3.4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系课件高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第三章空间向量与立体几何4.3用空间向量研究夹角问题

一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得.也就是说，若异面直线l1,l2所成的角为θ，其方向向量分别是

则l1l2l1l2OO1.异面直线所成的角问题1

θ=<

>吗？它们的关系是什么？θ=或θ=π-1.已知两异面直线a,b的一个方向向量分别为a=(-1,1,0)，b=(0,-1,0)，则直线a与b所成的角为_______练一练：45°例8如图3－41,在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A'B'C'D',AB=2,BC=1,AA'=3.求AC'与A'D所成角的余弦值.

类似地，直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量

，平面α的法向量为.问题3θ=<

>吗？试用数学表达式表示出它们的关系.2.线面角(直线与平面所成的角)n

类似地，直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量

，平面α的法向量为.αABC2.线面角(直线与平面所成的角)2.已知直线a的一个方向向量为a=(-1,2,0)，平面的一个法向量为b=(0,1,2)，则直线a与平面所成角的正弦值为_______练一练：

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，∠ACB=90°，P为BC的中点，点Q,R分别在棱AA1，BB1上，A1Q=2AQ，BR=2RB1.求直线PQ与C1A1夹角的余弦值.ACBA1C1B1QPRxyz∴直线PQ与C1A1夹角的余弦值为：

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，∠ACB=90°，P为BC的中点，点Q,R分别在棱AA1，BB1上，A1Q=2AQ，BR=2RB1.求直线PQ与平面A1B1C1夹角的正弦值.ACBA1C1B1QPRxyz∴直线PQ与平面A1B1C1夹角的正弦值为：课堂小结

1.线线角θ：向量法：2.线面角θ：向量法：[P132练习1.如图,在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD－A'B'C'D',点E是A'D'的中点,求直线A'B与直线CE夹角的余弦值.2.如图,在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A'B'C'D',AB=2,AD=2,AA'=1,求异面直线A'B

与C'D夹角的余弦值.BEB'O(A)zxyDCC'A'D'第1题BB'O(A)zxyDCC'A'D'第2题3.如图,在空间直角坐标系中有长方体

ABCD－A'B'C'D',AB=1,BC=2,AA'=2,求直线B'C与平面B'BDD'夹角的正弦值.4.如图,在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD－A'B'C'D',点E,F分别是B'C'和A'D'的中点,求直线AC与平面ABEF夹角的正弦值.BFB'O(A)zxyDCC'A'D'第4题E图中有几个二面角？两个平面的夹角与这两个平面形成的二面角有什么关系？我们接下来研究面面角的向量表示相等或互补两个平面的夹角的范围：二面角的范围：[0°，90°][0°，180°]平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.

如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.

类似于两条异面直线所成的角，若平面α,β的法向量分别是

和

，则平面α与平面β的夹角即为向量

和

的夹角或其补角，设平面α与平面β的夹角为θ，则3.面面角(平面与平面的夹角)已知两平面的一个法向量分别为m=(0,1,0)，n=(0,1,1)，则两平面夹角的大小为练一练：45°例10