，其必答环节的总得分为，则（

）A．该选手恰好答对2道题的概率为B．C．D．3．（2022·吉林·东北师大附中高二期末）某n重伯努利试验中，事件A发生的概率为p，事件A发生的次数记为X，，，则______．4．（2020·江苏·淮阴中学高二期末）我省实行的新高考方案3＋1＋2模式，其中统考科目：3指语文、数学、外语三门，不分文理；学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，1指首先在物理、历史2门科目中选择一门；2指再从思想政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门．某校根据统计选物理的学生占整个学生的；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为；在选历史的条件下，选地理的概率为．(1)求该校最终选地理的学生概率；(2)该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量X．①求随机变量的概率；②求X的分布列以及数学期望．题型六：正态分布1．（2022·河南三门峡·高二期末（理））已知随机变量服从正态分布N(2，25)，若P(>c)=P(<c4)，则实数c的值是（

）A．4 B．3 C．2 D．12．（多选）（2022·吉林·东北师大附中高二期末）某工厂加工一种零件，有两种不同的工艺选择，用这两种工艺加工一个零件所需时间t（单位：h）均近似服从正态分布，用工艺1加工一个零件所用时间；用工艺2加工一个零件所用时间，X，Y的概率分布密度曲线如图，则（

）A．，B．若加工时间只有ah，应选择工艺2C．若加工时间只有ch，应选择工艺2D．，3．（2022·云南昭通·高三期末（理））某照明单元按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则照明单元正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该照明单元的使用寿命超过2000小时的概率为________．4．（2022·四川攀枝花·高二期末（理））某市对新形势下的中考改革工作进行了全面的部署安排.中考录取科目设置分为固定赋分科目和非固定赋分科目，固定赋分科目（语文、数学、英语、物理、体育与健康）按卷面分计算；非固定赋分科目（化学、生物、道德与法治、历史、地理）按学生在该学科中的排名进行等级赋分，即根据改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A，，，，，，，共个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为，，，，，，，.等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到，，，，，，，八个分数区间，得到考生的等级成绩.该市学生的中考化学原始成绩制成频率分布直方图如图所示：(1)求图中的值；(2)估计该市学生中考化学原始成绩不少于多少分才能达到等级及以上（含等级）？(3)由于中考改革后学生各科原始成绩不再返回学校，只告知各校参考学生的各科平均成绩及方差.已知某校初三共有名学生参加中考，为了估计该校学生的化学原始成绩达到等级及以上（含等级）的人数，将该校学生的化学原始成绩看作服从正态分布，并用这名学生的化学平均成绩作为的估计值，用这名学生化学成绩的方差作为的估计值，计算人数（结果保留整数）．附：，，.题型七：综合应用1．（2022·河南三门峡·高二期末（理））甲、乙两人玩如下游戏：两人分别拿出一枚硬币同时扣在桌子上(硬币的正反面自己决定，两人互不影响)，然后把手拿开，如果都是正面，则乙给甲3元，如果都是反面，则乙给甲1元，如果一正一反则甲给乙2元．如此进行下去，把频率当做概率．(1)若甲出正面的频率0.7，乙出正面的频率为0.5，甲、乙各出硬币一次，求甲的收益X的分布列及数学期望；(2)这个游戏多次进行下去，乙能否通过调整自已出正面的频率，使得无论甲出正面还是反面，自己都不会输？如果能，求出乙不输时出正面的频率的范围，如果不能，说明理由．．2．（2020·江苏·淮阴中学高二期末）我省实行的新高考方案3＋1＋2模式，其中统考科目：3指语文、数学、外语三门，不分文理；学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，1指首先在物理、历史2门科目中选择一门；2指再从思想政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门．某校根据统计选物理的学生占整个学生的；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为；在选历史的条件下，选地理的概率为．(1)求该校最终选地理的学生概率；(2)该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量X．①求随机变量的概率；②求X的分布列以及数学期望．3．（2022·四川攀枝花·高二期末（理））某企业计划新购买台设备，并将购买的设备分配给名年龄不同（视为技术水平不同）的技工加工一批模具，因技术水平不同而加工出的产品数量不同，故产生的经济效益也不同.若用变量表示不同技工的年龄，变量为相应的效益值（元），根据以往统计经验，他们的工作效益满足最小二乘法，且关于的线性回归方程为．(1)试预测一名年龄为岁的技工使用该设备所产生的经济效益；(2)试根据的值判断使用该批设备的技工人员所产生的的效益与技工年龄的相关性强弱（，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性不强）；(3)若这批设备有两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是，.若两道工序都没有出现故障，则生产成本不增加；若工序出现故障，则生产成本增加万元；若工序出现故障，则生产成本增加万元；若两道工序都出现故障，则生产成本增加万元.求这批设备增加的生产成本的期望．参考数据：，.参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，.题型八：高考真题赏析1．（2021·全国·高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（

）A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等2．（2021·全国·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（

）A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立3．（2019·全国·高考真题（理））甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．4．（2021·全国·高考真题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学